猜题01 直线与方程-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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题型一：斜率与倾斜角的关系
题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围
题型三：直线方程的求法及应用
题型四：两直线的平行与垂直
题型五：两直线的交点
题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题
题型七：线段和差最值问题
题型八：直线与坐标轴围成的面积问题
题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题
题型十：坐标法的应用
题型十一：距离新定义
题型一：斜率与倾斜角的关系
1．（2023·黑龙江鸡西·高二校考期末）直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由得，所以该直线的斜率为：.
设直线倾斜角为，则，且，所以.
故选：C
2．（2023·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°
B．经过两点的直线的倾斜角为锐角
C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应
D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应
【答案】D
【解析】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；
B：过点A、B的直线的斜率为，
即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；
C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；
D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.
故选：D.
3．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
4．（2023·江苏南通·高二统考阶段练习）已知直线上有点，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】因为直线上有点，
所以，解得，
又，所以l的倾斜角为2．
故选：D．
题型二：直线与线段的相交关系求斜率范围
5．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
6．（2023·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题知，直线的倾斜角为，则，
，，
且直线与连接点，的线段总有公共点，
如下图所示，
则，即，
.
故选：B
7．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】设直线与线段交于点，其中，
所以，.
故选：A.
8．（2023·福建南平·高一统考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】即，又因为，
所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，
所以直线斜率
故选：A
题型三：直线方程的求法及应用
9．（2023·陕西西安·高二统考期末）已知的三个顶点是．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)求边的中线所在直线的方程．
【解析】（1）∵，
∴边的垂直平分线的斜率．
又边的中点坐标为，
∴边的垂直平分线的方程为，即．
（2）∵边的中线所在直线过点和，
∴边的中线所在直线的方程为，
即．
10．（2023·山东聊城·高二统考期末）已知的边所在直线的方程分别为，，点在边上．
(1)若为直角三角形，求边所在直线的方程；
(2)若为的中点，求边所在直线的方程．
【解析】（1）由的边所在直线的方程分别为，,
可知角不是直角，
若角是直角，由点在边上，
得边所在直线的方程为；
若角是直角，由边所在直线的方程为，
得边所在直线的斜率为，又点在边上，
所以边所在直线的方程为，即．
（2）由题意可设，由为的中点，得，
将点的坐标代入边所在直线的方程，
得，
所以，解得，所以，
得边所在直线的斜率为，
所以边所在直线的方程为，
即．
11．（2023·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线的一个方向向量为，求直线的方程．
【解析】（1）因为直线与直线垂直，故设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线方程为.
（2）因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率，
又直线过点，
所以直线方程为，整理得.
12．（2023·重庆·高二校联考阶段练习）在中，已知点，，．
(1)求BC边上中线的方程．
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
【解析】（1）BC中点，即，故BC边上中线的方程为，即；
（2）直线过B点且x轴上截距是y轴上截距的2倍，
i. 若直线过原点，则直线方程为，即；
ii. 若直线不过原点，设y轴上截距为m，则直线方程为，代入B点解得，故直线方程为，即；
故该直线的一般式方程为或.
题型四：两直线的平行与垂直
13．（2023·辽宁锦州·高二校联考期末）直线，若，则 ；若，则 .
【答案】 或
【解析】因为，所以，解得或，
因为，所以，解得，经检验符合题意，所以.
故答案为：或；.
14．（2023·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期末）已知直线与平行，则实数的值为 .
【答案】或
【解析】因为直线与平行，
所以，解得或.
故答案为：或.
15．（2023·河南三门峡·高二统考期末）已知直线与平行，则实数 ．
【答案】0或
【解析】因为直线与平行，
所以，
解得或，
经检验，此时两直线平行.
故答案为：0或
16．（2023·上海虹口·高二统考期末）若直线：.与直线：互相垂直，则实数的值为 .
【答案】/
【解析】直线与直线垂直，
，
解得．
故答案为：．
题型五：两直线的交点
17．（2023·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为 ．
【答案】2
【解析】直线过定点，过定点，
当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；
当时，易求得，此时，
综上可知，．
故答案为：2
18．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）直线，当m变动时，所有直线都通过定点 .
【答案】
【解析】将直线方程化为.
解，可得，
所以，当m变动时，所有直线都通过定点.
故答案为：.
19．（2023·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）经过直线与直线的交点且在轴上截距为6的直线方程是 ．
【答案】
【解析】联立直线与直线的方程，
解得，即交点坐标为.
由直线在轴上截距为6，即直线过点，斜率，
所以直线的方程为，化为一般式方程可得.
故答案为：.
20．（2023·江苏连云港·高二期末）已知点，直线，且点在直线上，，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由题知，点，直线，且点在直线上，，
所以，
设，
所以由题意可得：，解得：，
所以点的坐标为，
故答案为：
21．（2023·江苏淮安·高二统考期末）若三条直线，，交于一点，则实数值为 ．
【答案】
【解析】联立，解得，即直线与直线的交点为，
所以直线过点，即，解得，
故答案为：.
22．（2023·高一单元测试）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即交点为.
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
题型六：两点距离、点到直线的距离、平行直线的距离问题
23．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知函数的图象与函数和函数的图象分别交于两点，若，则 ．
【答案】4
【解析】因为，
所以函数的图象恒在函数上方，
设，，则，，
由可得，
又因为所在直线的斜率为，所以，
因为，所以，
即，解得，
因为，所以，代入函数，可得．
故答案为：
24．（2023·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故答案为：.
25．（2023·江西抚州·高二统考期末）若直线：与：平行，则与之间的距离为 ．
【答案】
【解析】因为直线：与：平行，
所以，解得，
所以直线：与：平行，
所以与之间的距离为.
故答案为：.
26．（2023·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ．
【答案】
【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,
故，解得,则点．
直线的方程为,即．
故答案为：
27．（2023·江苏南京·高二金陵中学校考期末）已知点，到直线的距离相等，则实数的值为
【答案】或
【解析】因为点，到直线的距离相等，
所以，
解得或，
故答案为：或
28．（2023·广西防城港·高二统考期末）两平行直线与之间的距离是 .
【答案】
【解析】因为，所以有，
所以直线的方程为：，化简为：，
因此这两条平行直线之间的距离为：，
故答案为：
题型七：线段和差最值问题
29．（2023·上海徐汇·统考一模）已知正实数满足，则的取最小值 .
【答案】
【解析】设直线，点在直线上，且在第一象限，
设点，
所以，
如图所示，
点A关于直线对称的点设为，
则有解得，
所以，由图可知，当在直线时，
最小，最小值为，
即的最小值为，
故答案为：.
30．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，
则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为=
故答案为：
31．（2023·内蒙古赤峰·高二统考期末）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如：与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数，的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数，
表示点与点与距离之和的最小值，则点在轴上，
点关于轴的对称点，
所以，
所以的最小值为：.
故答案为：.
32．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）若，则的最小值是 .
【答案】
【解析】，
表示点到点和点的距离之和，
关于轴的对称点为，
在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
33．（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】动直线过定点，即，
动直线过定点，即，
对于动直线与动直线，
因为，
所以动直线与动直线相互垂直，
所以点轨迹为以AB为直径的圆，

，
，当且仅当时取等号，
的最大值为
故答案为：.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，，圆：，M，N分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意，
在圆中，圆心，半径为1，
在圆中，圆心，半径为3，
是直线上的动点，连接，，
则的最小值为，的最小值为，
则的最小为.
设圆心关于直线的对称点为，
连接，，
则解得
故，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：6.
35．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ．
【答案】.
【解析】由直线分别交轴和于点，可得，
如图所示，设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
又由，即，则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
即的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
题型八：直线与坐标轴围成的面积问题
36．（2023·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程．
(1)在轴、轴上的截距互为相反数；
(2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
【解析】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为，
②当直线不经过原点时，设直线的方程为
在直线上，，，即．
综上所述直线的方程为或
（2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得，
故，故，当且仅当，即时等号成立，
故此时面积最小为,
故直线方程为，即
37．（2023·湖北武汉·高二统考期末）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【解析】（1）由题意可得.
（2）在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
38．（2023·浙江绍兴·高二诸暨中学校考阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)时，求直线l的方程．
(2)当的面积最小时，求直线l的方程．
【解析】（1）作，则.
由三角形相似，，可求得，，
∴方程为，即；
（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，
∵l过点，∴，解得，∴的面积，
化简，得.①
∴，解得或（舍去）.
∴S的最小值为4，
将代入①式，得，解得，
∴.∴直线l的方程为.
39．（2023·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）设直线l的方程为
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为.
当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:.
综上所述，直线的方程为或.
（2）,
∵不经过第二象限,∴,解得.
∴实数的取值范围是.
（3）令,解得,解得;
令,解得,解得或.
综上有.
∴
,
当且仅当时取等号.
∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即
题型九：点线对称、线点对称、线线对称问题
40．（2023·广东佛山·高二统考期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为，
故选：B
41．（2023·安徽·高二校联考期中）如图，已知某光线从点射出，经过直线上的点B后第一次反射，此反射光线经过直线上的点C后再次反射，该反射光线经过点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】设点关于的对称点为，
则有，解得，
所以，.
又点关于的对称点为，
根据光的反射原理，可知点与点，均在直线上，
所以．
故选：D.
42．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点和，线段中点为点,
折线即为线段的中垂线，
则，，所以，
直线的斜率为，则折线斜率为2，
所以折线方程为：，
由题知与关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以化简得，
解得，所以.
故选：A
43．（2023·高二课时练习）关于原点对称的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于直线，将换为，换为得到，即，
所以直线关于原点对称的直线是.
故选：C
44．（2023·高二单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
45．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为，
在上取一点，设它关于直线的对称点为，
则有，整理得，解得，即，
由，，可得所求直线方程为，即，
故选：C.
46．（2023·全国·高二期中）如果直线与直线关于轴对称，那么直线的方程为（ ）
A．B． 0C．D．
【答案】A
【解析】设关于轴对称的直线上的任意一点，
则关于轴的对称点在直线上，
故，即即为所求．
故选：A．
题型十：坐标法的应用
47．（2023·全国·高二课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
【解析】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，
过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．
设，，则．
直线AB的方程为，即．
直线BC的方程为，即．
设底边AC上任意一点为，
则点P到直线AB的距离为，
点P到直线BC的距离为，
点A到直线BC的距离为．
所以．
因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
48．（2023·浙江绍兴·高二统考期末）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.
(1)若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?
(2)若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.
【解析】（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，
当时，则轮船返港的直线为，
因为没有触礁危险，所以原点到的距离，
解得.
（2）根据题意可得，，点C在直线上，故点C，
设轮船返港的直线是，则，
所以. 当且仅当时取到最小值.
49．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知直线，直线和．
(1)求证：直线 恒过定点；
(2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求．
【解析】（1）由题，
可化为，
由于，令，可得，
所以，解得，
即直线 恒过定点．
所以直线 恒过定点.
（2）由（1）知，不妨设，
由题意可知，恰为 的中点，
所以，
因为， 分别在直线 和直线 上，
所以，
解得 ，所以，
将代入直线方程，解得．
所以 的值为 .
50．（2023·高二课时练习）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求：
(1)外心的坐标；
(2)重心的坐标；
(3)垂心的坐标．
【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：，
即，
由得：，即外心.
（2）设，则重心，
将代入欧拉线得：，即…①；
由得：…②；
由①②得：或（与重合，不合题意），
，重心.
（3）由（2）知：；由（1）知：，
边的高所在直线方程为：，即；
由得：，垂心.
题型十一：距离新定义
51．（2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（ ）
（参考数据：，．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
【答案】B
【解析】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
52．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于B，设，
则，
，
所以，
所以点是的“好点”；
对于C，设，
则，
所以点不是的“好点”；
对于D，设，
则，
所以点不是的“好点”.
故选：B.
53．（2023·高二课时练习）对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC上，||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为（ ）
A．①③B．①②C．①D．③
【答案】C
【解析】对于①，若点C在线段AB上，设点C的坐标为(x0，y0)，
则x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，
则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立，故①正确；
对于②，在△ABC中，若∠C=90°，
则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；
对于③，在△ABC中，
||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.
当x0-x1与x2-x0同号，且y0-y1与y2-y0同号时，等号成立，故③不一定成立.
因此只有命题①成立，
故选：C.