重庆市第八中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、对某班的第一学月数学成绩排名进行抽样调查得到样本数据:10,21,23,24,27,37,41,47,52,57,此样本数据中的下四分位数为( )
A.21B.23C.41D.47
2、已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次,射中环数频率分布如图所示：

令,分别表示甲、乙射中环数的均值;,分别表示甲、乙射中环数的方差,则( )
A.,B.,
C.,D.,
3、某家族有,两种不同的遗传性状,该家族某成员出现性状的概率为,出现性状的概率为,,两种性状都不出现的概率为,则该成员,两种性状都出现的概率为( )
A.B.C.D.
4、已知A,B,C,D四个开关控制着1,2,3,4号四盏灯,只要打开开关则1,4号灯就会亮,只要打开开关则2,3号灯就会亮,只要打开开关C则3,4号灯就会亮,只要打开开关D则2,4号灯就会亮.开始时,A,B,C,D四个开关均未打开,四盏灯也都没亮.现随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,则其中2号灯灯亮的概率为( )
A.B.C.D.
5、已知等差数列为递增数列,且满足,,则其通项公式为( )
A.B.C.D.
6、已知抛物线,过点引抛物线的一条弦,使它恰在点P处被平分,则这条弦所在的直线l的方程为( )
A.B.C.D.
7、如图,设,分别是椭圆的左,右焦点,点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长与椭圆交于点Q,若,则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
8、已知点P在圆上运动,若对任意点P,在直线上均存在两点A,B,使得恒成立,则线段AB长度的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、某国有企业响应国家关于进一步深化改革,加强内循环的号召,不断自主创新提升产业技术水平,同时积极调整企业旗下的甲,乙,丙,丁,戊等5种系列产品的结构比例,近年来取得了显著效果.据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍,其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示.则以下说法正确的是( )
A.2021年甲系列产品收入和2020年的一样多
B.2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多
C.2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的
D.2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多
10、已知高二某班共51名同学,某次地理测试班级最高分为150分,最低分为50分,现将所有同学本次测试的原始成绩经过公式进行折算,其中为原始成绩,为折算成绩,折算后班级最高分仍为150分,最低分为80分,则下列说法正确的是( )
A.若某同学本次测试的原始成绩为100分,则其折算成绩为115分
B.将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后,它们的中位数的序号相同
C.班级折算成绩方差可能等于原始成绩的方差
D.班级折算成绩的平均值高于原始成绩的平均值
11、A,B两组各有2名男生,2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”,乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”,丙表示事件“从A,B两组中选出的是2名男生”,丁表示事件“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”,则( )
A.甲与乙互斥B.丙与丁互斥
C.甲与乙相互独立D.乙与丁相互独立
12、已知,分别为双曲线的左,右焦点,过C右支上一点作的角平分线l交x轴于M,交y轴于点N,则( )
A.B.点M的坐标为
C.点N的坐标为D.四边形面积的最小值为
三、填空题
13、采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率,先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示击中目标,5,6,7,8,9,0表示未击中目标,以三个随机数为一组,代表三次发射的结果,经随机数模拟产生了20组随机数:
107,956,181,935,271,832,612,458,329,683
331,257,393,027,556,498,730,113,537,989
根据以上数据,估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为______.
14、已知数列的通项公式为,且为递减数列,则实数的取值范围是______.
15、已知,,从点射出的光线经轴反射到直线上,又经过直线反射到点,则光线所经过的路程为______.
16、已知椭圆的右焦点为F,过点F作倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,弦AB的垂直平分线交x轴于点P,则______.
四、解答题
17、某校为丰富教职工业余文化活动,在教师节活动中举办了“三神杯”比赛,现甲乙两组进入到决赛阶段,决赛采用三局两胜制决出冠军,假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概率为.
（1）求甲组最终获得冠军的概率;
（2）已知冠军奖品为28个篮球,在甲组第一局获胜后,比赛被迫取消,奖品分配方案是:如果比赛继续进行下去,按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球,请问按此方案,甲组,乙组分别可获得多少个篮球?
18、在平面直角坐标系中,已知圆,圆过原点及点且直线CN的一个方向向量为.
（1）求圆N的标准方程;
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等,求直线的方程.
19、如图,直三棱柱体积为,E为BC的中点,的面积为.
（1）求C到平面的距离;
（2）若,平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
20、某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有100人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图,估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数(结果保留一位小数);
（2）若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2,第四组的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1.
①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差.
②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较,解释其有差异的原因.
21、点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.
（1）点P的轨迹方程C;
（2）设直线l与x轴的交点为M,延长PF交曲线C于另一点Q,若,求的面积.
22、已知点及抛物线上一点满足的最小值为.
（1）求p;
（2）过点作两条直线分别交抛物线于点,,并且都与动圆相切,若直线PQ经过点M,求的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：由,得所给样本数据的下四分位数是23.
故选:B
2、答案：D
解析：由图可知,,,
,
,
所以,.
故选：D.
3、答案：A
解析：设该家族某成员出现X性状为事件A,出现Y性状为事件B,则X,Y性状都不出现为,则X,Y性状都出现为,所以,,
,所以,所以,所以.
故答案为:A
4、答案：D
解析：由题意,随意打开A,B,C,D这四个开关中的两个不同的开关,共有种,
其中只有打开开关时2号灯不会亮,其余情况2号灯均会亮,
所以2号灯灯亮的概率为.
故选:D.
5、答案：B
解析：由数列为递增等差数列,则,且,
又因为,所以,,
所以数列的公差,,
所以数列的通项公式为,故B项正确.
故选：B.
6、答案：B
解析：设直线与抛物线的两个交点分别为,,将两点代入抛物线方程得
,两式作差可得,即直线的斜率,
所以直线方程为,即
故选:B
7、答案：C
解析：连接,,由P在以为直径的圆上,故,
P,Q在椭圆上,故有,,
设,则,
则有,,
即可得,解得,
故,则,
故.
故选:C.
8、答案：D
解析：圆的圆心为半径为,
因为在直线上均存在两点A,B,使得恒成立,
所以以线段AB为直径的圆包含圆O,
如图所示:
当两圆内切时,线段AB的长度最小,
设线段AB的中点为E,则,
所以,
故选:D
9、答案：ABD
解析：设2020年的5种系列产品年总收入为x,则2021年5种系列产品年总收入为2x,
对A选项:,故正确;
对B选项:,故正确;
对C选项:,,故错误;
对D选项:,故正确.
故选:ABD.
10、答案：ABD
解析：由题知,解得,所以,
当时,,故A正确;
,由知,即,
故当原始成绩低于150分时,折算成绩均高于原始成绩,即除150分不变外,其余成绩折算后均提高,
所以将原始成绩和折算成绩分别从小到大依次排序后,它们的中位数的序号相同,故B,D均正确;
,故折算成绩的方差必小于原始成绩的方差,故C错误.
故选:ABD
11、答案：BCD
解析：对于A选项,因为,,,所以,所以甲与乙相互独立,故A选项错误;
对于B选项,因为,,,
所以,所以丙与丁互斥,故B选项正确;
对于C选项,由A选项知故C选项正确;
对于D选项,因为,,所以,故乙与丁相互独立,故D选项正确.
故选:BCD.
12、答案：ABD
解析：对于选项A,因为,,
所以,又,
得到,即,所以选项A正确;
对于选项B,因为,,,
所以,又,得到,
所以,
同理可得,不妨设,由选项A知,,
所以,整理化简得,所以,故选项B正确;
对于选项C,由选项B知,直线的方程为,
令得,又,得到,故选项C错误;
对于选项D,因为四边形面积,
当且仅当,即时取等号,当或时,,
所以选项D正确,
故选:ABD.
13、答案：或
解析：根据题意,这20组随机数中一次也没有击中目标的有,共有3组,
所以,这20组随机数中至少有一次击中目标的概率为.
故答案为:.
14、答案：
解析：因为为递减数列,,
所以对恒成立,
即对恒成立,所以,
故答案为:.
15、答案：
解析：因为,,
所以直线AB的方程为:
点关于x轴的对称点,
设点关于直线AB的对称点,
则,,解得,.
,
所以根据反射原理的对称性,
光线所经过的路程为
,
故答案为:.
16、答案：或0.25
解析：由题,设直线AB的方程为,,,,AB中点,
与椭圆方程联立,消去y整理得,
则,,,
所以
,
,,则点Q的坐标为,
所以直线AB的垂直平分线方程为,令,解得,所以点P的坐标为,则,
所以.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）甲组获得21个,乙组获得7个.
解析：（1）令事件:甲组在第i局获胜,,,,
甲组胜的概率为:
;
（2）由题意知,在甲组第一局获胜的情况下,甲组输掉比赛事件为:
甲组接下来的比赛中连输两场,
所以在甲第一局获胜的前提下,最终输掉比赛的概率:
,即甲获胜的概率为,
故甲组,乙组应按照的比例来分配比赛奖品,
即甲组应获得21个篮球,乙组获得7个篮球比较合理.
18、答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可知,CN的直线方程为,
圆N的圆心N在直线上,设,半径为r,
因为圆N过原点与,且圆C的圆心为,半径为,
所以,
即①,
又,
即②,
由①②可得,,
所以,
所以圆N的标准方程为;
（2）当斜率不存在时,直线l的方程为:与圆相离,不符合题意.
当斜率存在时,设直线l的方程为:,
则圆心C到直线l的距离为,
圆心N到直线l的距离为,
又因为被两圆截的弦长相等,
所以,
即,
解得:或.
故直线l的方程为或.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）设点C到平面距离为d,
又E为BC的中点,则,
则,解得.
（2）过A在平面内作交于M,如图,
因为平面平面,为交线,
所以平面,
过A在平面ABC内作交BC于N,
在直三棱柱中平面平面ABC,BC为交线,
所以平面,
因为过平面外一点A有且只有一条直线与平面垂直,
所以AM,AN重合,又M,N分别在,BC上,
所以M,N与E重合,即平面,
又平面,所以,
设,则,
所以,
所以,
解得,
所以,解得,
中,,
因为,互相平分,所以,C到平面的距离d相等,
即,
设直线与平面所成角为,
则.
20、答案：（1）平均数为36,方差为15;
（2）答案见解析
解析：（1）平均数;
（2）①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为,
则,
②,其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的,
而所得平均数是以具体的数据计算而得,因此不相等.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由动点与点之间的距离和到直线的距离的比值为,
可得,整理得,即曲线的方程为.
（2）由（1）知,,则,
设,,直线,
联立方程组,整理得,,
可得,,如图:
则,,
所以
,
所以,所以的面积.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）设抛物线的焦点为F,由题意得,即,
所以,
当且仅当M,P,F三点共线时取等号.
因为的最小值为,
所以,解得.
（2）由（1）知,,故N在抛物线上,直线NQ,NP斜率都存在,
设直线NQ,NP斜率分别为,,,
则直线NQ的方程为,
由,可得,
所以,则,又Q在抛物线上,
所以,同理,
又直线PQ过点M,所以,
即,解得,即,
因为NQ与NP都与圆C相切,所以直线NC是的角平分线,
由题意知NC的斜率存在,设直线NC的斜率为k,
则,解得,
当时,NC过原点,此时直线PQ不经过点M,故舍去,所以,
所以直线NC的方程,
所以的最小值即是点M到直线NC的距离d,即,
所以的最小值为.