期末考前必刷卷03（范围：苏教版选择性必修第一册）-2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线与直线互相平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，直线，直线与不平行，
当时，，
，解得，
故选：A.
2．若圆关于直线对称，则圆C的面积为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【答案】B
【解析】由题意圆的圆心在直线上，即，解得，
所以圆的半径的平方为，面积为.
故选：B.
3．已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】明显数列和数列均为等差数列
令，可得，
则，
则数列为等差数列，且，公差为，
所以的前项的和为.
故选：C.
4．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
5．数列满足，，，则数列的前10项和为（ ）
A．51B．56C．83D．88
【答案】A
【解析】数列满足，，，
不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，
所以数列的前10项和为：.
故选：.
6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】圆O：的圆心，半径为，
因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，
又圆O与直线l：相切，所以，则，故.
所以双曲线的离心率为．
故选:B．
7．斐波那契数列（Fibnaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为（ ）．
A．m－1B．C．D．
【答案】A
【解析】由题，，则，.
将以上各式相加可得，
则，则.
故选：A
8．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．在处的切线方程为D．的单调递增区间为
【答案】BC
【解析】对于AC，，由，得，
所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，
对于BD，函数的定义域为，，
由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，
故选：BC
10．已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．
C．若，则直线经过定点
D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
【答案】ACD
【解析】因为拋物线，故的坐标为故A正确；
由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误；
若，故，即或（舍去），
因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确；
设过点的切线方程为，联立 ，
所以，故 或，所以方程的根为，
故切线方程中分别为和，故，
，
可得直线，即，故D正确.
故选：ACD.
11．下列结论正确的是（ ）
A．已知点在圆上，则的最小值是-7
B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】对于A，令，即，
因为点在圆上，
则圆心到直线的距离，即，
解得或，所以无最小值，故A错误；
对于B，因为直线，则，解得，
则其恒过定点，
则，
因为以为端点的线段相交，
所以或，故B错误；
对于C，因为点是圆外一点，所以，
圆心到直线的，则与圆相交，故C正确；
对于D，圆，圆，
圆心距为，
因为圆上恰有两点到点的距离为1，
所以两圆相交，则，
解得，故D正确；
故选：CD
12．设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．的前项和为
【答案】ACD
【解析】由已知，当时，可得
选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；
选项B，由选项A可得解得，故B错误；
选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；
选项D，因为，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】12
【解析】设，则，
因为也成等差数列，所以，
即，即，
所以.
故答案为：12.
14．已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】直线，即，
所以直线过定点.
直线，即，
所以直线过定点.
所以，
由于，所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
15．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为 .
【答案】
【解析】设，，则，，
即，
，即，当且仅当时等号成立，
故，即，.
故答案为：
16．已知函数，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，即，解得，
所以，令，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【解析】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
18．（12分）
高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
【解析】（1）设圆柱的半径为，高为，
则由题意可得，解得，
所以圆柱的侧面积为，，
因为，
当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为．
（2）圆柱的体积为，
求导，得，
令，解得或（不合题意，舍去），
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取最大值，
所以圆柱体的最大体积为．
19．（12分）
已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）证明：因为，
所以.
又，所以，
所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.
（2）由（1）知，
即，则.
，
，
则
，
所以.
20．（12分）
如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【解析】（1）直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
（2）因为，，，所以，
由题意得直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，所以，
设直线与交于点，所以，
即，所以，
设，所以，即，
所以，，所以，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
（3）设关于的对称点，关于的对称点，
直线的方程为，即，
直线的方程为，所以，
解得，所以，
由题意得四点共线，，由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．
21．（12分）
已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，
连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．
由题易知右焦点，设点，则，整理得．
因为，
所以，所以．
【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】
在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，
所以．
（2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为，
直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．
设，
联立方程组，得，
则．
由题知，直线的方程为，
令，得
，
所以直线DR过定点.
22．（12分）
已知函数的最小值为0，其中．
(1)求的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值；
(3)证明：．
【解析】（1）由函数，则其定义域为，且.
由，得:，又由，得:，
在单调递减，在单调递增，
；
（2）设，
则在恒成立等价于，
注意到，又，
①当时，由得.
在单减，单增，这与式矛盾；
②当时，在恒成立，符合，
的最小值为；
（3）由（2）知：令得：，
令得：
当时，(1)；
当时，，
，
，
将(1)(2)(3),,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以.