03正、余弦定理的实际应用（角度测量问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练

这是一份03正、余弦定理的实际应用（角度测量问题）-【三角函数与解三角形专题】2024届高考数学重要模型专练，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得，沿土坡向坡顶前进后到达D处，测得．已知旗杆，土坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（ ）（参考数据：，，.）
A．B．C．D．
3．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62B．0.56C．D．
4．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
5．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（ ）
A．B．C．D．
6．前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（ ）
A．10kmB．20kmC．kmD．km
8．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东方向上B．北偏西方向上C．南偏东方向上D．南偏西方向上
二、多选题
9．一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（ ）
A．北偏东方向B．南偏东方向C．东北方向D．东南方向
10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为.货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西
三、填空题
11．如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得 ．
12．某沿海四个城市的位置如图所示，其中，，mile， mile， mile，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发向直线航行，一段时间到达后，轮船收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则 .
13．某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则 ．
四、解答题
14．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
15．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：
（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；
（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．
16．南京市江北新区计划在一个竖直长度为20米的瀑布正前方修建一座观光电梯．如图所示，瀑布底部距离水平地面的高度为60米，电梯上设有一个安全拍照口， 上升的最大高度为60米．设距离水平地面的高度为米， 处拍照瀑布的视角为．摄影爱好者发现，要使照片清晰，视角不能小于．
（1）当米时，视角恰好为，求电梯和山脚的水平距离．
（2）要使电梯拍照口的高度在52米及以上时，拍出的照片均清晰，请求出电梯和山脚的水平距离的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】先在中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出，化简可得.
【详解】在中，由正弦定理可得
在中，易知，
则
整理可得
故选：D
2．D
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】如图1，过点A作，，垂足为，，则，
故，
连接，在中，由余弦定理可得：，即，
∵，即此时为锐角，
如图2 ，设平台，即三点重合，则，
连接，在中，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
则，
整理得，即，
又∵，则，
此时钝角增大的值大于，符合题意的只有D选项.
故选：D.
3．A
【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得.
【详解】由题意，，所以，
切线，，由切线长定理，不妨取，
又，由余弦定理，
有， .
故选：A
4．B
【分析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：．
5．D
【分析】在中，由余弦定理得，进而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【详解】由题意，在中，由余弦定理得；
因为，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故选：D
6．A
【分析】根据题意画出图象，然后利用余弦公式求解即可
【详解】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，，
所以在中，，
因为，所以，
故选：A
7．C
【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离.
【详解】由题意，可得，，则，
在中，由正统定理得．
故这时船与灯塔之间的离是km.
故选：C.
8．D
【分析】根据题意求出各角的度数，确定，故灯塔A在灯塔B的南偏西方向上.
【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．
9．AB
【分析】画出示意图如图所示，在三角形中，由正弦定理即可求出的值，讨论船在B处和处时，即可求出答案.
【详解】画出示意图如图所示，由题意得，，，
所以，解得，
所以或．
当船在B处时，，所以；
当船在处时，，所以．
综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．
故选：AB.
10．ABC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在中，由已知得，，
则，．
由正弦定理得，
所以处与处之间的距离为 ，故A正确；
在中，由余弦定理得，
，
又，
解得．
所以灯塔与处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔在处的西偏南，故C正确；
灯塔在的南偏东，
在灯塔的北偏西，故D错误；
故选：ABC．
11．
【分析】根据题意，得到，由正弦定理计算，求出，进而可求出结果.
【详解】∵，，∴，
在中，由正弦定理有，
即，即，
在中，由正弦定理有，即，
所以，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
12．
【分析】求出，计算，利用正弦定理再计算，故而．
【详解】解：连结，
在中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得，即，
解得，，
，
在中，由正弦定理得，即，
解得，，
．
故答案为：．
13．
【详解】设船行驶至，则，连接，过作于，则，,,，所以，所以，又，，可得，所以，故.
14．(1)两船相距海里.
(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得
所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）
故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据仰角可得，在可利用来构造关于的方程，进而得到结果；
（2）在中，利用正弦定理可构造方程求得，从而可得，进而求得结果.
【详解】（1）设塔高，由题意知，
均为等腰直角三角形
在中，，，
即塔高约为米
（2）在中，
，
由得：
即塔身的倾斜度约为
【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到塔高的求解和角度的求解问题，关键是能够将问题转化为三角形内的边长和角度的求解问题，属于常考题型.
16．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）设，过作，垂足为.则，,
即可求得
（2）由题，
由题知在上恒成立转化为在上恒成立，解之即可
试题解析：（1）设，过作，垂足为．
，,

解得：
（2），
由题知在上恒成立
在上恒成立
解得
答：CD的取值范围