04函数的应用-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版）

这是一份04函数的应用-山东省2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教A版,2019新版），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·山东烟台·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东济南·高三统考期末）已知函数,关于的方程至少有三个互不相等的实数解,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022上·山东潍坊·高三统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022上·山东枣庄·高三统考期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的．已知经过x年后，碳14的残余量，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年代是（ ）．（参考数据：）
A．公元前2893年B．公元前2903年
C．公元前2913年D．公元前2923年
5．（2022上·山东青岛·高三统考期末）已知函数，，若函数在内有3个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
6．（2021上·山东威海·高三统考期末）若关于的方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021上·山东烟台·高三统考期末）已知函数，若方程有个不同的实根，从小到大依次为，，，…，，则下列说法错误的是（ ）
A．B．当时，
C．当且时，D．当时，
8．（2021上·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当号时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022上·山东临沂·高三校考期末）若函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的取值范围为
B．在上恰有两个极大值点
C．在上有极大值点
D．在上单调递增
10．（2022上·山东济宁·高三统考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上有4个零点
C．的最大值为
D．在区间上单调递增
11．（2022上·山东枣庄·高三统考期末）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
12．（2022上·山东泰安·高三统考期末）已知是定义域为的奇函数，函数，当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增B．有两个零点
C．D．不等式的解集为
13．（2022上·山东淄博·高三统考期末）已知函数，则（ ）
A．
B．
C．若函数恰有个零点，则
D．当时，
14．（2021上·山东济宁·高三统考期末）已知函数是定义在R上的偶函数，满足，且当时，．若函数恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023上·山东潍坊·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个性质的函数 .
①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.
16．（2021上·山东青岛·高三统考期末）设函数的图象在点处的切线为，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2023上·山东德州·高三统考期末）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．
(1)将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
(2)对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
18．（2023上·山东日照·高三校联考期末）已知函数是的导函数．
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，判断关于的方程在内实数解的个数，并说明理由．
19．（2023上·山东烟台·高三统考期末）某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的.
20．（2023上·山东枣庄·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，求证在上存在极值点，且.
21．（2022上·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；（注：要求取点，利用函数零点存在定理进行求解）
(3)在第（2）的条件下，设的两个零点，且，求证：.
22．（2022上·山东烟台·高三统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有零点，
①求a的取值范围；
②求证：．
参考答案：
1．A
【分析】由题意画出的图象，由图知，均关于对称，有14个交点，即可求出函数的所有零点之和.
【详解】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，
均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故选：A.
2．C
【分析】画出图象,解方程可得,或,因为,根据图象分类讨论,或时,时, 时,三种情况下根的情况即可.
【详解】解:由题知,(且),
所以,
故在上,,单调递减,
且,
即,
在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
有,
画图象如下:

由至少有三互不相等的实数解,
即至少有三个互不相等的实数解,
即或至少有三个互不相等的实数解,
由图可知,当或时,与有一个交点,
即有一个实数解,
此时需要至少有两个互不相等的实数解,
即,解得
故或;
当时,无解,舍;
当时,,
此时有两个不等实数解,
有两个不等实数解,
共四个不等实数解,满足题意.
综上: 或.
故选:C
3．B
【分析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象， 转化为图像交点的横坐标，数形结合即得解
【详解】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
故选：B
4．B
【分析】由题意碳14的半衰期为5730年，可求出，再根据2010年检测出碳14的残留量约为初始量的，可求出，进而求出答案.
【详解】碳14的半衰期为5730年，，当时，，， 2010年之前的4912年是公元前2902年，以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.
故选：B.
5．B
【分析】先考虑的情况，再考虑的情况，把函数有3个零点转化为方程有3个实根，化简，构造两个新函数，图像有3个交点，画图得答案.
【详解】，
当时，显然有，即不是的零点；
当时，函数在内的零点个数即为方程在上的实根个数
当时，有，即；
当时，有，即
所以函数在内有3个不同的零点等价于与的图像有3个不同的交点，作出图像如图：
由图可知或
故选：B.
6．B
【解析】通过分离参数变成，构造函数，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出的取值范围.
【详解】故
则
设，
故
在上为减函数，.
故时；时.
故在上为增函数，在上为减函数.
，
且时；时
与的图象要有两个交点
则的取值范围为.
故选：B
【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.
7．D
【分析】令，判断的奇偶性，即可判断选项A；利用分段函数的解析式得到是函数的一个零点，利用为偶函数，只需研究的情况，作出函数和的图像，数形结合判断选项B、C、D.
【详解】令，则，所以为偶函数，所以零点关于对称，则所有的零点之和为0，故A正确；
因为，所以，所以是函数的一个零点，
由上述过程可知，为偶函数，故只需研究的情况即可，
当时，令，即，作出函数和的图像，
观察可知，当时，与至少有一个交点，即至少有3个根，不符合n=1；
当时，图中直线为临界值，设其斜率为，此时与相切，
若，则n=1，
若，则n至少为3；
再作出斜率的直线，观察与的位置关系可知，，
所以n=1时，，故B正确；
当且时，即为B选项中讨论的，此时直线与相切，
设切点，则有3个不同的实数根，
的导数为，故有，消去k得：，所以
，故C正确；
作出如图示的和，其中和相切，的斜率为，
设的斜率为，则.
当时，即，与有3个交点，此时n=7；
当时，与有2个交点，此时n=5；
当时，与有1个交点，此时n=3；
故D错误.
故选：D.
【点睛】判断函数有零点(方程有根)的常用方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
8．C
【分析】根据函数的性质得到其大致图象，把零点转化为图象的交点，即可求得结论．
【详解】解：定义在上的奇函数满足，故图象关于对称，
，
故，
，
即周期为4，又因为当，时，，
函数的所有零点即为的交点，
因为时，对应图象如图，
故共有5个零点，一个为2，另两对都关于对称，
，
故选：．
9．AD
【分析】利用整体代换先求出在区间上的取值范围，再根据零点个数可求得的取值范围，可判断A；根据极值点定义可得在的极值点个数是由的取值决定的，可能有一个也可能有两个即可判断B；同理在上可能有极大值点，也可能没有，即C错误；由时，，可得在上单调递增可判断D.
【详解】由题可知，时，，
若函数在上恰有三个零点，根据三角函数图象性质可知解得，即选项A正确；
由可知，当时，，此时在上只有1个极大值点，
当时，，在上恰有两个极大值点；所以B错误；
当时，，
不妨取，此时，即当时，，由正弦函数图象性质可知在上没有极大值点；即C错误；
当时，，而，
所以当时，，由正弦函数图象性质可知在上单调递增，即D正确；
故选：AD.
10．AC
【分析】根据偶函数的定义可判断A的正误，求出函数在上的零点和最值后后可判断BC的正误，利用辅助角公式结合正弦函数的性质可判断D的正误.
【详解】的定义域为，且，故为偶函数，
故A正确.
当时，，
令，则，解得，
故在上有2个零点，故B错误.
又当时，，
因为且在不单调，
故在区间上不单调，故D错误.
当时，；
当时，；
故，而，
故是周期函数且周期为.
而当时，，故，
此时，故，
故，故，
由为偶函数可得在上的最大值为，
由的周期性可得在上的最大值为.
故选：AC.
11．BD
【分析】根据函数的解析式，结合题意和函数的图象，分类讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为函数与函数交于点,
由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，
由题意，函数，函数有两个交点，
若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；
若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，
则或
解得，
结合选项，可得的可能取值为和.
故选：BD.
12．BC
【分析】根据给定条件探求函数的性质，然后逐一分析各个选项判断作答.
【详解】因函数是上的奇函数，则，也是上的奇函数，
当时，，
依题意，，有成立，因此，在上单调递减，A不正确；
因，则，而在上单调递减，即在上有唯一零点1，
由奇函数的性质知，在上有唯一零点-1，即有两个零点，B正确；
因，即，C正确；
由得：或，而在上单调递减，有在上单调递减，
因此有：或，不等式的解集为，D不正确.
故选：BC
13．BCD
【分析】直接计算、的值，可判断A选项；利用函数在上的单调性可判断B选项；数形结合求出的取值范围，可判断C选项；求出不等式在时的解，数形结合可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，，故，A错；
对于B选项，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
因为，，，
且，，
，
因为，所以，，
即，所以，，
且，，，
所以，，
即，B对；
对于C选项，作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象至多有两个交点，不合乎题意，
当时，直线与函数的图象有无数个交点，不合乎题意，
由题意可知，直线与函数的图象有个交点，
则，解得，C对；
对于D选项，当时，由可得，解得，
当时，，结合图象可知当时，，D对.
故选：BCD.
14．BD
【分析】由已知条件得出函数的周期，然后研究一个周期内参数范围，再由周期性得正确选项．
【详解】由得函数图象关于直线对称，又是偶函数，
所以是周期函数，且周期为2，
时，．则时，，
函数恰有3个不同的零点，即的图象与直线有三个不同的交点，作出函数的图象，作出直线，如图，
当直线过时，，
当直线与相切时，
由，，，，
由图可得，当时，满足题意，再由周期性，可知四个选项中，只有BD正确．
故选：BD．
15．（答案不唯一）
【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证单调递增即可写出解析式.
【详解】由是奇函数，不妨取，且函数图象关于原点对称；
又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证在单调递增，显然满足.
故答案为：（答案不唯一）
16．
【解析】首先由导数的几何意义可知切线的斜率，将切点代入切线方程可得的值，即可得有两个不等实根，转化为与图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.
【详解】由可得，
在点处的切线斜率为，所以，
将点代入可得，
所以方程即有两个不等实根，
等价于与图象有两个不同的交点，
作的图象如图所示：
由图知：若与图象有两个不同的交点则吗，
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．(1)，
(2)0.6
【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式.
（2）根据已知条件列不等式并分离常数，结合函数的单调性求得的最小值.
【详解】（1）由题意可得，
所以A公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：
，；
（2）由题意可知，问题可转化为对所有的恒成立，
即在但成立，
即，
令，则，
此时，
令
任取，
，其中.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且．所以的最大值为，则．
所以复工率k达到0.6时，对任意的，A公司才能不产生亏损．
18．(1)；
(2)2，理由见解析.
【分析】（1）由题意在上恒成立，即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；
（2）求出a的值，由，得 ，令 ,,再构造函数令， ，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数.
【详解】（1）由题意在上恒成立，得 ，
即恒成立，令，则 ，
当时，，
令，即，则，
得，
令，即，
或得 或，
所以在和为减函数，在上为增函数，
，，故，
故，即，
综上 ，实数的取值范围 .
（2）由题意，
,
由，得 ，
令 ， 令，
,令
在上单调递减,
注意到,
∴存在,使，
且当时， ， 单调递增,
当时，，单调递减,
且 ,
,
所以在和上各有一个零点，
设为，且当时，单调递减；时，单调递增，
当时，单调递减
且 ，
∴当时， ，
当 时，，
故在上有唯一的零点，设为，
且当 ，时， ，在上单调递减；
当 时，，在上单调递增．
注意到 ，
，
所以：在和上各有一个零点，设为，
所以共两个零点，
故方程在内实数解的个数为2.
【点睛】难点点睛：在解答关于的方程在内实数解的个数时，难点在于要根据导数的特征，连续构造函数，判断其导数的正负，进而判断函数单调性，再结合零点存在定理，确定零点个数.
19．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式, 得到和的关系. 再由圆柱和球的表面积公式建立关系 式, 将表达式中的用表示，并注意到写定义域时, 利用, 求出自变量的范围.
（2）用导数的知识解决, 注意到定义域的限制, 在区间中, 极值末必存在, 将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.
【详解】（1）设该容器的体积为，则，
又，所以
因为，所以.
所以建造费用，
因此，.
（2）由（1）得，.
由于，所以，令，得.
若，即，当时，，为减函数，当时，，为增函数，此时为函数的极小值点，也是最小值点.
若，即，当时，，为减函数，此时是的最小值点.
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，先证明在上递增，注意到，然后利用单调性解不等式；
（2）先根据零点存在定理，说明存在正数解，然后利用，用表示后，构造函数，证明即可.
【详解】（1）时，，，令，则，于是时，，递增，时，，递减，
故在处取得最小值，即，于是，故在上递增，注意到，
故，结合单调性，于是，即，解得，不等式的解集为.
（2），则，令，，由可知，时，，递增，时，，递减，在处取得最小值，
而，又记，，
故在上单调递减，故，于是，即；
，令，，记，则，则在单增，，
故在上递增，，取，则；
记，，于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，
故，取得等号，于是. 于是，
由和零点存在定理可知，，使得，且，，，，所以是极小值点；
由可得，，令，代入，整理，，
于是时，，递减，时，，递增，故在处取得最大值，故，取，故，原命题得证.
【点睛】本题第二问的关键有两步，第一，使用零点存在定理时，这两个点的寻找；第二证明存在极值点后，设而不求，用隐零点的方式处理.
21．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出，分、讨论的单调性可得答案；
（2）由（1）函数有两个零点，应有，最大值为，分、、讨论可得时存在，分别计算，，根据函数零点存在定理可得答案；
（3）要证，只需证明，即，又，即证，令，只需证明，构造函数，，再利用的单调性可得答案.
【详解】（1）定义域为，对函数求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，令，得，
当时，，此时函数在上单调递增；
当时，，此时函数在上单调递减；
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减.
（2）由（1）可知：当时，函数在上单调递增，
此时最多有1个零点，因此若函数有两个零点，应有，
由（1）可知在处，函数取得极大值，也是最大值为，
（i）若，即时，函数仅有一个零点，不符合题设；
（ii）若，即时，函数没有零点，不符合题设；
（ⅲ）若，即时，取，
，
根据函数零点存在定理，此时函数在上有且仅有一个零点；
取，且（此时），，
根据函数零点存在定理，此时函数在上有且仅有一个零点；
所以此时，函数有两个零点，
综上所述，若函数有两个零点，实数a的取值范围为.
（3）要证，两边同时取自然对数，只需证明，
因为，是的两个零点，所以.即，
只需证明：，即，
又，所以只需证明，
即证，令，则，只需证明，
构造函数，，，
构造函数，，，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，函数在上单调递减，因此，原不等式得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）利用导数求函数的零点问题或根据零点求参数．
22．(1)时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减．
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）对函数求导，讨论a的取值情况，判断导数的正负，确定函数的单调性;
（2）①对a分类讨论，与1进行比较，结合零点存在定理，即可得到答案;
②根据在上有零点，可以先整理得到，利用该式，先将要证明的不等式左面进行变形，分离参数，再利用构造函数，结合求导，判断函数的单调性可进行证明；同理可证明不等式的右边部分.
【详解】（1）（1），．
当时，恒成立，在上单调递增．
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上，时，在上单调递增，
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）①注意到，，
由（1）知，当时，在上单调递增，
对任意，恒有，不合题意；
同理，当时，在上单调递减，
又，所以对任意，恒有，不合题意；
当时，，由（1）知，在上单调递增，
在上单调递减，所以，
又当时，，
由零点存在定理知，存在唯一一点，使得，满足题意．
综上所述，a的取值范围为．
②由①知，当时，，
解得．要证，只需证．
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以在上恒成立，即，即．
要证，只需证，即．
又因为，即证．
令，，则．
又，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
所以在恒成立，所以在上单调递减，
又，所以，即，不等式得证．