08向量新定义-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用）

这是一份08向量新定义-2024届高考数学重要模型专练（平面向量专题-全国通用），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③；④若，，则，其中．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．长方体的体积
2．向量与向量的向量积仍是向量，记作，它的模是，则（ ）
A．B．C．D．0
3．定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足下列条件：(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)对于任意的，恒有，现给出下面结论的编号，
①.②.③.④.⑤.
则以上正确的编号为（ ）
A．①③B．②④C．③④D．①⑤
4．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
6．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：
①；
②；
③；
④若，则．
其中恒成立的有
A．①④B．①③C．②③D．②④
7．已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为（ ）
A．B．C．8D．6
8．设定义一种向量积：．已知， ，点 在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足 (其中O为坐标原点)，则的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，πB．2,4π
C．，4πD．，π
二、多选题
9．若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（ ）

A．在上的投影向量为
B．在上的投影向量为
C．在上的投影向量为
D．在上的投影向量为
10．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）
A．线段A，B的中点的广义坐标为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则
D．若向量垂直于向量，则
11．设是大于零的实数，向量，其中，定义向量，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为 ．
14．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是 ．
15．已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是 （写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值.
②若则与无关.
③若则与无关.
④若，则.
⑤若，则与的夹角为
四、解答题
16．平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.
（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；
（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．
17．对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．
(1)若，求及；
(2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
(3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
18．我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记.已知分别为向是的@未来坐标.

(1)证明：；
(2)若向量的“@未来坐标”分别为，，求向量的夹角的余弦值.
参考答案：
1．C
【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得.
【详解】解法一：同时与，垂直；，，三个向量构成右手系，
且，所以选项A错误；
根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；
因为，
且与同向共线；
又因为，且与同向共线，
，与同向共线，
所以，且与同向共线，
，故选项C正确；
因为长方体的体积为．
又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；
故选：C．
解法二：如图建立空间直角坐标系：
，，，
则，所以选项A错误；
，则，故选项D错误；
，故选项B错误；
，则，
，，则．
所以，故选项C正确；
故选：C．
2．A
【分析】由向量的新定义，结合平面向量数量积的运算律，即可求目标式.
【详解】.
故选：A.
3．B
【分析】根据题意可得，转化为对于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的数量积逐一判断即可.
【详解】由于，又对于，恒有，
显然有，即，
则对于任意的恒成立，
显然有成立，
即，则，故序号①错误，
进而，
∵，于是，得，即序号④正确.
再由得，得，
∴，显然序号②正确.从而序号③错误，
再由②，故序号⑤错误.
综上知本题正确的序号为②④.
故选：B.
【点睛】本题命制是以新定义为背景，考查向量长度及数量积等知识概念，同时考查了等价转换、不等式恒成立问题，符合以生考熟的高考理念，考查知识内容源于教材，试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生度可以利用熟悉的通法来解决问题，从而增强考生的自信心，有利于考生正常发挥，属于中档题.
4．B
【分析】根据，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式求解.
【详解】
则
，
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．B
【分析】由题可得，结合条件可得，即得.
【详解】由题可知，，，，
所以，
两等式两边相加可得.
故选：B．
6．A
【分析】由新定义逐一判断即可求解
【详解】因为，
所以，故成立，所以①正确；
，，
故当时，不成立，所以②错；
，，
显然当不共面时不成立，例如为两两垂直的单位向量，则，所以③错；
由，可知
，
所以，
，故④正确
故选：A
7．D
【分析】首先求出、，再根据向量夹角的坐标表示求出，从而求出，最后根据所给定义计算可得．
【详解】解：由，，所以，，
所以，
因为，所以，
所以．
故选：D．
8．C
【分析】根据题意,设出Q的坐标，根据的运算得到P、Q坐标间的关系，从而得到的解析式，即可求得最大值和最小正周期．
【详解】由题意知可设，
则根据可得
即
所以
而P在的图象上运动，满足
所以，即
所以最大值为，即A=
最小正周期为
故选：C．
9．AC
【分析】过作于，连接，设，由可得，求出可得，可得在上的投影向量； 根据向量加法的平行四边形法则得，可得在上的投影向量．
【详解】过作于，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
设，则，，
由可得，
所以，则，所以在上的投影向
量为，
根据向量加法的平行四边形法则，得，
所以在上的投影向量为．
故选： AC.

10．AC
【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.
【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，
故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；
，故，
当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，
则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，
与垂直的充要条件是，故D不正确.
故选：AC．
11．BCD
【分析】根据定义求出和，再根据平面向量的数量的坐标运算，结合恒等变换公式可求出，由此可判断A和B选项；利用向量加减法的坐标运算、模长公式以及基本不等式，可判断C和D选项.
【详解】因为向量，
所以是一个实数，不是向量，所以A不正确，B正确；
因为，
所以
，当且仅当时，取得等号，
所以，故C正确；
因为，
所以
，当且仅当时，取得等号，
所以，故D正确.
故选：BCD
12．ABD
【解析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB是否正确；理解C选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.
【详解】A．因为，所以，故正确；
B．因为，故正确；
C．，此时不恒成立，故错误；
D．因为，，
所以，
所以，且，，所以，故正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的.
13．
【分析】设，表示出，根据已知列出式子即可求出.
【详解】设，则，
因为，所以，
解得，即顶点R的坐标为.
故答案为：.
14．①②④
【分析】理解新定义，对结论逐一判断
【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，
易知都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，任意
则，且，
故，故也是“凸集”
故答案为：①②④
15．②④
【详解】试题分析：由题意有三种结果，如下：；；.故①错误；∵，∴中最小为.若，则与无关，故②正确；若//，则与有关，故③错误；若，则
，故④正确；若，，∴，∴，故⑤错误.所以正确的编号为②④.
考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.
16．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）利用坐标法，设，，可知是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列，利用向量相加求得答案；（2）设 ，，则数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，利用数量积公式，得到答案．
试题解析：
（1）设，.
由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.

.
（2）设 ，.
由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.
由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分
令………①
…………②.
①-②得，，得
令
从而
点睛：本题考查数列的综合应用．本题设计了向量的背景，定义出“等差向量列”和“等比向量列”，学生在接触新题型的时候，要充分联系等差数列和等比数列，再结合向量的坐标法进行思考，即可得到解题思路．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)505
【分析】（1）根据定义找出，，从而得到，；
（2）利用反证法，假设对，然后导出矛盾，命题得证；
（3）先求出，再通过变换，找到最小的时的情况.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）设，
假设对，则均不为0．
所以．
即．
因为，
所以．
所以．
与矛盾，故假设不正确．
综上，对于任意，经过若干次变换后，必存在，使．
（3）设，因为，
所以有或．
当时，可得三式相加得．
又，可得．
当时，也可得，于是．
设的三个分量为这三个数，
当时，的三个分量为这三个数，
所以．
当时，的三个分量为，
则的三个分量为的三个分量为，
所以．
所以，由，可得．
因为，所以任意的三个分量始终为偶数，
且都有一个分量等于2．
所以的三个分量只能是三个数，
的三个分量只能是三个数．
所以当时，；当时，．
所以的最小值为505．
【点睛】关键点睛：新定义问题，常见于选择（填空）的压轴小题中，少数会出现在解答题中，主要考查利用相关的知识点解决概念创新问题的能力，对新定义的理解以及转化，较灵活，属于综合题.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因为，则计算即可证明；
（2）由题意可得，根据向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以
（2），
，
，
，
所以.