天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段性检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、如图,在三棱锥中,点D,E,F分别是AB,PA,CD的中点,设,,,则( )
A.B.
C.D.
3、已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为( )
A.B.
C.D.
4、已知点P在直线上运动,点E是圆上的动点,点F是圆上的动点,则的最大值是( )
A.13B.16C.17D.18
5、点F是抛物线的焦点,A为双曲线的左顶点,直线AF平行于双曲线C的一条渐近线,则实数b的值为( )
A.2B.4C.8D.16
6、已知正项等比数列满足,若,则( )
A.B.C.2D.
7、已知数列的前n项和,若,则( )
A.578B.579C.580D.581
8、如图,在正三棱柱中,若,则点C到直线的距离为( )

A.B.C.D.
9、已知O为坐标原点,双曲线的右焦点为F,以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点A,B,若,则四边形OAFB的面积为( )
A.6B.C.D.4
二、填空题
10、已知向量,,,且,则___________.
11、已知抛物线上一点到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为____________．
12、等差数列,的前n项和分别是与,且,则__________.
13、已知椭圆的离心率为,直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为,则直线l的斜率为_________;
14、若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是____________．
15、设数列的前n项和为,且,数列满足,其中．则使不等式对任意正整数n都成立的最大实数m的值为__________．
三、解答题
16、在平面直角坐标系xOy,已知圆M的圆心在直线上,且圆M与直线相切于点.
（1）求圆M的方程;
（2）过点的直线l被圆M截得的弦长为2,求直线l的方程.
17、如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,其中,,,,平面ABCD,且,点M在棱PD上（不包括端点）,点N为BC中点.
（1）若,求证：直线平面PAB;
（2）求平面CPD与平面CPN的夹角的余弦值;
（3）是否存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
18、设是等比数列的公比大于0,其前n项和为,是等差数列,已知,,,.
（1）求,的通项公式
（2）设,求;
（3）设,数列的前n项和为,求.
19、已知椭圆的一个顶点为,右焦点为F,且,其中O为原点．
（1）求椭圆的方程;
（2）已知点C满足,点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点）,直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．
20、已知数列的前n项和为满足.数列满足,且满足
（1）求数列,的通项公式;
（2）若数列满足;求
（3）,数列的前n项和为,求证：.
参考答案
1、答案：C
解析：因为直线,可化为,
所以直线的斜率为（其中为直线的倾斜角）,
又,所以.
故选：C.
2、答案：D
解析：如图,连接DE,
因为点D,E分别是AB,PA的中点,
所以.
因为点D是AB的中点,
所以
.
因为点F是CD的中点,
所以,
则.
故选：D.
3、答案：C
解析：椭圆的焦点为,
又双曲线的一条渐近线方程为,
所以,解得,所以双曲线方程为.
故选：C.
4、答案：B
解析：设直线：,圆,圆,
易知点关于直线l的对称点为,以为圆心,
以1为半径的圆即为圆A关于直线l的对称圆.设E点关于直线l的对称点为,则有,
,
如图,连接,
在中,有,当且仅当P,,F三点共线时取得等号,
故求解的最大值问题转换为求最大值问题,
故当直线过圆心和圆心B且,F距离最远且点P恰好为直线与直线l的交点时可取得最大值.
由题意知点和B点坐标分别为：,,两圆半径分别为1和2,
故最大值为：.
故选：B.
5、答案：B
解析：由题,,则.
因直线AF平行于双曲线C的一条渐近线,则.
故选：B.
6、答案：A
解析：设等比数列的公比为q．
由,得,
解得,
又
得．
故选：A.
7、答案：B
解析：当时,
当时,,经检验时,不成立.
故得到.
令,则,解得,且,
当时,
,
当时,
,
故：,.
故选：B.
8、答案：B
解析：取AC的中点O,则,
以O为原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,
所以,
所以在上的投影的长度为,
故点C到直线的距离．
故选：B.
9、答案：B
解析：设AB与x轴交于点D,由双曲线的对称性可知轴,,,
又因为,所以,即,
所以,因为点A在以OF为直径的圆上,所以,OA所在的渐近线方程为,
点到渐近线距离为,
所以,
所以,,则,
所以,
故选：B.
10、答案：18
解析：由题意得,
因为,所以,得,,所以.
故答案为：18.
11、答案：
解析：因为抛物线上一点到其焦点的距离为5,
所以,
解得,
所以该抛物线的准线方程为,
故答案为：.
12、答案：
解析：由等差数列的前n项和公式,得,
又由等差数列的性质,得,,而,,
所以.
故答案为：.
13、答案：
解析：由题意可得,整理可得,
设,
则,,
两式相减可得,
AB的中点为,,,
则直线斜率.
故答案为：.
14、答案：
解析：由,可得,整理可得,
即,其中,
故曲线表示圆的下半圆,
作出直线与曲线的图形如下图所示：
当直线过点时,,
当直线与曲线相切时,,
圆的圆心坐标为,半径为2.
由题意,可得,且,解得,
结合图形可知,当时,直线与曲线有公共点,
因此b的取值范围为.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为,所以,
所以,即,
两边同除可得,
又因为时,所以,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
即,
所以,
代入不等式可得,
即,
令,
则,
所以
,
因为,
所以,
所以恒成立,即为单调递增数列,所以,
所以,即m的最大值为,
故答案为：.
16、答案：（1）由题意得圆心在过点和直线垂直的直线上,
该直线方程为,即,
联立,解得,即圆心为,
半径为,
故圆M方程为;
（2）由于,故在圆M外,
过点的直线l被圆M截得的弦长为2,
若直线l斜率不存在,则方程为,
圆心到l的距离为,则弦长为,符合题意;
当直线l斜率存在时,设其方程为,即,
则圆心到l的距离为,
由于直线l被圆M截得的弦长为2,故,
解得,故直线l的方程为,
综合得直线l的方程为或.
17、答案：（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q,连接MQ,QB,
因为,所以且,
又因为,且,点N为BC中点,
所以且,则四边形MQBN为平行四边形,
所以,平面PAB,平面PAB,所以直线平面PAB.
（2）如图所示,以点A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,
以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
又N为BC的中点,则,
所以,,,
设平面CPD的法向量为,则,
令,则,
设平面CPN的法向量为,则,
令,则,
所以,
所以平面CPD与平面CPN的夹角的余弦值为.
（3）存在,.
假设存在点M(不包括端点),设,即,,
由（2）得,,且平面CPD的法向量,
,则,
所以,因为NM与平面PCD所成角的正弦值为,
则,
整理得：,解得：或（舍去）,
故存在点M,使NM与平面PCD所成角的正弦值为,此时.
18、答案：（1）设的公比为,
因为,所以,即,解得或（舍）,
所以,
设的公差为d,
因为,,所以,,
所以,解得,所以.
（2）由（1）可得,,
所以,
,
所以,
所以.
（3）,
所以
.
19、答案：（1）
（2）或
解析：（1）椭圆的一个顶点为,
,
由,得,
又由,得,
所以,椭圆的方程为;
（2）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以,
根据题意可知,直线AB和直线CP的斜率均存在,
设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为,即,
,消去y,可得,解得或.
将代入,得,
所以,点B的坐标为,
因为P为线段AB的中点,点A的坐标为,
所以点P的坐标为,
由,得点C的坐标为,
所以,直线CP的斜率为,
又因为,所以,
整理得,解得或.
所以,直线AB的方程为或.
20、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,时,
时,,
,即,
是以2为首项,2为公比的等比数列,,
由题可知,是首项为2,公差为1的等差数列,
,.
（2）,
(i)n为偶数时,
,
(ii)n为奇数时,
,
（3）,
,
(i)右式证明：,
(ii)左式证明：
综上得证.