四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期半期考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二上学期半期考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的一个方向向量为( )
A.B.C.D.不存在
2、关于椭圆,以下说法正确的是( )
A.长轴长为2B.焦距为
C.离心率为D.左顶点的坐标为
3、已知直线是圆的对称轴,则m的值为( )
A.1B.-1C.2D.3
4、已知直线与直线,若,则( )
A.2或-5B.-2或5C.5D.-5
5、阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年）,古希腊人,与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题,其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足（,且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点,,动点M满足,记M的轨迹为C,则轨迹C围成图形的面积是( )
A.B.C.D.
6、点到直线的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A.;B.;
C.;D.;
7、已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为2,P为棱BC上的一个动点,则点P到平面SAD的距离是( )
A.B.C.D.
8、设椭圆的右焦点为F,椭圆C上的两点A、B关于原点对称,且满足,,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列命题中正确的是( )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有
B. 在空间直角坐标系中,已知点,点P关于坐标原点对称点的坐标为
C.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
D.任意空间向量,,满足
10、彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体,它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约2个天文单位,远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位,且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上,则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）( )
A.B.C.D.
11、已知圆,直线,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别切圆C于点A,B.则下列说法正确的是( )
A.四边形PACB的面积最小值为
B.M为圆C上一动点,则最小值为
C.最短时,弦AB直线方程为
D.最短时,弦AB长为
12、已知正方体棱长为2,P为空间中一点,下列论述正确的是( )
A.若,则异面直线BP与所成角的余弦值为
B.若三棱锥的体积是定值
C.若,有且仅有一个点P,使得平面
D.若,则异面直线BP和所成角取值范围是
三、填空题
13、已知圆与圆内切,则__________.
14、已知实数x,y满足,则的最大值为___________.
15、已知F是椭圆的左焦点,M是椭圆C上的动点,点,则的最小值为___________.
16、如图,两个正方形ABCD,CDEF的边长都是6,且二面角为,M为对角线AC靠近点A的三等分点,N为对角线DF的中点,则线段_________.
四、解答题
17、已知直线l经过直线与的交点P.
（1）若直线l与直线垂直,求直线l的方程;
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
18、已知圆C圆心在直线上,且圆C经过点,与直线相切.
（1）求圆C的方程;
（2）过点作圆C的切线,求切线方程的斜率.
19、已知的顶点B的坐标为,AB边上的中线CM所在的直线方程为,的平分线所在的直线方程为．
（1）求点A的坐标;
（2）求直线AC的方程
20、已知椭圆的左、右焦点分别为,,设点,在中,,周长为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点,求的面积.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,E,F分别是PC,AD中点．
（1）求证：平面PFB;
（2）若PB与平面ABCD所成角为,求平面PFB与平面EDB夹角的余弦值．
22、如图,设P是圆上的动点,点D是点P在x轴上的射影,点M在DP的延长线上,且.
（1）当点P在圆上运动时,求动点M的轨迹方程;
（2）记动点M的轨迹为曲线C,过点作两条相异直线分别与曲线C相交于A,B两点,若直线PA,PB的斜率分别为,,且,试判断直线AB的斜率是否为定值？并说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：直线的倾斜角为,
故直线的一个方向向量为．
故选：B．
2、答案：B
解析：椭圆中,,,
故长轴长为,焦距,离心率为,左顶点的坐标为,故只有B正确.
故选：B.
3、答案：A
解析：由圆C方程得：圆心,
直线l是圆C的对称轴,圆心C在直线l上,即,解得：.
故选：A.
4、答案：D
解析：因为,
所以,
故选：D.
5、答案：C
解析：设,由点,,动点M满足,
得,
则,
所以轨迹C围成的图形为圆,其半径平方,
所以圆的面积为.
故选：C.
6、答案：A
解析：由直线,令,
所以直线l过定点,仅当时,点线距离最大为,
而,此时,即,
所以直线l为,即.
故选：A.
7、答案：D
解析：由题可知,平面SAD,平面SAD,
所以平面SAD,
故点P到平面SAD的距离即为点B到平面SAD的距离,
如图建立空间直角坐标系：
则,,,,
所以,,,
设平面SAD的法向量为,
则有,可取,
则点B到平面SAD的距离为
即点P到平面SAD的距离为.
故选：D.
8、答案：B
解析：如图所示：
设椭圆的左焦点,由椭圆的对称性可知,四边形为平行四边形,
又,则,所以平行四边形为矩形,故,
设,,则,
在直角中,,,
所以,则,
所以,
令,得,
又由,得,
因为对勾函数在上单调递增,所以,
所以 ,即,则,故,
所以,
所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：B.
9、答案：ABC
解析：A,B,C,D是空间任意四点,
则,故A正确;
点,2,,点P关于坐标原点对称点的坐标为,,,故B正确;
,满足,
故P,A,B,C四点共面,故C正确;
表示与共线的向量,表示与共线的向量,二者不一定相等,故D错误．
故选：ABC．
10、答案：AC
解析：由已知可得,,
则,,,
当椭圆焦点在x轴上时,椭圆方程为;
当椭圆焦点在y轴上时,椭圆方程为,即;
故选：AC.
11、答案：ACD
解析：对于A,由切线长定理可得,又因为,所以,
所以四边形PACB的面积,
因为,当时,取最小值,且,
所以四边形PACB的面积的最小值为,故A正确;
对于B,因为,所以MP最小值为,故B错误;
对于C,由题意可知点A,B,在以CP为直径的圆上,设,
其圆的方程为：,
化简为,与方程相减可得：,
则直线AB的方程为,当最短时,,则,
解得,故直线AB的方程为,故C正确;
对于D,当最短时,圆心C到直线的距离,
所以弦AB长为,故D正确.
故选：ACD.
12、答案：BD
解析：A：由,即P为中点,连接BP,,BD,若E,O分别是,BD中点,
连接OE,,则,
又且,即为平行四边形,所以,
所以异面直线BP与所成角,即为或其补角,
而,,,
故,故A错误;
B：由知：P在（含端点）上移动,如下图示,
面积恒定,到面PBC的距离恒定,故的体积是定值,故B正确;
C：若E,F分别,中点,由知：P在EF（含端点）上移动,
由面,面,则面面,
由,面面,面,
所以面,面,则,同理可证：,
由,、面,故面,
而面面,要使面,则P必在面内,
显然面,故C错误;
D：由知：P在（含端点）上移动,
如图以为原点,,,分别为x,y,z轴建系,
则,,,则,
设,则,
所以,令,
当,即时,,此时直线BP和所成角是;
当,即时,则,
当,即时,取最大值为,直线BP和所成角的最小值为,故D正确.
故选：BD
13、答案：
解析：由圆知圆心为半径为
由圆知圆心为,半径为
因两圆内切,故,即,解得：
故答案为：
14、答案：
解析：将,化为,
如图所示：该曲线为圆心,的圆,
可以表示为圆上的点到的距离,
所以的最大值为圆心到的距离加上半径,
所以,
即的最大值为.
故答案为：.
15、答案：
解析：不妨设椭圆C的右焦点,
因为点M是椭圆C上的动点,
所以,
则,
当且仅当N,M,三点共线时,等号成立,
又,
则的最小值为．
故答案为：．
16、答案：
解析：根据题意,,
所以即为二面角的平面角,即,
因为,N为为对角线DF的中点,
所以,
又M为对角线AC靠近点A的三等分点,
则
所以,
所以
,
所以
.
所以所以线段
故答案为：
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由解得即.
因为直线l与直线垂直,所以直线的斜率为,
所以直线l的方程为,即;
（2）显然,直线l的斜率存在,
设直线l的方程为,令,解得,
令,解得,
所以,
解得或,所以直线l的方程为或.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,圆心在直线上,可设圆心坐标为,
圆与直线相切,圆过点且A在直线,.
,解得,
所以圆心坐标,半径,
所以圆的方程为
（2）由题,设切线方程是,即,
由于直线与圆相切,故,解得
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）设点,则AB中点M的坐标为,
由题意知点A在直线上,点M在直线上,
所以解得
即点A的坐标为．
（2）设点B关于直线的对称点为,则由角的对称性知点在直线AC上,
设点的坐标为,则点的中点坐标为,
则解得即点的坐标为．
直线的斜率为,
所以直线即AC的方程为,即．
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由
,①
又的周长为,
,②
联立①②,解得,
椭圆方程为
（2）直线l的方程为:,设,,
由得,,
因为直线过椭圆内焦点,所以恒成立,
,,
,
原点O到直线MN的距离为,
所以的面积.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设G为PB中点,连接GE,FG,
又E,F分别是PC,AD中点,
所以,,,
又底面ABCD是正方形,
所以,,故四边形FDEG为平行四边形,则,
由平面PFB,平面PFB,则平面PFB.
（2）由题意知,以D为原点,构建空间直角坐标系,

令,则,
所以,,,,,
所以,,,
令为平面EDB的一个法向量,则,
令,即,
令为平面PFB的一个法向量,则,
令,即,
所以,
即平面PFB与平面EDB夹角的余弦值．
22、答案：（1）
（2）直线AB的斜率为定值,其定值为2
解析：（1）设,,
因为点D是P在x轴上的射影,M是线段PD上一点,且,
所以,因为在圆上,所以,
化简得,因为,所以,
动点M的轨迹方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点,
设直线的方程为,,
,,由,
消去y整理得,
需满足,则,,
因为,,
,
,
将,,
代入得,
化简得,即,
整理得,而,
,所以直线AB的斜率为定值,其定值为2.