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清单03 圆的方程 -2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题(苏教版)
展开【考点分布图】
【知识清单】
1、圆的标准方程
,其中为圆心,为半径.
2、点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
3、圆的一般方程
当时,方程叫做圆的一般方程.为圆心,为半径.
诠释:
由方程得
(1)当时,方程只有实数解.它表示一个点.
(2)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
(3)当时,可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆.
4、用待定系数法求圆的方程的步骤
求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.
(2)根据已知条件,建立关于或的方程组.
(3)解方程组,求出或的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
5、轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.
(3)求轨迹方程的步骤:
①建立适当的直角坐标系,用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标;
②列出关于的方程;
③把方程化为最简形式;
④除去方程中的瑕点(即不符合题意的点);
⑤作答.
【考点精讲】
考点1:圆的标准方程
例1.(2023·辽宁葫芦岛·高二校联考期中)圆关于直线对称的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由题意得圆的圆心为,半径为,
设点关于直线对称的点为,
故,解得,
故关于直线对称的点为,
所以所求的圆的方程为.
故选:C
例2.(2023·山东烟台·高二校联考期中)求圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为圆心在直线上,所以设圆心,
因为圆与直线相切于点,
所以,解得,
所以圆心为,半径为,
所以圆的方程为,
故选:A.
例3.(2023·陕西·高二校联考期中)过四点,,,中的三点的圆的方程可能为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】设过点,,的圆的方程为,
所以,解得,
即方程为,或;
设过点,,的圆的方程为,
所以,解得,
即方程为,或;
设过点,,的圆的方程为,
所以,解得,
即方程为,;
设过点,,的圆的方程为,
所以,解得,
即方程为,或,
故选:D.
例4.(2023·江苏徐州·高二统考期中)圆心为,且与直线相切的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由题意知,,
所以所求圆的方程为.
故选:B.
例5.(2023·安徽亳州·高二校考阶段练习)以点为圆心,且与x轴相切的圆的标准方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】以点为圆心,且与x轴相切的圆的半径为1.
故圆的标准方程是.
故选:A.
例6.(2023·陕西榆林·高二校联考期中)以为圆心,且经过点的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由题意知,圆心是,圆的半径,
所以圆的方程为.
故选:B.
例7.(2023·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中)已知点和点,则以线段为直径的圆的标准方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】因为点和点为直径端点,
所以中点,即为圆心,
由,
则圆的半径,
故圆的标准方程为.
故选:C.
例8.(2023·山西大同·高二统考期中)已知圆的圆心在直线上,且圆与两坐标轴都相切,则圆的方程可以为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】根据题意可设圆心坐标为,则半径,
所以圆的方程为,
显然A错误,C正确;
易知选项B可化为,可知B错误;
选项D可化为,可知D错误;
故选:C
考点2:圆的一般方程
例9.(2023·安徽铜陵·高二校联考期中)经过点,且以为圆心的圆的一般方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题意得,圆的半径,
所以圆的标准方程为,
所以圆的一般方程为.
故选:A.
例10.(2023·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中)直线平分圆C:,则( )
A.B.1C.-1D.-3
【答案】D
【解析】变形为,故圆心为,
由题意得圆心在上,故,解得.
故选:D
例11.(2023·浙江·高二校联考期中)若直线与两坐标轴的交点为,则以为直径的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】直线与两坐标轴的交点为,
则,
则以为直径的圆半径为,圆心即为中点坐标为,
所以以为直径的圆的方程为,
化简得:.
故选:A
例12.(2023·河南驻马店·高二统考期末)以,为直径两端点的圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】,,
的中点坐标为,
以为直径的圆的圆心为,又,
圆的半径为1,
以为直径的圆的方程为即.
故选:A.
例13.(2023·天津和平·高二统考期末)三个顶点的坐标分别是,,,则外接圆的方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】设所求圆方程为,
因为,,三点都在圆上,
所以,解得,
即所求圆方程为:.
故选:C.
例14.(2023·高二课时练习)已知圆经过两点,,且圆心在直线上,则圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】设圆的一般方程为,圆心坐标为,
因为圆经过两点,,且圆心在直线上,
所以,解得,
所以圆的方程为.
故选:C.
例15.(2023·江苏苏州·高二统考期中)已知四点共圆,则实数的值为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设过四点的圆的方程为,
将代入可得:
,解得,
所以圆的方程为,
将代入圆的方程得,
解得,
故选:D
例16.(2023·高二课时练习)与圆同圆心,且过点的圆的方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】依题意,设所求圆的方程为,
由于所求圆过点,所以,
解得,所以所求圆的方程为.
故选:B
考点3:点与圆的位置关系
例17.(2023·北京顺义·高二校考期中)已知圆的方程为,则点在( )
A.圆内B.圆上C.圆外D.不确定
【答案】C
【解析】圆心为,半径为,
因为,
所以在圆外,
故选:C
例18.(2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中)设,则直线l:与圆的位置关系为( )
A.相离B.相切C.相交或相切D.相交
【答案】C
【解析】直线可化为,
由可得,,所以直线恒过点.
又,即点在圆上,
所以,过点的直线与圆相交或相切.
故选:C.
例19.(2023·江苏淮安·高二统考期中)已知点在圆外,则直线与圆的位置关系为( )
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
【答案】A
【解析】由点在圆外,得:,
圆心到直线的距离:,
所以得:直线与圆相交,故A项正确.
故选:A
例20.(2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中)若直线与相离,则点与圆的位置关系为( )
A.点在圆内B.点在圆上
C.点在圆外D.无法确定
【答案】A
【解析】由题设与直线的距离,即,
所以点在圆内.
故选:A
例21.(2023·上海宝山·高二校考期中)已知点在圆C:外,则直线与圆C的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
【答案】A
【解析】由点在圆外,可得,
求得圆心到直线的距离,
故直线和圆C相交,
故选:A.
例22.(2023·重庆·高二重庆市第七中学校校考期中)若点在圆外,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意可知:圆的圆心,半径,
若点在圆外,则,
解得或,所以实数的取值范围是.
故选:C.
例23.(2023·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中)若点在圆的外部,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为方程表示圆,
所以,即,
又因为点在圆的外部,
所以,即,
所以,
故选:C.
考点4:二元二次方程表示的曲线与圆的关系
例24.(2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中)若表示圆的方程,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为方程表示一个圆,所以,
解得,
所以的取值范围是.
故选:D
例25.(2023·河北·高二校联考期中)若方程表示一个圆,则m的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为方程表示一个圆,所以,解得.
故选:B
例26.(2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)“”是“方程表示圆的方程”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若表示圆,则,解得或,
可以推出表示圆,满足充分性,
表示圆不能推出,不满足必要性,
所以是表示圆的充分不必要条件.
故选:A.
例27.(2023·湖北武汉·高二校联考期中)方程表示圆,则的范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为方程表示圆,
所以,解得:.
故选:B.
例28.(2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中)若点在圆的外部,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】易知圆可化为,可得,即;
又在圆外部,可得,解得;
可得.
故选:B.
例29.(2023·天津北辰·高二统考期中)若方程表示圆,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由方程表示圆,
得,
解得,
故选:A.
例30.(2023·四川成都·高二棠湖中学校考期中)已知方程表示圆的方程,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为方程表示圆的方程,
所以,解得,
故选:A
考点5:定点问题
例31.(2023·河南信阳·高二统考期中)圆恒过的定点是 .
【答案】
【解析】圆方程化为,
由解得故圆恒过点.
故答案为:
例32.(2023·江西南昌·高二南昌县莲塘第二中学校考阶段练习)已知圆,点,平面内一定点(异于点),对于圆上的任意动点,都有为定值,定点的坐标为 .
【答案】
【解析】设,且,
,
因为为定值,设,
化简得:,与点位置无关,
所以,
解得:或,
因为异于点,所以定点N为.
故答案为:.
例33.(2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中)对任意实数,圆恒过定点,则定点坐标为 .
【答案】或
【解析】,即,
令,解得,,或,,
所以定点的坐标是或.
故答案为:或.
例34.(2023·上海·高二曹杨二中校考开学考试)对任意实数,圆恒过定点,则其坐标为 .
【答案】、
【解析】由由得,故,解得或.
故填:、.
例35.(2023·辽宁大连·高二竞赛)设有一组圆:.下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
【答案】②④
【解析】根据题意得:圆心坐标为,
圆心在直线上,故存在直线与所有圆都相交,选项②正确;
考虑两圆的位置关系:
圆:圆心,半径为,
圆:圆心,即,半径为,
两圆的圆心距,
两圆的半径之差,
任取或时,(), 含于之中,选项①错误;
若取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误,
将带入圆的方程,则有,即(),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确.
故答案为②④.
考点6:轨迹问题
例36.(2023·辽宁·高二本溪高中校联考期中)已知点,动点满足,则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设动点满足,
即,
化简得:
即点的轨迹方程为.
故答案为:
例37.(2023·湖北武汉·高二校考期中)点在动直线上的投影点为,则点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】将动直线整理为,
联立,可得,所以动直线过定点.
又,所以点在以为直径的圆上运动,
设,则,
,
即.
故答案为:
例38.(2023·山西太原·高二统考期中)已知点是直线上的动点,点在线段上(是坐标原点),且满足,则动点的轨迹方程为 .
【答案】()
【解析】设,设,依题意可知,
由于三点共线,所以,则,
由于,所以,
整理得().
故答案为:()
例39.(2023·福建龙岩·高二校联考期中)由动点向圆引两条切线,切点分别为,,则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】如图所示,因为,可得,
又因为,所以,
设,则,即.
故答案为:.
例40.(2023·陕西西安·高二长安一中校考期中)已知圆过点和,且与直线相切.
(1)求圆的方程;
(2)设为圆上的任意一点,定点,当点在圆上运动时,求线段中点的轨迹方程.
【解析】(1)圆心显然在线段的垂直平分线上,
设圆心为,半径为,则圆的标准方程为,
由点在圆上得:,
又圆与直线相切,有.
于是,解得,或,
所以圆的标准方程为或.
(2)设点坐标为,点坐标为,
由为的中点,,则,即
又点在圆上,
若圆的方程为,有,
则,整理得:,
此时点的轨迹方程为.
若圆的方程为,有,
则,整理得:,
此时点的轨迹方程为,
综上,点的轨迹方程为或.
例41.(2023·湖南·高二校联考期末)公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apllnius)在《平面轨迹》一书中,研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下著名结果:平面内到两个定点距离之比为(且)的点的轨迹为圆,此圆称为阿波罗尼斯圆.
(1)已知两定点,,若动点满足,求点的轨迹方程;
(2)已知,是圆上任意一点,在平面上是否存在点,使得恒成立?若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设,则由可得,
即,整理得点的轨迹方程为:;
(2)假设存在满足条件,即有,
设,整理可得①,
又因为点在圆上,则②,
将②代入①可得,
由题可得,解得,,
所以,
故存在点满足条件.
例42.(2023·福建福州·高二校联考期中)已知:,过点的动直线与交于,两点.
(1)是否存在弦被点平分?若存在,写出直线的方程,若不存在,请说明理由;
(2)弦的中点的轨迹为,求的方程.
【解析】(1)存在弦被点平分.
理由如下:
因为点的坐标为,所以,
所以点在内;
当弦被点平分时,,
又的斜率,
所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,即;
(2)因为:,所以圆心为,
设动点的坐标为,又因为点的坐标为,
所以,,
①当点与点不重合时,因为弦的中点为,得,
所以,
所以,即,
所以点的轨迹方程为(且);
②当点与点重合时,由(1)知,弦被点平分,即弦的中点为,
且点也满足方程;
综上,的方程为.
例43.(2023·天津河西·高二统考期中)已知两点为定点,动点到两点的距离比是常数,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
【解析】建立如图所示的坐标系,设,设,则
由题意得,所以,
化简得
当时,即,
点的轨迹方程是,其轨迹是直线(轴);
当且时,点的轨迹方程是,点的
轨迹是以为圆心,为半径长的圆.
例44.(2023·四川成都·高二树德中学校考期中)如图所示,有一个矩形坐标场地(包含边界和内部,为坐标原点),长为8米,在边上距离点4米的处放置一个行走仪,在距离点2米的处放置一个机器人,机器人行走速度为,行走仪行走速度为,若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点,那么行走仪将被机器人捕获,称点叫捕获点.
(1)求在这个矩形场地内捕获点的轨迹方程;
(2)若为矩形场地边上的一点,若行走仪在线段上都能逃脱,问:点的位置应在何处?
【解析】(1)分别以为轴,建立平面直角坐标系,则,
设捕获点,可得,即,
化简得,因为点需在矩形场地内,
所以,且在第一象限,解得,
故所求轨迹方程为.
(2)画出点的轨迹,如图所示,
当线段与(1)中圆弧相离时,则行走仪在线段上能逃脱,
其中,
设线段的方程为,
则到直线的距离为,结合,
解得,
中,令得,
故点的横坐标取值范围是.
【提升练习】
一、单选题
1.(2023·天津南开·高二南开中学校考阶段练习)方程所表示的圆的最大面积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】方程即,
则所给圆的半径,
所以当时,半径r取最大值,此时最大面积是.
故选:C
2.(2023·江西·高二浮梁县第一中学校联考期中)已知点与点关于直线对称,与点关于轴对称,若过,,三点的圆与轴和直线交于四点,则该四点所围成的四边形的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
法一:因点与点关于直线对称,
所以过,,三点的圆的圆心在直线上,
又点与点关于轴对称,
所以过,,三点的圆的圆心在直线上.
由得,
所以圆心坐标为,圆的半径为,
故圆的方程为,
由题意易知四边形为矩形,
由解得,
故该四边形的面积为
法二:因点与点关于直线对称,
设,则,解得,故,
又点与点关于轴对称,
所以,
设过,,三点的圆的方程为,
则,解得,
因此圆的方程为,即,
由题意易知四边形为矩形,
由解得,
故该四边形的面积为.
故选:D.
3.(2023·江苏南通·高二统考期中)圆C:关于直线对称圆的方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】将圆的方程化为标准方程可得,,
所以,圆心,半径.
设,
由已知可得,,解得,
所以,圆的圆心为,半径,
所以,圆的方程为.
故选:D.
4.(2023·广东深圳·高二深圳市宝安中学(集团)校考期中)由曲线围成的图形的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
当时,曲线为
当时,曲线
画出图像如上图,
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为,两圆对称,
故为
故选:D
5.(2023·安徽合肥·高二校联考期中)关于圆有四个命题:①点在圆内;②点在圆上;③圆心为;④圆的半径为3.若只有一个假命题,则该命题是( )
A.①B.②C.③D.④
【答案】D
【解析】若②③正确,则得:,故,
所以圆的方程为:,显然点在圆内,
①正确,圆的半径为,④错误,符合题意;
若③④正确,则可求得圆的方程为:,
显然点不在圆上,②错误,点在圆外,①错误,不合题意;
其他四种命题组合①②,①④,②④,①③无法确定圆的方程,无法对剩余命题判断真伪.
综上所述:故④为假命题,故D项错误.
故选:D.
6.(2023·浙江绍兴·高二绍兴一中校考期中)已知,,三点,直线l1:与直线l2:相交于点P,则的最大值( )
A.72B.80C.88D.100
【答案】C
【解析】直线l1:变形为直线恒过定点,
直线l2:直线恒过定点,
直线l1:与直线l2:相交于点P,
联立,消去,得
所以是以为圆心,半径为2的圆上一点,设且,
,
所以的最大值为88,
故选:C.
7.(2023·福建福州·高二校联考期中)圆关于直线对称的图形轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】圆关于直线对称的图形的轨迹仍为圆.
将圆的方程化为标准方程可得,,
圆心,半径.
设点关于直线对称的点为,
则有,解得,
即对称圆的圆心为.
又半径,
所以,轨迹方程为.
故选:D.
二、多选题
8.(2023·四川凉山·高二统考期中)已知直线:,:,,以下结论正确的是( )
A.无论m取何值,与都互相垂直
B.和分别过定点和
C.不论m为何值,和都关于直线对称
D.若和交于点M,则的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于选项A:因为,无论m取何值,与都互相垂直,故A正确;
对于选项B:对于直线:,当时,恒成立,即过定点,记为,
对于直线:,当时,恒成立,则恒过定点,记为,故B正确;
对于选项C:在上任取点,关于直线对称的点的坐标为,
代入方程得:不恒在上,故C错误;
对于选项D:由选项AB可知:,即点M的轨迹为以为直径的圆,
可知圆心为,半径为,
所以的最大值是,故D正确;
故选:ABD.
9.(2023·江苏镇江·高二统考期中)已知直线,,则下列结论正确的是( )
A.直线恒过定点
B.原点到直线的距离最大值为1
C.当时,直线的倾斜角为
D.直线与的交点的轨迹为圆的一部分
【答案】ABD
【解析】由直线,得,令,得,即直线恒过定点,A正确;
当原点与点的连线和垂直时,原点到直线的距离最大,则最大值为1,B正确;
当时,直线,即,斜率为,倾斜角为,C错误;
由直线,直线,
得,故两直线垂直,
又直线恒过定点,直线恒过定点,
故直线与的交点在以与的连线为直径的圆上,但直线不能表示直线,直线不能表示直线,故直线与的交点的轨迹为圆的一部分,D正确.
故选:ABD.
10.(2023·福建福州·高二校联考期中)圆与轴相切,且经过两点,则圆可能是( )
A.B.
C.D.
【答案】BC
【解析】设圆的圆心为,则半径.
又点,在圆上,
所以有,
即,
整理可得,.
又,即,
整理可得,.
联立可得,或,
所以,圆心坐标为或.
当圆心坐标为时,,圆的方程为;
当圆心坐标为时,,圆的方程为.
综上所述,圆的方程为或.
故选:BC.
11.(2023·浙江杭州·高二校联考期中)若A,B是平面内不重合的两定点,动点P满足,则点P的轨迹是一个圆,该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿波罗尼斯圆.已知点,,动点P满足,点P的轨迹为圆C,则( )
A.圆C的方程为
B.设动点,则的最大值为20
C.若P点不在x轴上,圆C与线段AB交于点Q,则PQ平分
D.的最大值为72
【答案】ACD
【解析】设,由得,故正确;
由题可知,
故的最大值为圆C上的点到点的距离的平方减去25,
即圆心到点的距离加上圆的半径后,再平方再减去25即可,
因为圆上动点P到点的距离最大值为,
所以的最大值为,故不正确;
因为为圆与线段的交点,所以设,且,
所以,因为,所以是线段的内分点,所以平分,故正确;
因为,,
所以,
当,,,四点共线时,,且有最大值为,
所以的最大值为,故正确.
故选:.
三、填空题
12.(2023·新疆伊犁·高二校联考期中)圆:关于直线:对称的圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题设圆,故且半径为5,
设对称圆的圆心为,则在上,且两圆心所在直线与已知直线垂直,
所以,且,可得,
显然,对称圆的半径也为5,则所求圆的方程为.
故答案为:
13.(2023·福建福州·高二校联考期中)已知动点M与两个定点,的距离的比为2,且动点M不在x轴的下方,则动点M的轨迹与x轴所围成的图形的面积为 .
【答案】
【解析】设,由题意得,
又已知,,则,
化简整理得,,
又动点M不在x轴的下方,
则动点的轨迹为以为圆心,为半径的圆在轴上方的半圆弧.
该轨迹与x轴所围成的图形的面积为半圆面积,
由半径,故所求面积.
故答案为:.
14.(2023·江苏南通·高二统考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠,他研究发现:如果一个动点到两个定点的距离之比为常数(,且),那么点的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆:,点,平面内一定点(异于点),对于圆上任意动点,都有比值为定值,则定点的坐标为 .
【答案】
【解析】设的坐标为,动点,,
则,
,
,
,
可得,
又点的轨迹方程,
可得,解得(舍)或,
则的坐标为.
故答案为: .
15.(2023·福建福州·高二校联考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两定点的距离之比,那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点为轴上一点,且,若点,则的最小值为 .
【答案】
【解析】设,则,
则,得,
其即为,则,解得,
则,
,即共线时取得最小值,
则.
故答案为:
四、解答题
16.(2023·湖南·高二校联考期中)若圆的圆心在上,且圆与直线切于点.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知点,,若为圆上任意一点,求的最大值并求出取得最大值时点的坐标.
【解析】(1)设圆心,由于直线与圆相切于点,所以,
故,,所以圆的标准方程为
(2)方法一:设,
则
,其中,,
所以,当时,的最大值为53.
此时,,,,,所以.
方法二:设,则,
∴.
又,所以,
因为表示圆上的点到点距离的平方.
易得,的最大值为,
所以的最大值为53.此时,,和三点共线,且,位于两侧时,
直线方程,
联立直线与可得,解得或(舍去),则
故的坐标为.
17.(2023·四川资阳·高二四川省乐至中学校考期中)(1)过点且与直线平行,求直线的方程;
(2)已知圆过点,且圆心在直线上,求圆的方程.
【解析】(1)设直线方程为,
因为直线过点,
则,
∴,
∴所求直线方程为.
(2),则的垂直平分线的斜率为,中点为,
故的垂直平分线为,
由,解得,即圆心为,
圆的半径,
故圆方程为.
18.(2023·江苏淮安·高二统考期中)在中,的内心.
(1)求内切圆方程;
(2)求外接圆方程.
【解析】(1)由可得直线方程为:,
即,
所以到的距离为,
因此内切圆的半径为,圆心为,
所以内切圆方程为
(2)设直线与内切圆相切于点,内切圆半径为,连接,
由于,
而且,所以,
所以,
由于平分,所以,因此,
所以为以为直角的直角三角形,
由则,
方程为
又轴,所以直线,关于对称,因此,
因此直线方程为,
联立,的方程,解得,
故,
因此的中点坐标为,且为外接圆圆心,
外接圆的半径为,
故外接圆方程为
19.(2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中)已知某圆的圆心在直线上,且该圆过点,半径为,直线l的方程为.
(1)求此圆的标准方程;
(2)若直线l过定点A,点B,C在此圆上,且,求的取值范围.
【解析】(1)由题意可设此圆的方程为,
把点坐标代入得,则,
所以圆的标准方程为.
(2)
直线l方程为,即,
则有,可得定点,
取线段BC中点为,则,令原点为O,,
即,化简可得,
即D的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
A到D轨迹圆心距离为,则的取值范围为,
所以的取值范围为.
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