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    12计数原理与概率统计-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习(人教A版)

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    12计数原理与概率统计-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习(人教A版)

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    这是一份12计数原理与概率统计-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习(人教A版),共21页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.(2023上·天津·高三统考期末)从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查,发现他们的用电量都在之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示.在被调查的用户中,用电量落在区间内的户数为( )
    A.45B.46C.54D.70
    2.(2023上·天津河北·高三统考期末)将三颗骰子各掷一次,记事件“三个点数都不同”,“至少出现一个点”,则条件概率,分别等于( )
    A.,B.,C.,D.,
    3.(2023下·天津红桥·高三统考期末)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和、假定两球是否落入盒子互不影响.则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为( )
    A.B.C.D.
    4.(2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末)下面是追踪调查200个某种电子元件寿命(单位:)频率分布直方图,如图:
    其中300-400、400-500两组数据丢失,下面三个说法中,只有一个是正确的,正确的是( )
    ①寿命超过的频率为0.3;
    ②用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为:
    ③寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2
    A.①B.②C.③D.以上均不正确
    5.(2022上·天津·高三统考期末)某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况,销售额都在区间(单位:百万元)内,将其分成5组:,,,,,并整理得到如下的频率分布直方图,据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为( )
    A.16B.22C.64D.88
    6.(2022上·天津河北·高三统考期末)某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标,对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性,为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位:万元),并绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图中数据,月销售额在内的频率为( )
    A.0.18B.0.12C.0.10D.0.06
    7.(2020上·天津红桥·高三统考期末)袋中共有个球,其中有个红球、个黄球和个绿球,这些球除颜色外完全相同,若从袋中一次随机抽出个球,则取出的个球颜色相同的概率为( )
    A.B.
    C.D.
    8.(2022上·天津红桥·高三统考期末)一名学生申请加入学校的个社团,假设各个社团通过这名学生的申请是相互独立的,并且概率都是,设是这名学生申请被通过的次数,则随机变量的期望为( )
    A.B.
    C.D.
    二、填空题
    9.(2023上·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末)袋子中有5个大小相同的球,其中2个红球,3个白球.每次从中任取2个球,然后放回2个红球.①在第一次取球时,设只取到1个白球的概率为,取到白球的个数的期望为,则 ;②已知第一次取到球的颜色相同,则第二次只取到1个白球的概率为 .
    10.(2023上·天津·高三统考期末)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球,从中摸出两个球,若表示摸出白球的个数,则 .
    11.(2023上·天津·高三统考期末)在的展开式中,常数项为 .(结果用数字表示)
    12.(2023上·天津河北·高三统考期末)二项式的展开式中常数项为 .
    13.(2023下·天津红桥·高三统考期末)街道上有编号1,2,.3,的十盏路灯,为节省用电又能看清路面,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,满足条件的关灯方法有 种.
    14.(2023下·天津红桥·高三统考期末)某校高一年级、高二年级、高三年级学生人数之比为,现采用分层抽样的方法从高中各年级共抽取同学参加“流行病学”调查,则高一年级应抽取 名学生.
    15.(2023上·天津河西·高三天津市第四十二中学校考期末)在的二项式展开式中的系数为90,则 .
    16.(2023上·天津南开·高三校考期末)现有道题,其中道甲类题,道乙类题,张同学从中任取道题解答.张同学至少取到道乙类题的概率为 ;已知所取的道题中有道甲类题,道乙类题.已知张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,则的数学期望为 .
    17.(2023上·天津河西·高三校考期末)一个盒子里有5个相同的球,其中2个红球,2个黄球,1个绿球,每次从盒中随机取出一个且不放回,则红球首先被全部取完的概率为 ;若红球全部被取出视为取球结束,记在此过程中取到黄球的个数为,则 .
    18.(2023上·天津河西·高三校考期末)在的展开式中,不含的各项系数之和为 .
    19.(2022上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考期末)已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球,袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从两个袋内各任取1个球,则恰好有1个红球的概率为 ;记取出的2个球中红球的个数为随机变量,则的数学期望为 .
    20.(2022上·天津南开·高三统考期末)对某实验项目进行测试,测试方法:①共进行3轮测试;②每轮测试2次,若至少合格1次,则本轮通过,否则不通过.已知测试1次合格的概率为,如果各次测试合格与否互不影响,则在一轮测试中,通过的概率为 ;在3轮测试中,通过的次数X的期望是 .
    三、解答题
    21.(2019上·天津红桥·高三统考期末)某校有高一学生人,高二学生人,高三学生人,现用分层抽样的方法从中抽取人进行关于作息时间的问卷调查.设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种选择,下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
    (1)完成下面的统计表;
    (2)从被调查的高二学生中选取人进行访谈,求选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率.
    22.(2020上·天津西青·高三期末)为弘扬中华优秀传统文化,某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛.比赛规则:每个参赛者回答A、B两组题目,每组题目各有两道题,每道题答对得1分,答错得0分,两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩.小明估计答对A组每道题的概率均为,答对B组每道题的概率均为.
    (Ⅰ)按此估计求小明A组题得分比B组题得分多1分的概率;
    (Ⅱ)记小明在比赛中的得分为ξ,按此估计ξ的分布列和数学期望Eξ.
    23.(2020上·天津滨海新·高三校联考期末)某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在内,其中语文成绩分组区间是:,,,,.其成绩的频率分布直方图如图所示,这60名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示:
    (1)求图中的值及数学成绩在的人数;
    (2)语文成绩在的3名学生均是女生,数学成绩在的4名学生均是男生,现从这7名学生中随机选取4名学生,事件为:“其中男生人数不少于女生人数”,求事件发生的概率;
    (3)若从数学成绩在的学生中随机选取2名学生,且这2名学生中数学成绩在的人数为,求的分布列和数学期望.
    24.(2020上·天津·高三校联考期末)每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果,现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求:每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答,所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
    ⑴求各个年级应选取的学生人数;
    ⑵若从被选取的10名学生中任选3人,求这3名学生分别来自三个年级的概率;
    ⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题,另外3道题回答不对,记表示该名学生答对问题的个数,求随机变量的分布列及数学期望.
    25.(2019上·天津南开·高三统考期末)2012年“双节”期间,高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速分成六段:,,,,后得到如图的频率分布直方图.
    某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
    求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.
    若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在的车辆至少有一辆的概率.
    26.(2019上·天津和平·高三校联考期末)有3名同学在学校提供的共4门课程中选课,每人任选其中一门.
    (Ⅰ)求3人选择3门不同课程的概率;
    (Ⅱ)求恰有2门课程没有被选中的概率;
    (Ⅲ)求选择课程同学数的数学期望.
    同意
    不同意
    合计
    高一
    高二
    高三
    分组区间
    语文人数
    24
    3
    数学人数
    12
    4
    参考答案:
    1.B
    【分析】根据频率分布直方图,利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可.
    【详解】由题知,这些用户中,
    用电量落在区间内的频率为,
    则用电量落在区间内的户数为.
    故选:B
    2.B
    【分析】由古典概型概率公式分别求得,代入条件概率公式求解即可.
    【详解】由题意知:事件“三个点数都不同且至少出现一个点”,
    ,,,
    ,.
    故选:B.
    3.D
    【分析】首先求出甲乙两球都不落入盒子的概率,即可得到答案.
    【详解】由题知:甲乙两球都不落入盒子的概率为,
    所以乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
    故选:D
    4.C
    【分析】分别设其中一个正确,来推断另外两个说法,即可判断选项.
    【详解】若①正确,寿命超过的频率为,那么寿命在400-500的频率为0.15,这样电子元件的平均寿命为,②正确,③错误,不满足条件,故①正确不成立;
    若②正确,则①正确,③错误,故②正确不成立;
    若③正确,则寿命超过的频率为0.35,①③都不正确,故③正确.
    故选:C
    5.C
    【分析】先由各组的频率和为1,求出,从而可求得区间的频率,进而可求出在区间内的人数
    【详解】由题意得,,解得,
    所以销售额在区间内的频率为,
    所以全部销售员工中销售额在区间内的人数为,
    故选:C
    6.B
    【分析】利用频率分布直方图可直接求出月销售额在[14,16)内的频率.
    【详解】月销售额在[14,16)内的频率为: ,
    故选:B
    7.C
    【分析】分别求出抽中两个红球、黄球、绿球的概率,然后利用加法原理即可求出答案
    【详解】抽中两个红球的概率为:
    抽中两个黄球的概率为:
    抽中两个绿球的概率为:
    取出的个球颜色相同的概率为:
    故选C
    8.D
    【分析】由题意服从二项分布,由二项分布的期望公式可得解
    【详解】由题意,服从二项分布,即
    由二项分布的期望公式可得:
    故选:D
    9. / /0.45
    【分析】由题意可知随机变量的可能取值有,计算出随机变量在不同取值下的概率,可计算出的值;记事件:第一次取到的白球有个,其中,记事件:第二次只取到1个白球, 根据条件概率即可求解.
    【详解】由题意可知,随机变量的可能取值有,
    则,
    所以,
    则;
    记事件:第一次取到的白球有个,其中,
    记事件:第二次只取到1个白球,
    则,,

    所以已知第一次取到球的颜色相同,则第二次只取到1个白球的概率为
    .
    故答案为:;.
    10.
    【分析】求出的可能取值即每个对应的概率,再由均值公式即可求出.
    【详解】的可能取值为,
    ,,
    ,则.
    故.
    故答案为:.
    11.
    【分析】写出展开式通项,令的指数为零,求出参数的值,代入通项即可得解.
    【详解】的展开式通项为,
    令,可得,
    因此,展开式中的常数项为.
    故答案为:.
    12.240
    【分析】根据二项式展开式的通项公式,令其中的指数等于0,即可得出,再代入得出答案.
    【详解】二项式的通项公式为,
    令,解得,
    则展开式中常数项为,
    故答案为:240
    13.
    【分析】采用插空法即可求解.
    【详解】10只灯关掉3只,实际上还亮7只灯,而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯,此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯,有种方法,
    故答案为:.
    14.
    【分析】利用分层抽样的公式计算可得答案.
    【详解】高一年级应抽取的学生人数为
    故答案为:
    15.
    【分析】利用展开式的通项,令求出,进而求解.
    【详解】因为的二项式展开式的通项为,
    令,解得:,所以,
    又因为的二项式展开式中的系数为90,则,
    所以,
    故答案为:.
    16.
    【分析】利用组合计数原理、古典概型概率公式以及对立事件的概率公式可求得事件“张同学至少取到道乙类题”的概率;分析可知随机变量的可能取值有、、、,求出随机变量在不同取值下的概率,可求得的值.
    【详解】记事件张同学从道题中任取道题解答,至少取到道乙类题,
    则,
    由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,
    则,,
    ,,
    所以,.
    故答案为:;.
    17.
    【分析】由题可知红球首先被全部取完分两种情况,红球2次取完或红球3次取完,结合古典概型概率公式即得;由题可知可能的取值为0,1,2,然后分别求概率,再利用数学期望公式即得.
    【详解】由题可知红球2次取完的概率为,
    红球3次取完(前2次中有1次取到黄球)的概率为,
    所以红球先取完的概率为;
    由题可知可能的取值为0,1,2,则



    所以.
    故答案为:;.
    18.
    【分析】令可得各项系数之和为1,再根据二项展开式的通项公式求含项的系数,即可得结果.
    【详解】令可得各项系数之和为,
    二项展开式的通项公式为,
    令,则,
    故含项的系数为,则不含的各项系数之和为.
    故答案为:.
    19.
    【分析】利用古典概型公式及求数学期望方法计算得解.
    【详解】从、两个袋内各任取1个球,有种,恰好有1个红球有
    从、两个袋内各任取1个球,则恰好有1个红球的概率为
    取出的2个球中红球的个数为随机变量,则可能取值为
    ;;;
    故答案为: ,
    20. /
    【分析】根据给定条件利用独立事件概率的乘法公式求出两次都不合格的概率即可得通过的概率;再利用二项分布的期望公式计算作答.
    【详解】依题意,一轮测试的2次都不合格的概率,所以在一轮测试中,通过的概率为;
    在3轮测试中,通过的次数X的所有可能值为:0,1,2,3,
    一轮测试就是一次试验,有通过与不通过两个结果,因此,,则,
    所以通过的次数X的期望是.
    故答案为:;
    21.(1)答案见解析
    (2)
    【分析】(1)用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查,高一学生抽取5人,高二学生抽取6人,高三学生抽取2人,由此能完成统计表.
    (2)设“同意”的两名学生编号为1,2,“不同意”的编号为3,4,5,6,从被调查的高二学生中选取2人进行访谈,基本事件有15个,利用列举法能求出选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率.
    【详解】(1)解: 某校有高一学生105人,高二学生126人,高三学生42人,
    用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查.
    高一学生抽取:人,
    高二学生抽取:人,
    高三学生抽取:人,
    设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种,且每人都做了一种选择,
    则完成统计表如下:
    (2)解:设“同意”的两名学生编号为1,2,“不同意”的编号为3,4,5,6,
    从被调查的高二学生中选取2人进行访谈,基本事件有15个,
    分别为:,,,,,,,,,,,,,,,
    列举可知:选出两人有15种结果,至少有一人“同意”的有,,,,,,,,,共有9种
    选到的两名学生中至少有一人“同意”的概率为.
    22.(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见详解,
    【解析】(1)分析满足题意的事件,然后分别计算出概率,再用概率加法公式计算即可;
    (2)先根据题意求得ξ可取的值,再根据题意,分别求出概率,通过分布列计算数学期望即可.
    【详解】(Ⅰ)设小明A组题得1分,B组题得0分为事件M,
    A组题得2分,B组题得1分为事件N,
    则小明A组题得分比B组题得分多1分的概率:
    P(M∪N)=P(M)+P(N)

    (Ⅱ)由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0,1,2,3,4(单位:分)
    则P(ξ=0)=(1)2(1)2,
    P(ξ=1),
    P(ξ=2),
    P(ξ=3),
    P(ξ=4)=()2()2,
    ∴ξ的分布列为:
    Eξ.
    【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解,属基础题;此类题目要认真分析题意,搞清楚每个事件背后的具体情况,是重中之重.
    23.(1)数学成绩在的人数为8人(2)(3)详见解析
    【解析】(1)由根据频率分布直方图的性质,求得,再根据频率分布直方图数据,即可求解;
    (2)由事件可分为①2个男生,2个女生;②3个男生1个女生;③4个男生三种情况,即可求解相应的概率;
    (3)由题意,得到可能取值有,求得相应的概率,求得随机变量的分布列,利用期望的公式,即可求解.
    【详解】(1)由题意,根据频率分布直方图的性质,
    可得,解得.
    则语文成绩在,,,,中的人数分别为,
    则数学成绩在,,,,中的人数分别
    为,
    所以数学成绩在的人数为8人.
    (2)从这7名学生中随机选取4名学生,事件为:“其中男生人数不少于女生人数”,
    可分为①2个男生,2个女生;②3个男生1个女生;③4个男生,三种情况:
    所以事件发生的概率.
    (3)由题意可知可能取值有0,1,2.
    ,,,
    的分布列为
    所以.
    【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解,其中解答中认真审题,熟记频率分布直方图的性质,以及准确求解随机变量对应的概率,得到随机变量的分布列是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
    24.(1)高一年级应选取人,高二年级应选取人,高三年级应选取人.(2)(3)详见解析
    【分析】(1)利用分层抽样求得各年级应抽取的人数;
    (2)利用计算原理求得基本事件的总数为,再求出所求事件的基本事件数,再代入古典概型概率计算公式;
    (3)随机变量的所有可能取值为,利用超几何分计算(),最后求得期望值.
    【详解】(1)由题意,知高一、高二、高三年级的人数之比为,由于采用分层抽样方法从中选取人,因此,高一年级应选取人,高二年级应选取人,高三年级应选取人.
    (2)由(1)知,被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人,所以,从这名学生任选名,且名学生分别来自三个年级的概率为.
    (3)由题意知,随机变量的所有可能取值为,
    且服从超几何分布,().
    所以,随机变量的分布列为
    所以,随机变量的数学期望为
    .
    【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布,考查统计与概率思想的应用,考查数据处理能力,求解的关键是确定随机变量的概率模型.
    25.(1)系统抽样;(2)众数的估计值等于,中位数的估计值为;(3).
    【分析】由抽样特点确定为系统抽样;(2)选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数;求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴即为中位数;(3)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数和车速在[65,70)的车辆数.从车速在(60,70)的车辆中任抽取2辆,设车速在[60,65)的车辆设为a,b,车速在[65,70)的车辆设为c,d,e,f,列出各自的基本事件数,从而求出相应的概率即可.
    【详解】由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,是一个具有相同间隔的抽样,并且总体的个数比较多,这是一个系统抽样.
    故调查公司在采样中,用到的是系统抽样.
    众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于.
    设图中虚线所对应的车速为x,则中位数的估计值为:

    解得,即中位数的估计值为.
    从图中可知,车速在的车辆数为:辆,
    车速在的车辆数为:辆.
    设车速在的车辆设为a,b,车速在的车辆设为c,d,e,f,
    则所有基本事件有:,,,,,,,,,,,,,,共15种.
    其中车速在的车辆至少有一辆的事件有:,,,,,,,,,,,,,共14种
    所以,车速在的车辆至少有一辆的概率为
    【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,古典概型,熟记直方图中中位数,众数求解方法,正确计算是关键,是中档题.
    26.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)
    【分析】(Ⅰ)先确定总事件数,再确定3人选择3门不同课程事件数,最后根据古典概型概率求结果,(Ⅱ)先确定总事件数,再确定恰有两门课程没有选中的事件数,最后根据古典概型概率求结果,(Ⅲ)先确定随机变量取法,再分别求对应概率,最后根据数学期望公式求结果.
    【详解】(Ⅰ)3名同学任选一门,共有种选法,其中3人选择3门不同课程有种选法,因此所求概率为
    (Ⅱ)3名同学任选一门,共有种选法,其中恰有2门课程两门课程没有选中有种选法,因此所求概率为
    (Ⅲ)记为选择A课程同学数,则,
    因此
    【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
    第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义;
    第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式,求出随机变量取每个值时的概率;
    第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;
    第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
    同意
    不同意
    合计
    高一
    3
    2
    5
    高二
    2
    4
    6
    高三
    1
    1
    2
    ξ
    0
    1
    2
    3
    4
    P





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