08数列-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份08数列-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津河北·高三统考期末）设双曲线的焦距为，若成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020上·天津·高三校联考期末）在数列中，，，记的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021上·天津·高三统考期末）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2022上·天津河西·高三统考期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．10B．9C．8D．4
5．（2021上·天津红桥·高三统考期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020上·天津滨海新·高三校联考期末）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）
A．4天B．5天C．6天D．7天
二、填空题
7．（2022上·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）在数列中，，则数列中的最大项的 .
8．（2022上·天津河西·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且满足通项公式，则 ．
9．（2020上·天津·高三校联考期末）设是等差数列，若，，则 ；若，则数列的前项和 .
10．（2018上·天津和平·高三统考期末）已知数列的通项，若数列的前项和为，则 ．（用数字作答）
三、解答题
11．（2023上·天津·高三统考期末）已知为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)已知．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求．
12．（2023上·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末）已知等比数列的前项和为，是等差数列，，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设的前项和为，，.求证：.
13．（2023上·天津河西·高三校考期末）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项.
(1)求和的通项公式；
(2)设，求证：数列的前项和
(3)求，其中；
14．（2023上·天津河西·高三北京师范大学天津附属中学校考期末）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知中，求数列的前项和．
15．（2023上·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
16．（2023上·天津河北·高三天津五十七中校考期末）已知公比大于1的等比数列的前6项和为126，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
17．（2022上·天津和平·高三统考期末）已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)设，，求数列的前项和；
(3)设，求数列的前项和.
18．（2022上·天津南开·高三统考期末）在等比数列中，已知，且，，依次是等差数列的第2项，第5项，第8项.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为.
（i）求；
（ii）求证：.
参考答案：
1．A
【分析】根据等差数列定义和双曲线关系可求得，由此可得渐近线方程.
【详解】成等差数列，，又，
，即，，
双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
2．D
【解析】根据等比数列的定义求出通项公式，再根据等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】∵，∴，
又，∴数列是以1为首项，为比的等比数列，
∴，∴.
故选：D.
3．B
【解析】根据题意两式相减可求得公比，将公比代入原式可求出首项.
【详解】，，
两式相减可得，即，故公比为3，
由得，解得.
故选：B.
4．C
【分析】求出数列在n的不同取值范围的正负，判断出的单调性，分析即可求出.
【详解】令，解得或，
当时，，故当时递增，且
当时，，当时递减，
当时，，当时递增，
且
故
所以取得最小值时的值为8.
故选：C.
5．D
【解析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质可求得结果.
【详解】因为为等差数列，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质求解是解题关键.
6．B
【解析】由蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，又由莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，
又因为，即，解得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．6或/7或6
【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项.
【详解】，
令，解得，
即时，，
当时，，
所以或最大，
所以或.
故答案为：6或7.
8．
【分析】由时，，可得，利用累乘法得，从而即可求解.
【详解】因为，
所以时，，即，
化简得，又，
所以，
检验时也成立，
所以，
所以，
故答案为：.
9．
【分析】利用等差数列通项公式求得，进而求得；求出再利用分组求和法及裂项相消法求.
【详解】由题意得：.
因为，
所以，，，
所以.
故答案为：；.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写.
10．480
【详解】结合数列的通项公式分组求和有：
,
则.
11．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）设数列的公差为，根据已知条件可得出关于、、的等式组，解此等式组可证得结论成立；
（2）（i）求得，利用裂项相消法可证得结论成立；
（ii）求得，利用错位相减法可求得.
【详解】（1）证明：设数列的公差为，
由，得，
即可解得，所以原命题得证．
（2）解：（i）由（1）及，，可得，，
所以，.
（ii）由（1）及，可得， 所以，
记. ①
. ②
①②得
，
因此，.
12．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差、公比，即可得到所求通项；
（2）运用数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．
【详解】（1）①，②，③，
②①可得，
因为，所以，
设的公差为，则，即，
代入③可得，解得，所以；
由①②可得，，等比数列的公比为，所以.
（2），，
当为奇数时，，
．
由，有，即．
13．(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据前前项和的定义结合等差中项分析可得，再根据等比数列的通项公式求得，代入等差、等比数列的通项公式求解即可；（2）利用裂项相消法运算证明；（3）利用并项求和法结合错位相减法运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，则，解得，
可得，解得或（舍去），
故，
∵，则，
∴数列是首项，公差的等差数列，故.
（2）由（1）可得：，
则数列的前项和.
（3）由题意可得：，
当时，则
，
则，
∵，
可得，
两式相减可得：
∴，
故.
14．(1)，
(2)
【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后利用等差，等比的通项公式进行列方程即可求解；
（2）由于，故可利用裂项相消的方法进行求解.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
所以由可得，解得，
由可得，解得，所以的通项公式为，
由可得，解得，
所以的通项公式为．
（2），
所以数列的前项和．
15．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式，结合题设求基本量，进而写出和的通项公式；
（2）由（1）得，应用错位相减法求前项和；
（3）由（1）得，要使题设不等式恒成立即在上恒成立，讨论的奇偶性，判断是否存在使之成立.
【详解】（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，
∴，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上两式相减，得：，
∴.
（3）由题设，，要使任意恒有，
∴，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得等比数列的首项和公比，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，，
依题意，
即，解得，所以.
（2），
，
，
两式相减得
，
所以.
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）公式法解决即可；（2）由（1）得，错位相减求和即可；（3）由题得，当为奇数时，，裂项相消，分组求和结合解决即可.
【详解】（1）由题知数列是公差为1的等差数列，且，
所以，得，
所以，
因为数列是等比数列，且，，
所以，解得，
所以，
所以和的通项公式为，，
（2）由（1）得为，，
所以，
所以数列的前项和
，
所以，
所以
，
所以
（3）由（1）得为，，
所以，
因为当为奇数时，，
所以求列的前项和为
.
18．(1)，；
(2)（i），（ii）证明见解析.
【分析】(1)设出等比数列的公比，根据已知条件列出方程求出此公比及等差数列的公差，再列式即可作答.
(2)(i)由(1)的结论结合分组求和方法即可计算；(ii)利用(1)和(i)的结论，借助裂项相消法求出即可作答.
【详解】（1）设等比数列的公比为q，而等差数列的第2项，第5项，第8项成等差数列，则，
即，解得，又，于是得，
显然有，，则等差数列公差，，
所以数列和的通项公式分别是，.
（2）(i)由(1)得，
.
(ii)由(i)得，，
所以.
【点睛】思路点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．