2023-2024学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
3.如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
4.若函数y=m−2x的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m>2B. m>−2C. m<2D. m<−2
5.一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，则1x1+1x2的值为( )
A. 32B. −3C. 3D. −32
6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为AB上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为( )
A. 18°
B. 36°
C. 54°
D. 72°
7.已知，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(abc,b2−4ac)所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=3，BC=5，则△ABC的周长为( )
A. 16
B. 14
C. 12
D. 10
9.为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为( )
A. (n+1)2=1641B. n2+n+1=1641
C. n(n+1)=1641D. (n−1)2=1641
10.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法错误的是( )
A. ∠EAC=∠B
B. △EDC是等腰直角三角形
C. BD2+AD2=CD2
D. ∠AED=∠ACD
11.如图，点P是⊙O外一定点，连接线段OP，与⊙O交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①分别以P，O为圆心，以大于12PO长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交PO于点B；
②以点B为圆心，以BO为半径作⊙B，与⊙O交于点Q，R两点；
③连接PQ，PR，OQ，OR，QR，线段QR与PO相交于点C．
则下列说法中不一定正确的是( )
A. PQ，PR均为⊙O的切线
B. ∠QPR+∠QOR=180°
C. AQ=OQ
D. OP⋅QC=PQ⋅OQ
12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系为h=30t−5t2，其中0≤t≤6.有下列结论：
①当t=2时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s；
③小球运动中的最大高度为46m；
④小球从抛出到落地需要6s．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是13，则涂上红色的小扇形有 个．
14.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若△ADE的面积是1，则△ABC的面积是______．
15.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为______．
16.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC=100°.若点D为⊙O上一点(不与点A，C重合)，则∠ADC的度数为______．
17.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=4，点E是AD上任意一点，CF⊥BE于F.当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，则AF的最小值为______ ．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，均在格点上．
(Ⅰ)AB的长为______ ；
(Ⅱ)若以AB为边的矩形ABCD，其面积为13.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出矩形ABCD，并简要说明点C，D的位置是如何找到的(不要求证明) ______ ．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数−2，0，1，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(Ⅰ)随机的取一张卡片，直接写出抽取的卡片上的数为非负数的概率．
(Ⅱ)先随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在双曲线y=2x上的概率．
20.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(−12,2)，B(n,−1)．
(Ⅰ)求一次函数和反比例函数的解析式；
(Ⅱ)填空：
①直接写出不等式kx+b>mx的解集______ ；
②点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=mx的图象上，若x121.(本小题10分)
如图1，△ABC中，DE/​/BC，EF/​/AB．
(Ⅰ)求证△ADE∽△EFC；
(Ⅱ)如图2，若DE=EF=a，AB=3，BC=4，求a的值．
22.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D.过点D的切线与AC相交于点E．
(Ⅰ)求∠C和∠DEC的度数；
(Ⅱ)如图2，过点O作OF⊥AC于点F，过点F作MN⊥AB于点H，交⊙O于点M和N.若MN=2 3，求EC的长．
23.(本小题10分)
如图1，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD.设花圃的宽AB为x m(宽AB不大于长BC)，面积为S m2．
(Ⅰ)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(Ⅱ)请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值；
(Ⅲ)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51m2？如果能，请直接写出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由．
24.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，O(0,0)为坐标原点，正方形OABC的顶点A的坐标为(4,0).将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<45°).BA的延长线交x轴于点D，BC与y轴交于点E．
(Ⅰ)如图2，当α=30°时，求点E的坐标；
(Ⅱ)如图3，在旋转过程中，连接ED，CA，交于点F，CA与y轴交于点G，连接OF.设AD=m，△EOF的面积为S1．
①求∠EOF的度数；
②求S1关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下，设AF=n，△EOC的面积为S2，S=S1−S2.请直接写出S关于n的函数表达式(无需写出n的取值范围)．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+34x+c与y轴交于点A(0,9)，与x轴交于点B(−6,0)和点C，抛物线的顶点为P．
(Ⅰ)求此抛物线的解析式和顶点P的坐标．
(Ⅱ)若点D，E均在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m(m>0).且D，E两点的纵坐标的差为3．
①求m的值．
②将点C向上平移8m+36个单位得到点C′，将抛物线沿x轴向右平移n个单位得到新抛物线，点D的对应点为点D′，点E的对应点为点E′，顶点P的对应点为点P′.在抛物线平移过程中，当C′D′+C′E′的值最小时，请填空：n= ______ ，新抛物线的顶点P′的坐标为______ ，C′D′+C′E′的最小值为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故选项A错误；
B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故选项B正确；
C.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故选项C错误；
D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故选项D错误，
故选：B．
根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点以及求概率的方法，对四个选项逐一判断即可．
本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由图中各正方形的边长均为1，根据勾股定理，可得出
①图中阴影三角形的边长分别为：1， 2， 5；
②图中阴影三角形的边长分别为： 2，2， 10；
③图中阴影三角形的边长分别为：2， 5， 13；
④图中阴影三角形的边长分别为：1， 5，2 2；
可以得出①②两个阴影三角形的边长比1 2= 22= 5 10= 22，
∴图①②两个阴影三角形相似；
故答案为：A．
首先根据小正方形的长为1，利用勾股定理求出每个阴影部分的边长，然后用三边对应成比例的两三角形相似来判定，掌握利用勾股定理求出三边，然后利用三边对应成比例来判定两个三角形相似．
此题考查的是相似三角形的判定和勾股定理，掌握相关知识是解决此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=m−2x的图象在每个象限内y的值随x的增大而增大，
∴m−2<0，
解得m<2．
故选：C．
根据反比例函数的性质，可得m−2<0，从而得出m的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，当k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大．
5.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程x2+3x−1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=−3；x1x2=−1．
∴1x1+1x2
=x1+x2x1x2
=−3−1
=3．
故选：C．
直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA、OE，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOE=15×360°=72°，
∵P为AB上一点，
∴∠APE=12∠AOE=12×72°=36°，
故选：B．
连接OA、OE，则∠AOE=15×360°=72°，由圆周角定理得∠APE=12∠AOE=36°，于是得到问题的答案．
此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得∠AOE=72°是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
点P(abc,b2−4ac)在第一象限．
故选：A．
先由抛物线开口方向得到a>0，由抛物线的对称轴位置得到b<0，由抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则abc>0，然后由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0，于是可判断点P(abc,b2−4ac)所在象限．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴AD=AF=3，BD=BE，CF=CE，
∴BD+CF=BE+CE=BC=5，
∴AB+AC+BC=AD+AF+BD+CF+BC=3+3+5+5=16，
∴△ABC的周长为16，
故选：A．
由切线长定理得AD=AF=3，BD=BE，CF=CE，则BD+CF=BE+CE=BC=5，则AB+AC+BC=AD+AF+BD+CF+BC=16，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、三角形的周长等知识，证明AD=AF，BD=BE，CF=CE是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2，
由题意，得：1+n+n2=1641；
故选：B．
根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可．
本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，
故A正确，不符合题意；
∴△EDC是等腰直角三角形，
故B正确，不符合题意；
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，DE2=2CD2，
∴AE2+AD2=DE2，
∴AE2+AD2=2CD2，
∵AE=BD，
∴BD2+AD2=2CD2，
故C错误，符合题意
∵∠EAC=∠B=∠CDE=45°，且对顶角相等，
∴∠AED=∠ACD，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
由AC=BC，∠ACB=90°，可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，可判定A正确，B正确；根据∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，即可得BD2+AD2=2CD2，判断C错误；由∠EAC=∠B且对顶角相等，可判断D正确．
本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：∵PO是直径，
∴∠PQO=∠PRO=90°，
又∵OQ与OR是半径，
∴PQ，PR均为⊙O的切线；故选项A不合题意；
∵∠PQO+∠PRO+∠QPR+∠QOR=360°，
∴∠QPR+∠QOR=180°，故选项B不合题意；
∵PQ，PR均为⊙O的切线，
∴PR=PQ，
又∵OQ=OR，
∴PO⊥QR，
∴∠QCO=∠PQO，
又∵∠POQ=∠COQ，
∴△PQO∽△QCO，
∴POOQ=PQQC，
∴PQ⋅OQ=PO⋅QC，故选项D不合题意；
故选：C．
由切线的判定可得PQ，PR均为⊙O的切线；故选项A不合题意；由四边形的内角和定理可求∠QPR+∠QOR=180°，故选项B不合题意；通过证明△PQO∽△QCO，可得PQ⋅OQ=PO⋅QC，故选项D不合题意；即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：h=30t−5t2=−5(t2−6t)=−5(t−3)2+45，
∵−5<0，
∴当t=3时，小球运动到最大高度，最大高度为45m，
故①③错误；
当h=40时，30t−5t2=40，
解得t1=2，t2=4，
∴当运动时间为2s或4s时，小球的运动高度为40m，
故②正确；
令h=0，则30t−5t2=0，
解得t1=0，t2=6，
∴小球从抛出到落地需要6s，
故④正确，
∴正确的结论有2个，
故选：B．
把函数解析式化为顶点式，可以判断①③；令h=40，解方程求出x的值，可以判断②；令h=40，解方程求出x的值，可以判断④．
本题考查了二次函数的应用．解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．
13.【答案】4
【解析】解：12×13=4(个)．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
先根据题意得出指针指向红色的概率是13，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法，即概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE/​/BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
∴S△ABC=4S△ADE=4×1=4，
故答案为：4．
根据三角形中位线定理得到DE/​/BC，DE=12BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15.【答案】0
【解析】解：∵直线y=x与双曲线y=mx交于A，B两点，
∴联立方程组得：y=xy=mx，
解得：x1= my1= m，x2=− my2=− m，
∴y1+y2=0，
故答案为：0．
联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．
16.【答案】80°或100°
【解析】解：当点D为优弧AC上一点时，如图，
则∠B+∠D=180°，
∵∠ABC=100°，
∴∠D=80°；
当点D为劣弧AC上一点时，如图，
则∠D=∠B=100°，
∠ADC的度数为80°或100°．
故答案为：80°或100°．
分两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可求出答案．
本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，关键是分类讨论．
17.【答案】2 5−2
【解析】解：如图，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90°，
∴点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O′，连接AO′交⊙O′于点M，
在Rt△ABO′中，AO′= 42+22=2 5，
∴AM=2 5−2，
∴当点E从点A出发按顺时针方向运动到点D时，AF的最小值为2 5−2．
故答案为：2 5−2．
首先证明点F的运动轨迹是BC为直径的⊙O′，连接AO′交⊙O′于点M，求出AF的最小值即可．
本题主要考查了正多边形与圆，点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考常考题型．
18.【答案】 13 过点A作AD=AB且AD⊥AB，过点B作BC=AB且BC⊥AB
【解析】解：(1)由勾股定理得，AB= 22+32= 13．
故答案为： 13．
(2)如图，矩形ABCD即为所求．
过点A作AD=AB且AD⊥AB，过点B作BC=AB且BC⊥AB，
则点C，D即为所求．
故答案为：过点A作AD=AB且AD⊥AB，过点B作BC=AB且BC⊥AB．
(1)利用勾股定理计算即可．
(2)根据矩形的判定与性质，过点A作AD=AB且AD⊥AB，过点B作BC=AB且BC⊥AB，连接CD，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理、矩形的判定与性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为非负数的概率等于34；
故答案为：34；
(2)根据题意画图如下：

共有16个可能的结果，点A在直线y=2x上有2种，
则点A在直线y=3x上的概率是216=18．
【解析】(Ⅰ)由概率公式即可得出结果；
(Ⅱ)直接利用树状图法列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
20.【答案】x<−12或0【解析】解：(Ⅰ)将点A(−12,2)，B(n,−1)代入反比例函数y=mx(m≠0)中，
得m=−1，n=1，
∴反比例函数的解析式为y=−1x，B(1,−1)，
再将点A、B代入一次函数y=kx+b得−12k+b=2k+b=−1，
解得k=−2b=1，
∴一次函数的解析式为y=−2x+1；
(Ⅱ)①观察图象，不等式kx+b>mx的解集为x<−12或0故答案为：x<−12或0②∵m=−1，
∴反比例函数y=mx的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1∴C点在第四象限，A、B点在第二象限，
∴y3<0即y3故答案为：y3(Ⅰ)先将点A(−12,2)，B(n,−1)代入反比例函数y=mx(m≠0)中求出m、n的值，再将点A、B代入一次函数y=kx+b得到一次函数解析式，再根据解析式作图即可；
(Ⅱ)①观察图象，即可求得不等式kx+b>mx的解集；
②根据反比例函数性质，反比例函数y=mx的图象分布在第二、四象限，再根据x1本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数的性质，数形结合是解答此题的关键．
21.【答案】(Ⅰ)证明：∵DE/​/BC，EF/​/AB，
∴∠AED=∠C，∠FEC=∠A，
∴△ADE∽△EFC；
(Ⅱ)解：∵DE/​/BC，EF/​/AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
又∵DE=EF=a，
∴四边形DEFB是菱形，
∴BD=BF=EF=DE=a，
∴AD=3−a，FC=4−a，
∵△ADE∽△EFC，
∴ADEF=DEFC，
∴3−aa=a4−a，
∴a=127，
经检验，a=127是原方程的解，
∴a的值为127．
【解析】(Ⅰ)由相似三角形的判定方法可得结论；
(Ⅱ)先证四边形DEFB是菱形，可得BD=BF=EF=DE=a，由相似三角形的性质可得△ADE∽△EFC，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BAC=45°，
∴∠C=∠B=180°−45°2=67.5°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD/​/AC，
∴∠ODE=∠DEC，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠DEC=90°；
(Ⅱ)如图2，连接AD，ON，

∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
由(Ⅰ)知∠DEC=90°，
∴∠DEF=90°，
∵OF⊥AC，
∴∠OFC=90°，
∴∠ODE=∠DEF=∠OFC=90°，
∴四边形ODEF为矩形，
∴OF=DE，∠OFA=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠AOF=45°，
∴△AOF为等腰直角三角形，
∵MN⊥AB，
∴AH=OH，
∴AH=OH=HF，
设AH=OH=x，
则AO=2x，
∴ON=2x，
∵MN⊥AB，
∴NH=12MN=12×2 3= 3，
在△ONH中，由勾股定理得，
ON2=OH2+NH2，
即(2x)2=x2+( 3)2，
解得x=1，
∴OH=FH=1，
∴OA=2，
∴AB=2OA=4，
在Rt△OFH中，由勾股定理得OF= 2，
∴DE= 2，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠DEC=90°，
∴∠C+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠C，
∵∠AED=∠DEC=90°，
∴△ADE∽△DCE，
∴DEEC=AEDE，
∴ 2EC=4−EC 2，
即EC2−4EC+2=0，
解得EC=2+ 2(舍去)，EC=2− 2．
【解析】(Ⅰ)根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数；再证得OD/​/AC，即可得出∠ODE=∠DEC，根据切线的性质得出∠ODE=90°，即可求出∠DEC的度数；
(2)根据垂径定理求出NH的长，再证得AH=OH=FH，利用勾股定理即可求出半径的长，OF的长，于是得出AB的长，即可得出AC的长，再证四边形ODEF是矩形，得出DE的长，再证△ADE∽△DCE，即可求出EC的长．
本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
23.【答案】解：(Ⅱ)∵宽AB=x m，则长BC=(24−3x)m，
∴S=x(24−3x)=−3x2+24x，
又x>0，且10≥24−3x≥x，
∴143≤x≤6，
∴S关于x的函数解析式为S=−3x2+24x(143≤x≤6)；
(Ⅱ)S=−3x2+24x=−3(x2−8x)=−3(x−4)2+48，
∵−3<0，
∴当x>4时，y随x的增大而减小，
∵143≤x≤8，
∴当x=143时，S有最大值，最大值为1403，
∴当x=143时，花圃ABCD能围成的最大面积为1403m2；
(Ⅲ)能使围成的花圃面积为51m2.理由：
设AB=x m，则BC=24−3x+2=(26−3x)m，
∴S=x⋅(26−3x)=−3x2+26x，
令S=51，则−3x2+26x=51，
解得x1=173，x2=3，
∵墙的最大可用长度为10米，
∴x≤26−3x≤10，
∴163≤x≤132，
∴x=173，
此时，BC=26−3x=26−17=9(m)，
∴当AB=173m，BC=9m时，能使围成的花圃面积为51m2．
【解析】(Ⅰ)根据矩形的面积即可写出函数关系式，并根据墙长求出自变量x的取值范围；
(Ⅱ)根据(Ⅰ)中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积；
(Ⅲ)根据矩形的面积公式写出函数解析式，根据墙长求出x的取值范围，再令S=51，解方程求出x的值即可．
本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数和一元二次方程的应用．
24.【答案】解：(Ⅰ)根据题意得：点A坐标为(4,0)，将正方形OABC绕点O逆时针旋转30°，得到如图正方形OABC，

由旋转的性质得：∠COE=∠AOD=30°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC=4，∠C=∠BAO=∠OAD=90°，
在Rt△OCE中，OE=2CE，
由勾股定理得OE2=CE2+x2，
∴4CE2=CE2+OC2，
∴4CE2=CE2+16，
解得：CE=43 3，OE=83 3，
∴点E的坐示为(0,8 33)．
(Ⅱ)①∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转，
∴∠COE=∠AOD=α，
在△OCE和△OAD中，
∠ECO=∠DAO=90°CO=AO∠COE=∠AOD，
∴△OCE≌△OAD(ASA)，
∴OE=OD，CE=AD=m，
∴△EOD是等腰直角三角形，
如图，过点E作EM⊥BC交CA于点M，

则∠CEM=90°，即EM//BD，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BCA=45°，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴CE=EM=m，
∴EM=AD，
∵EM//BD，
∴∠FEM=∠FDA，∠EMF=∠DAF，
在△FEM和△FDA中，
∠FEM=∠FDAEM=DA∠EMF=∠DAF，
∴△FEM≌△FDA(ASA)，
∴EF=DF，
又∵OE=OD，
∴∠EOF=12∠DOE=45°，
②在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD2=OA2+AD2=16+m2，
∴S△EOD=12OD2=16+m22，
∵∠EOF=45°，
∴点F为等腰直角△EOD斜边的中点，
∴S1=12S△EOD=14m2+4(0(3)由(Ⅱ)得：AD=CE=EM=m，AF=MF=n，
在等腰Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
即 42+42=CM+FM+AF，
∴4 2=2n+ 2m，
∴3m=4− 2n，
又∵△EOC的面积为S2，
∴S2=12EC⋅CO=2m，
∵S1=14m2+4，
∴S=S1−S2=14m2−2m+4，
把m=4− 2n代入得：S=14(4− 2n)2−2(4− 2n)+4=12n2．
【解析】(Ⅰ)由正方形的性质得出OA=OC=4，∠C=∠BAO=∠OAD=90°，由勾股定理求出OE和CE的长，则可得出答案；
(Ⅱ)①证明△OCE≌△OAD(ASA)，得出OE=OD，CE=AD=m，过点E作EM⊥BC交CA于点M，证明△FEM≌△FDA(ASA)，得出EF=DF，则可得出答案；
②由直角三角形的性质可得出答案；
(Ⅲ)由(Ⅱ)得：AD=CE=EM=m，AF=MF=n，求出S2，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
25.【答案】398 (638,818) 203
【解析】解：(Ⅰ)将A、B两点代入抛物线y=ax2+34x+c得，
c=936a−92+c=0，
∴a=−18c=9，
∴抛物线解析式为y=−18x2+34x+9，
∵y=−18x2+34x+9=−18(x2−6x+9)+818=−18(x−3)2+818，
∴顶点P为(3,818)；
(Ⅱ)①由题意，D(m,−18m2+34m+9)，E(2m,−12m2+32m+9)，
∵D，E两点的纵坐标的差为3，
∴|−18m2+34m+9−(−12m2+32m+9)|=3，
∴m=−2或m=4，
∵m>0，
∴m=4，
②由m=4得，D(4,10)，E(8,7)，
把y=0代入y=−18x2+34x+9，
解得：x=−6或x=12，
∴点C的坐标为(12,0)，
∵将点C向上平移8m+36=356个单位得到点C′，
∴C′(12,356)，
∵D横坐标为4.E横坐标8，
∴D的纵坐标为y=−18×42+34×4+9=10，E的纵坐标为y=−18×82+34×8+9=7，
即D(4,10)，E(8,7)，
∴D′(4+n,10)，E′(8+n.7)，P′(3+n,818)，
∴C′D′+C′E′= (12−4−n)2+(356−10)2+ (12−8−n)2+(356−7)2= (8−n)2+(256)2+ (4−n)2+(76)2，
即点(n,0)与(8,256)，(4,76)的距离和最小值，
取点(4．76)关于x的对称点为(4,−76)，
∴(8,256)与(4,−76)的距离即为 (8−n)2+(256)2+ (4−n)2+(76)2的最小值，
∴C′D′+C′E′的最小值为： (8−4)2+(256+76)2=203，
设过点(8,256)与(4,−76)的直线解析式为y=kx+b，
∴256=8k+b−76=4k+b，
解得：k=43b=−132，即y=43x−132，
令y=0，解得：x=398，即n=398，
∴P′(3+n,818)为P′(638,818).
故答案为：398，P′(638,818)，203．
(Ⅰ)依据题意，将A(0,9)，B(−6,0)代入求出a，c后即可得解；
(Ⅱ)①根据题意列出方程，解方程即可求解；
②分别表示出C′，D′，E′，根据勾股定理表示出C′D′+C′E′，转化为两点到x轴的距离的和的最值问题，即可求解．
本题考查了二次函数综合问题，轴对称求线段和的最值问题，勾股定理求最值问题，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．