猜题04 数列-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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题型二：等差、等比数列的性质及应用
题型三：证明等差、等比数列
题型四：数列的通项公式
题型五：数列求和
题型六：数列中的范围与最值问题
题型七：数列的实际应用
题型八：数学归纳法
题型一：等差数列与等比数列的基本运算
1．（2023·全国·高二校联考期中）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为且，可得，解得.
故选：C.
2．（2023·河北石家庄·高二石家庄实验中学校考期末）已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（ ）
A．160B．253C．180D．190
【答案】B
【解析】设数列的首项为，公差为，
因为，所以，解得，
所以，
故选：B.
3．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等差数列中，已知，，则（ ）
A．90B．40C．50D．60
【答案】D
【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，
，，故，
.
故选：D
4．（2023·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期末）已知等比数列的公比，，则（ ）
A．B．5C．10D．20
【答案】C
【解析】因为且，
所以.
故选：C
5．（2023·陕西渭南·高二统考期末）设为正项递增等比数列的前n项和，且，，则（ ）
A．63B．64C．127D．128
【答案】A
【解析】设比数列的公比为，由，得，
解得（舍）或，则，
.
故选：A
6．（2023·安徽宣城·高二统考期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A．4B．16C．32D．64
【答案】D
【解析】当公比 时可得，代入，与矛盾，所以.
由等比数列的前项和公式 ，可得，
两式相除，得 ，可解得或（舍），
当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.
故选：D
7．（2023·陕西榆林·高二统考期末）设等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】设等比数列公比为，则有，解得，
，则有，得.
故选：D
题型二：等差、等比数列的性质及应用
8．（2023·河南驻马店·高二校考阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得
.
故选：B
9．（2023·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考期中）已知等差数列，若，则 ．
【答案】
【解析】已知等差数列，所以
则，所以
故.
故答案为：.
10．（2023·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则= .
【答案】
【解析】因为，根据等差数列的性质，
.
故答案为：.
11．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）在等比数列中，且，则 .
【答案】
【解析】，
故答案为：
12．（2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校联考期中）已知等比数列的前项和为，则 ．
【答案】12
【解析】法一：设等比数列的公比为，由，得，
而，于是，
所以．
法二：因为为等比数列，所以也成等比数列，
即成等比数列，即.
故答案为：12
题型三：证明等差、等比数列
13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式
【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，
所以数列为等差数列，首项，公差为2.
（2）由（1）知，，则
当时，，显然不满足上式，
所以的通项公式是.
14．（2023·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）已知数列满足，，．
(1)证明：是等差数列；
(2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得．
【解析】（1）证明：，，
又，，则，
数列是首项为5，公差为2的等差数列；
（2）由（1）得数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，
当时，，，，，，
由累加法得，则，
又当时，符合题意，
，则，
数列的前项和为，
，即，即，解得（不合题意，舍去）或，
最小的正整数为7．
15．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知数列满足，．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列落入区间的所有项的和．
【解析】（1）由，可知，，
得，且，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
所以，即；
（2）由题意，即，
解得：，即，
故落入区间的项为，
所以其和
.
16．（2023·西藏拉萨·高二校考期中）已知数列中，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由可得,即，
所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）
.
17．（2023·云南保山·高二校联考期末）设数列的前项和为，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足求数列的前20项的和.
【解析】（1）数列的前项和为，已知，①，
当时，，解得，
故，②，
②-①得：，
即，
故，
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，
整理得.
数列满足
故且，
当为偶数时，，
整理得，
故
题型四：数列的通项公式
18．（2023·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 .
【答案】/
【解析】因为，
，，
，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
所以，
故答案为：
19．（2023·河北石家庄·高二统考期末）已知数列满足，且，则数列的通项公式 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
即．又，，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴，
∴数列的通项公式．
故答案为：.
20．（2023·河南鹤壁·高二统考期末）已知数列满足，，若，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】根据，取倒数变形为，利用等比数列的定义求解.因为，
所以，
所以，
而，且，
数列是首项为1，公比为2的等比数列，
.
故答案为：
21．（2023·上海徐汇·高二位育中学校考期末）数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=
【答案】，
【解析】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.
故答案为:
22．（2023·甘肃天水·统考一模）在数列中，，且，求数列的通项公式．
【解析】由题设，
所以且，
显然满足上式，
所以
23．（2023·甘肃临夏·高二校考期末）已知数列的前n项和公式为，求的通项公式．
【解析】当时，；
当时，，
也符合上式，
所以.
24．（2023·北京海淀·高二人大附中期末）求下列数列的通项公式.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
【解析】（1）因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以；
（2）因为，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（3）由，
当时，，
当时，，
当时，上式不成立，
所以
（4）因为，
所以，
则当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（5）因为，所以，
则当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（6）因为，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以；
（7）由，得，
当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以；
（8）由，
当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列数列从第二项起是以为公比，为首项的等比数列，
所以，
当时，上式不成立，
所以.
题型五：数列求和
25．（2023·广东广州·高二统考期末）已知等差数列的前n项和为，且，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【解析】（1）由题意知：，（）
即：化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以 ①，
可得 ②，
①-②得：.
故.
26．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)若数列满足，且的前项和为，则对任意的，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知得，成等差数列，
，即，
解得或（舍去），
当时，．
（2），或．

当时，
．
令，①
则，②
①-②得，
，

当时，．
当时，递增．
而当时，，
对任意的，存在，使得恒成立，且．
27．（2023·黑龙江大兴安岭地·高二校考期末）已知数列满足，．
(1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意都满足成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），故，则，且，
故是首项为，公比为的等比数列，，；
（2），，
，且当n趋于+∞时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
28．（2023·广东珠海·高二校考期末）记为数列的前项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求的值．
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，又，
两式相减可得，解得，
上式对也成立，
所以，；
（2），，
所以．
29．（2023·湖北·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【解析】（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
显然，当时，满足，
所以.
（2）由（1）知，
因为时，，当时，，
所以当时，，
当时，①，②，
所以①②得，因为，
所以，
所以
30．（2023·陕西西安·校考模拟预测）数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.
(1)若，，成等比数列，求k的值；
(2)当时，求数列的前项的和
【解析】（1）由可得，，，
所以，，.
又，，成等比数列，，即，
又，故.
（2）时，，，，…，
，
.
31．（2023·安徽宿州·高二校联考期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
32．（2023·陕西渭南·高二校考阶段练习）在数列中，，
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由得，
，
所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列.
（2）由（1）得，则，
.
33．（2023·江苏常州·高二江苏省前黄高级中学校考期末）设，是函数的图象上的任意两点．
（1）当时，求的值；
（2）设，其中，求；
（3）对应（2）中，已知，其中，设T为数列的前n项和，求证．
【解析】（1），是函数的图象上的任意两点，
，，且时，
（2），
，
， ①
， ②
由①②，得：
，，故；
（3），
，
，，是单调递增数列，
，
所以
，
.
34．（2023·重庆·高二统考期末）已知数列满足，，______，．从①，②这两个条件中任选一个填在横线上，并完成下面问题．（注：如果两个条件分别作答，按第一个解答计分）．
(1)写出，；
(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)求数列的前2n项和．
【解析】（1）数列满足，，
，，，，
选择①，
，；
选择②，
，.
（2）选择①，
证明：∵，，∴，∴，
∵，
∴是等比数列，首项，公比，
∴.
选择②
证明：∵，，∴，∴，
∵，
∴是等比数列，首项，公比，
∴.
（3）选择①，
由（2）可得，∴
∴，∴
令
∴
选择②，
由（2）可得，由累加法可得，
，
∴，
∴，∴，
令，
∴
.
35．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列满足，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，
又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，①
又因为，所以，数列为常数列，
故，②
②①可得，所以，，
所以，对任意的，.
（2）令，则，
则.
令①，
所以②，
①②得，
所以，所以.
题型六：数列中的范围与最值问题
36．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】由，得，即，
所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，
则，，所以当且时，；
当且时，.因此，有最小值，且最小值为.
故选：A.
37．（多选题）（2023·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．记为等差数列的前项和，若则
B．记为等差数列的前项和，若则使得的最小正整数等于10
C．已知数列是递增数列，且对于恒成立，则实数的范围为
D．数列的通项公式为，则此数列的前项和为
【答案】AD
【解析】A选项，为等差数列的前项和，则成等差数列，
，，A选项正确.
B选项，为等差数列的前项和，若且，
，
，
由，
所以使得的最小正整数为，B选项错误.
C选项，数列是递增数列，且对于恒成立，则对称轴，C选项错误.
D选项，数列的通项公式为，
，
所以数列每四项的和为，数列的前项和为，D选项正确.
故选：AD
38．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（ ）
A．是唯一最大值B．是最大值
C．D．是最小值
【答案】BC
【解析】由得，
而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.
，C选项正确.
由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.
故选：BC
39．（多选题）（2023·山东·高二菏泽一中校考阶段练习）已知等差数列是递增数列，且，其前项和为，则下列选择项正确的是（ ）
A．B．当时，取得最小值
C．D．当时，的最小值为8
【答案】ACD
【解析】由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，得，则，故AC正确；
因为，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，
所以，当或4时最小，故B错误；
令，解得或，即时的最小值为8，故D正确．
故选：ACD．
40．（多选题）（2023·山东日照·高二统考期末）已知等差数列的公差为，前n项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值是或
D．当时，的最小值是或
【答案】ACD
【解析】因为，，成等比数列，
所以，即，
解得，即，故A正确；
，故B错误；
，
所以当时，由二次函数性质知，或时，的最小值是或，
当时，由二次函数性质知，的最大值是或，故CD正确.
故选：ACD.
41．（多选题）（2023·广东佛山·高二统考期末）记等差数列的n和为，数列的前k 项和为，则（ ）
A．若，均有，则
B．若当且仅当时，取得最小值，则
C．若且，则当且仅当时，取得最小值
D．若和时，取得最小值，则，
【答案】BD
【解析】选项A：等差数列的前n和为，
因为，所以，
所以从第二项开始，故正负不确定，不一定成立，选项A错误；
选项B：当时，取得最小值，
所以数列是首项为负，慢慢递增的数列，且有，
则有
，故有，选项B正确；
选项C：，解得：，，，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，先减后增，由题意知 ，
当时，取得最小值，选项错误；
选项D：当和时，取得最小值，故先减后增， 且
，故，，选项D正确；
故选：BD
题型七：数列的实际应用
42．（2023·山东威海·高二统考期末）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（ ）
A．2192B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第个月的还款金额为元，
则，
故选：D
43．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
【解析】（1）由题知：，
当，，解得，
所以.
.
（2）当时，
总利润.
因为，
为增函数，
且，，
所以当时，，当时，，
因为，
，
所以时，，即前6年未盈利.
当时，，
令，解得，所以该公司从第8年开始盈利.
题型八：数学归纳法
44．（2023·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）用数学归纳法证明“”时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式 ．
【答案】
【解析】当时，左边，
当时，左边，
所以可在左边乘以一个代数式，
故答案为：.
45．（2023·上海徐汇·高二位育中学校考期末）用数学归纳法证明等式时，第（ii）步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是
【答案】
【解析】时，左边；
当时，左边；
观察两式易知增加的项为：.
故答案为：.
46．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．
【解析】当，则成立，
若且时，成立，
令，则，
所以时不等式也成立，
综上，恒成立.