06等式与不等式-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版）

这是一份06等式与不等式-湖南2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人教版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·湖南娄底·高三校联考期末）已知为等差数列的前项和，，则数列 的最大项为 （ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·湖南娄底·高三校联考期末）已知全集 ，集合，集合，则集合 （ ）
A．B．
C．D．
3．（2022上·湖南常德·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2020上·湖南邵阳·高三统考期末）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）设x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．2B．6C．10D．14
6．（2020·湖南湘潭·高三统考期末）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）已知函数，，若存在，使不等式成立，则的取值范围为
A．B．
C．D．
8．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数t的取值范围为
A．B．
C．D．
9．（2020上·湖南怀化·高三统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2022上·湖南常德·高三统考期末）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023上·湖南怀化·高三统考期末）已知直线 是圆的一条对称轴，则的最小值为 .
12．（2022上·湖南娄底·高三统考期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为 ．
13．（2020上·湖南常德·高三统考期末）若实数满足约束条件，则的最大值为 ．
14．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为 .
15．（2020·湖南岳阳·高三统考期末）设满足约束条件：则的最小值为 ．
16．（2020上·湖南怀化·高三统考期末）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．
四、解答题
17．（2022上·湖南常德·高三统考期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
18．（2020上·湖南怀化·高三统考期末）已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若b＝2，求的取值范围．
19．（2020上·湖南·高三统考期末）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数最小值为，且，求的最小值.
20．（2020上·湖南益阳·高三统考期末）已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，不等式成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】先根据等差数列的求和公式和通项公式求出首项与公差，求出等差数列的通项公式，代入中，利用基本不等式性质分析即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，
所以，所以，
则，
所以，
所以等差数列的通项公式为：，
所以，
当且仅当时取等号，又，
所以当或时取最大值为，
故选：B.
2．B
【分析】根据集合的运算定义求解即可.
【详解】由解得，所以，
因为，所以，
所以，
故选:B.
3．B
【分析】先求,再应用交集运算,得出即可.
【详解】因为,所以
所以
故选: .
4．B
【分析】化简集合，结合交集运算，即可得到结果.
【详解】由题意知，，即集合
所以
故选:B.
5．C
【解析】作出约束条件所表示的平面区域，利用直线在轴截距的几何意义，即可求得答案。
【详解】不等式组表示的可行域为如图所示的的内部（包括边界），
易得，，，
当过点C时，取得最大值，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，求解时注意将问题转化为直线在轴上截距的最值问题。
6．A
【解析】计算出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】解：，，
，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题.
7．C
【解析】将转化为关于的二次函数，配方求出的最小值，只需，解关于的不等式，即可得出结论.
【详解】，，可化为
.当时，，所以当时，，由题意可知，，
所以，从而得到，
所以或或.
故选:C.
【点睛】本题考查函数存在成立问题，转化为求函数最值，考查配方法求二次函数的最值，以及三角不等式的解法，属于较难题.
8．A
【解析】化角为边，由余弦定理求出角的取值范围，设，则，并确定的取值范围，再由关于的一元二次不等式恒成立，，求出间的不等量关系，利用的取值范围，即可求出结果.
【详解】在中，由正弦定理及，
得，由余弦定理，
得，
又因为，所以，
记，则.
因为，所以，从而，
所以
可化为，
即，恒成立，
所以依题有，
化简得，即得恒成立，
又由，得或.
故选:A.
【点睛】本题以一元二次不等式恒成立为背景，考查三角形边角互化、余弦定理求角的范围、以及同角间的三角函数关系，考查不等式的关系，是一道较难的综合题.
9．D
【解析】化简集合，由交集定义即可求解.
【详解】或，
.
故选:D
【点睛】本题考查交集运算，属于基础题.
10．BD
【分析】利用基本不等式及指对数函数的性质逐项分析即得.
【详解】∵，，，
∴，当且仅当时取等号，故A错误；
由，当且仅当，即时取等号，故B正确；
因为，当且仅当时取等号，故C错误；
因为，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：BD.
11．4
【分析】根据直线过圆心求得的关系式，结合基本不等式求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，
由题意知直线过圆心，得，即，
由于，，所以，
∴
，当且仅当时等号成立.
故答案为：
12．6
【分析】利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
13．4.
【解析】画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可求出答案．
【详解】解：由题意，实数满足的约束条件的可行域如图
由得点，
目标函数变形得，
则由图可知，当直线经过时，
目标函数取得最大值，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题．
14．
【解析】由，，且，得，求出公比，进而求出通项公式和前n项和，然后解不等式，即可得结论
【详解】设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和基本量的计算，考查解指数不等式，属于中档题.
15．
【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，向上平移直线，减小，当过点时，取得最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作目标函数对应的直线，并平移该直线得最优解．
16．
【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值.
【详解】作出可行域，如下图所示：
当目标函数过时，
取最大值为8.
故答案为:
【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.
17．(1)；
(2)①；②.
【分析】（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
【详解】（1）∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
（2）选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求；
（2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴；
（2）由，
可得：,
又，
∴即，当且仅当时取等，
又，
∴的取值范围为．
19．（1）（2）
【解析】（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.
【详解】（1）当时，，即，无解；
当时，，即，得；
当时，，即，得.
故所求不等式的解集为.
（2）因为，
所以，则，
.
当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
20．（1），（2）
【解析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解方程；
（2）去绝对值，分离参数，转化为求函数的最值，利用基本不等式和函数的单调性，即可得出结论.
【详解】（1）当时，不等式，即为，
当时，由，得，所以，
当时，由，得，所以，
当时，由，得，所以，
故不等式的解集为.
（2）当时， ，
由，得，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，
因为函数在上单调递减，
所以当时，取最大值为，
故实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查分类讨论方法解绝对值不等式，考查恒成立问题，分离参数，转化为求函数的最值，属于中档题.