清单07 双曲线及其性质 -2023-2024学年高二数学上学期期末常考题型+易错题（苏教版）

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【考点分布图】
【知识清单】
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
【考点精讲】
考点1：双曲线的定义与标准方程
例1．（2023·重庆·高二校联考期末）如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线的左、右焦点为，则；
则，
由双曲线定义可得，即，
所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或，
故选：C
例2．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）若曲线C上存在点M，使M到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：M平面内两点，距离之差的绝对值为8，
由双曲线定义知：M的轨迹以为焦点的双曲线且，
即轨迹方程为：，
可知：“好曲线”一定与有交点，结合各选项方程的曲线知：

所以不是“好曲线”的是.
故选：B.
例3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期末）设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在椭圆中，由题知，解得，
所以椭圆的焦点为，，
因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，
所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
所以曲线的虚半轴长为，
故的标准方程为：.
故选：A.
例4．（2023·高二课时练习）如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
【解析】如图所示，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直坐标系xOy，则，，．连接AM，AC．因为，
所以点M的轨迹是双曲线的右支．
因为，当M，A，C三点共线时等号成立，
又总费用为万元，
所以，所以修建这两条公路的最低总费用为万元．
例5．（2023·四川成都·高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，且过点．
（1）求双曲线的虚轴长；
（2）求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
【解析】（1）由题意，易知，，且.
在中，.
由双曲线的定义可知，
，即.
半焦距.
又
.
故双曲线的虚轴长为.
（2）由（1）知双曲线的方程为.
设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为.
将点的坐标代入上述方程，得.
故所求双曲线的标准方程为.
例6．（2023·陕西咸阳·高二校考期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为，且离心率为；
(2)经过两点.
【解析】（1）依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且，
又，故其标准方程为.
（2）设双曲线方程为，
把点与点代入，有，解得，
故所求双曲线的标准方程为：.
例7．（2023·河北沧州·高二校联考期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；
(2)双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
【解析】（1）已知双曲线C的焦点在y轴上，
所以可设C的标准方程为，
又C的渐近线方程为，所以，即，
由C的两顶点之间的距离为4，得，所以.
故双曲线C的标准方程为.
（2）因为E与双曲线有共同的渐近线，
所以可设E为，
因为E过点，则，解得，
故双曲线E的标准方程为.
考点2：双曲线方程的充要条件
例8．（2023·上海·高二上海师大附中校考期中）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，但是取，则不是双曲线，故不是充分条件，
若为双曲线，
则必须异号，所以，故是必要条件，
所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件.
故选:.
例9．（2023·宁夏银川·高二银川二中校考期中）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，解得，
故选：A.
例10．（2023·江苏常州·高二校联考期中）方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由方程表示实轴在轴上的双曲线，
则，解得，
故选：A.
例11．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第三十二中学校校考期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】B
【解析】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
例12．（2023·江苏常州·高二统考期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．且
【答案】A
【解析】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：A
考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例13．（2023·河北石家庄·高二校联考期中）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，
在中，由余弦定理可知，
所以的面积等于.
故选：D
例14．（2023·内蒙古包头·高二统考期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（ ）
A．B．3C．4D．6
【答案】D
【解析】由可知，，所以，
因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，
设，，由双曲线的定义可得，
所以，
又因为，所以，所以，
所以四边形的面积．
故选：D．
例15．（2023·福建南平·高二校考期中）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点P使得，求的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据双曲线方程得到，，，设，，可得，. 由，在根据余弦定理可得:，即可求得答案.，所以，，，
在双曲线上，设，，
①
由，在根据余弦定理可得:
故②
由①②可得，
直角的面积
故选：C.
例16．（2023·广东中山·高二中山市华侨中学校考期末）为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【解析】先求出双曲线的a,b,c，再利用中三边关系求出，再由直角三角形面积公式即得结果.由得标准方程为得，.
故中，
所以.
故选：B.
例17．（2023·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，由双曲线定义知，又，
的周长为：.
故选：A.
例18．（2023·高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16B．18C．21D．26
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
考点4：双曲线上两点距离的最值问题
例19．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考期末）已知定点，且动点满足，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设定点在点的左边，
因为，
根据双曲线的定义可知点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设，，
当在双曲线的顶点时，有最小值，
最小值为，故选C.
例20．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16B．18C．D．
【答案】A
【解析】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
例21．（2023·河南郑州·统考一模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴.
故选:C.
例22．（2023·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线C右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点Q，则点和点Q距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．4
【答案】C
【解析】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，，
因为P在双曲线上，所以，所以，
连接，则，
因为，
所以，当三点共线时取等号，
即点和点Q距离的最大值为3，
故选：C
考点5：双曲线上两线段的和差最值问题
例23．（2023·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，
所以可设双曲线的方程为，
又因为双曲线的焦距为8，所以，
而，所以，故双曲线的标准方程为.
由双曲线的定义可知，，
由题意可知，，，，
所以,故的最大值为，
当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.
故选：B

例24．（2023·四川内江·高二威远中学校校考期中）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而，又为定值，
所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
例25．（2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5,
而，仅当共线且在之间时等号成立，
所以，当共线且在之间时等号成立.
故选：D
例26．（2023·福建福州·高二校联考期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】C
【解析】由双曲线，则，即，且，
由题意，
，
当且仅当共线时，等号成立.
故选：C.
例27．（2023·广东肇庆·统考二模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
例28．（2023·吉林·高二统考期中）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得双曲线焦点在轴上，，，，
所以下焦点，设上焦点为，则，
根据双曲线定义：，在上支，
，,
在中两边之差小于第三边，，
,
.
故选：D.
例29．（2023·安徽滁州·高二统考期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
考点6：离心率的值及取值范围
例30．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为分别为的中点，所以.
又双曲线上的点到焦点的最小距离为，
所以，解得，
因此双曲线的离心率e的取值范围是．
故答案为：．
例31．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知双曲线，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】不妨设双曲线的渐近线为，则直线为，
由得，，即，
设点，则，
因为，
所以，解得，即，
由点在双曲线上，代入得，
整理得，则，
故答案为：．
例32．（2023·河北邢台·高二校联考期中）如图，，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A，若，则C的离心率为 ．

【答案】/
【解析】如图，连接，由题意得，又，所以，．

在中，，
在中，由，
得，得．
故答案为：.
例33．（2023·浙江温州·高二校联考期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为 ．

【答案】
【解析】

根据双曲线的光学性质可知与三点共线，
故，
不妨设，则，
由双曲线的定义可知，
两式相加可得，
所以，
由勾股定理可知，
故.
故答案为：.
例34．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，设两曲线的其中一个交点为P，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题知，椭圆长半轴长为5，短半轴长为3，所以，
不妨设交点P在第一象限，记，
由椭圆和双曲线定义知，，解得，
又因为，
所以，由余弦定理可得，解得，
所以.
故答案为：

例35．（2023·江苏常州·高二统考期中）双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】双曲线的右顶点为，则，
又点，均在上，且关于轴对称，
设，，
又直线，的斜率之积为，
则，即，①
又，即，②
联立①②可得：，
即，
即．
故答案为：
例36．（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
所以，代入，
得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，
即：.
故答案为：．
例37．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）已知双曲线为双曲线的右焦点，点在双曲线的右支上，为关于原点的对称点，且，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示，
作出左焦点，连接，
令，则，
由双曲线定义可知，所以，
因为关于原点对称且关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
又，所以，
在直角中，，
在直角中，，
又，
解得，所以，
故答案为：
例38．（2023·广西玉林·高二统考期中）已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【解析】因为且，可设，则，
由双曲线的定义，可得，所以，
所以，，，
分别在和中，
可得，整理得：，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
考点7：双曲线的简单几何性质问题
例39．（多选题）（2023·浙江金华·高二浙江师范大学附属中学校考阶段练习）已知双曲线的方程：，下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为C．渐近线方程为D．离心率为
【答案】BC
【解析】因为双曲线的方程：，则，所以，
实轴长为，故A错误；
焦距为，故B正确；
渐近线方程为，即，故C正确；
离心率为，故D错误；
故选：BC
例40．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）已知双曲线，则（ ）
A．的焦点坐标是
B．的渐近线方程为
C．的虚轴长为
D．的离心率为
【答案】CD
【解析】由双曲线方程可知焦点在轴上，易知，
所以可得，即的焦点坐标是，因此A错误；
由渐近线方程可得，的渐近线方程为，可得B错误；
显然的虚轴长为，即C正确；
利用离心率公式可得的离心率为，可得D正确.
故选：CD
例41．（多选题）（2023·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2D．C的右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD
【解析】由双曲线C：可得，
所以，
故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，
渐近线方程为，故B正确，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：ABD
例42．（多选题）（2023·河北沧州·高二校联考期中）已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A．圆M的方程为B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为D．的面积为
【答案】ABD
【解析】由双曲线方程，得实半轴长，虚半轴长，半焦距，
圆M的圆心为，半径为，方程为，A正确；
双曲线C的离心率，B正确；
双曲线的渐近线方程为，C错误；
由，解得，则点横坐标满足，
而，于是，D正确.

故选：ABD
例43．（多选题）（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考开学考试）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则
C．若是双曲线C的一个焦点，则
D．若，则双曲线C上的点到焦点距离最小值为2
【答案】BC
【解析】由双曲线C：且，则实轴长为，A错；
由渐近线为，若相互垂直，则，B对；
由为焦点，则，则，C对；
若，则双曲线C：，故双曲线C上的点到焦点距离最小值为，D错.
故选：BC
例44．（多选题）（2023·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线，当变动时，下列结论正确的是（ ）
A．的焦点恒在轴上
B．的焦距恒大于4
C．的离心率恒大于2
D．的一个焦点到其中一条渐近线的距离不变
【答案】ABD
【解析】由双曲线，焦点在x轴上，A对；
，故焦距，B对；
离心率，C错；
由渐近线为，即，焦点坐标为，
所以一个焦点到其中一条渐近线的距离，D对.
故选：ABD
考点8：利用第一定义求解轨迹
例45．（2023·四川绵阳·高二四川省江油市第一中学校考期中）已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆圆心的坐标为，半径为，
由圆，可得圆心，半径，
圆，可得圆心，半径．
根据题意，可得或，
所以或，可得
又因为，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线，
且，所以，则，
所以所求曲线的轨迹方程为.
故答案为：.
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设圆的半径为，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆、圆外切，
则，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
又，则，
所以其轨迹方程为．
故答案为：．
例47．（2023·广东江门·高二台山市第一中学校考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由知，
点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，，
故动点的轨迹方程是．
故答案为：．
例48．（2023·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以E的轨迹方程为.
故答案为：.
例49．（2023·福建三明·高二校联考期中）双曲线：实轴的两个顶点为，，点为双曲线上除，外的一个动点，若，，则动点的轨迹方程是 .
【答案】且
【解析】设,
由双曲线方程知，实轴的两个顶点，
，
∵QA⊥PA，∴，
可得，
同理根据QB⊥PB，可得，两式相乘可得
∵点为双曲线M上除A、B外的一个动点，
，整理得，
，化简可得，由点不与重合，知.
动点的轨迹方程是且.
故答案为：且.
例50．（2023·四川乐山·高二统考期末）从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为 .
【答案】.
【解析】由题意，设，则，则，即，
因为，则，即的轨迹方程为.
例51．（2023·安徽淮北·高二淮北一中校考期中）已知，，在中，，则顶点的轨迹方程为 .
【答案】，
【解析】先设顶点，由正弦定理，得到，推出，根据双曲线的定义，即可得出结果.因为，，所以，
设顶点，
由，根据正弦定理可得，
即，
由双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的双曲线的右支，且点不在轴上，
所以，，则，
因此顶点的轨迹方程为，.
故答案为：，.
例52．（2023·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知，，动圆与，均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】求出两个圆的圆心与半径，通过动圆与已知圆的位置关系列出方程求解即可．已知圆和圆，得圆，圆，
设动圆圆心，因为与圆和圆都相切，所以，
即，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，
其中，所以点的轨迹方程为.
故答案为：.
考点9：双曲线的渐近线
例53．（2023·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知A，B为双曲线E：（，）的左、右顶点，M为E上一点，若点M到x轴的距离为2，，，则E的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】设，则，即，
可得，
则，即，
所以E的渐近线方程为．
故答案为：.
例54．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】由，令，即双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
例55．（2023·浙江·高二校联考期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】设所求的双曲线方程为，
因为双曲线过点，所以，解得，
所以，，化为标准方程得，
即.
故答案为：.
例56．（2023·全国·模拟预测）已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以该双曲线的方程可设为，
将点代入双曲线方程得，，所以：该双曲线的标准方程为．
故答案为：.
例57．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为 .
【答案】
【解析】由双曲线，
则，渐近线方程为，
所以，
又，
所以是以为底的等腰直角三角形，
所以，
所以，
故答案为：.
例58．（2023·黑龙江鸡西·高二校考期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是 ．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为，
又因为双曲线的一条渐近线与直线平行，
所以，
则双曲线的方程为，右焦点坐标为，
其中一条渐近线方程为，
则双曲线的右焦点到直线的距离是.
故答案为：.
例59．（2023·陕西商洛·高二校考期末）如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

【答案】
【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为，
因为最小直径为，可得，即，
又因为尊高，上口直径为，底部直径为，
设点，
所以且，解得，即，
可得双曲线的渐近线为，
所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为.
故答案为：.
考点10：共焦点的椭圆与双曲线
例60．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
故答案为：
例61．（2023·湖北·高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆与双曲线共焦点，F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1.若，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】设焦距为2c
在三角形PF1F2中，根据正弦定理可得
因为，代入可得
，所以
在椭圆中，
在双曲线中，
所以
即
所以
因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1
即 ，即
所以
化简得，等号两边同时除以
得，因为 即为双曲线离心率
所以若双曲线离心率为e，则上式可化为
由一元二次方程求根公式可求得
因为双曲线中
所以
例62．（2023·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左、右焦点，M是椭圆和双曲线在第一象限的交点.已知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【解析】设半焦距为，
由椭圆的定义和双曲线的定义可得，故，
由余弦定理可得，
整理得到，所以，
因为双曲线的离心率为2，故，故，
所以，故，
故答案为：.
例63．（2023·浙江·高二校联考期中）已知椭圆和双曲线的焦点相同，分别为左､右焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若轴，则椭圆和双曲线的离心率之积为 .
【答案】
【解析】设，由题可知，，
因为轴，所以，
所以椭圆和双曲线的离心率之积为.
故答案为：1.
例64．（2023·山东青岛·高二校考期中）我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若P为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率 ．
【答案】．
【解析】设，，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，
可得，，可得，，
由余弦定理可得，
即有，
由离心率公式可得，，
即有，由，解得．
故答案为：
例65．（2023·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设椭圆方程是 ,双曲线方程是 ,由椭圆和双曲线定义可得:,求出,利用余弦定理,化简的表达式,利用柯西不等式,即可求得答案.设椭圆方程是 ,双曲线方程是
由椭圆和双曲线定义可得:
即可求得:
在中由余弦定理可得:


即

利用柯西不等式
即
即
可得,
故,当且仅当 取等号.
的最小值为
故答案为:.
考点11：直线与双曲线的位置关系
例66．（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期末）已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？
【解析】由得，
因为直线与双曲线有一个公共点，
所以或，
解得或．
例67．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【解析】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
例68．（2023·黑龙江大兴安岭地·高二大兴安岭实验中学校考期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【解析】（1）由题知，，
设右焦点，取一条渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
由，得，
则，，
所以，
则中点坐标为，
代入圆，得，
所以．
例69．（2023·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
【解析】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，
，解得，
因为
所以双曲线的标准方程为
（2）将直线与曲线联立 得，
设，，则，，
设，由得，
即 ，又因为，解得，
所以或.
例70．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知定点，动点.直线MA，MB的斜率之积为.
(1)求点的轨迹方程:
(2)直线与点的轨迹的交点为C，求的面积（ 为坐标原点）.
【解析】（1），
化简得，
所以动点的轨迹方程是．
（2）联立直线与曲线的方程，消元得，
解得或，由于，所以这组解舍去，故，
由于在轴上，所以
例71．（2023·重庆·高二统考期末）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.
(1)求的值及双曲线的渐近线方程；
(2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，
所以有，
而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，
因此双曲线的浙近线方程为：或；
（2）由（1）可知：，，
所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：
，因为直线与双曲线相交于互异两点，
所以有：且，
所以的取值范围为：.
例72．（2023·宁夏银川·高二六盘山高级中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.
【解析】（1）由得，又，则，
故双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，
设，，，，则，．
因为，
所以，解得，
所以直线的方程为．
例73．（2023·陕西西安·高二校考期末）已知双曲线及直线．
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
【解析】（1）联立y=2可得．
∵与有两个不同的交点，
．
且，
且．
（2）设，．
由（1）可知，．
又中点的横坐标为．
，
，
或．
又由（1）可知，为与有两个不同交点时，．
．
．
【提升练习】
一、单选题
1．（2023·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
2．（2023·四川成都·高三统考期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，过斜率为的直线与的右支交于点，若线段与轴的交点恰为的中点，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】由于线段与轴的交点恰为的中点，且是的中点，
所以，由解得，
则，而，所以，
，
两边除以得，解得或（舍去）.
故选：D
3．（2023·浙江·高二校联考期中）过双曲线的右焦点作其渐近线的垂线，垂足为点，交双曲线的左支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【解析】将点与双曲线的左焦点连接，从而得到，如下图所示，
因为到其一条渐近线：的距离：，
因为：，所以得：点为中点，且，，
又因为原点为的中点，所以得：为的中位线，所以得：，
由双曲线的定义得：，化简得：，
因为双曲线的离心率：，所以得：，故B项正确.
故选：B.
4．（2023·河北·高二校联考期中）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】如图：
由题意得：，故，
由双曲线定义得，
所以，在中，由余弦定理得:
，
化简得:，又，
所以，
方程两边同时除以得:，解得:，
所以离心率.
故选：D.
5．（2023·浙江·高二校联考期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为双曲线的离心率为2，所以，解得，则左焦点，
由双曲线的定义得，
因为，即当，，三点共线时最大，
所以.
故选：B.
6．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，双曲线第一象限部分，
当时，，椭圆第四象限部分，
当时，，双曲线第三象限部分，
当时，，不存在；
其图像如下：
又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍，
两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为，
由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大，
设切线为，
联立，可得，
，解得，（舍去），
所以最大值为，
则的取值范围是.
故选：D.
7．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，即，
所以，又，所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.
8．（2023·江苏徐州·高二统考期中）设，分别为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
根据椭圆以及双曲线的定义可得，，
所以，.
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
两边同时除以可得，.
又，，
所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，，，
所以，.
两边同时开方可得，.
根据不等式的性质，两边同时取倒数可得，.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）已知曲线，以下说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是两条直线
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是圆，其半径为
【答案】BC
【解析】对于A，若，则化为，
则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；
对于B，若，即为，即，
即是两条直线，B正确；
对于C，若，不妨设，则化为，
则表示焦点在x轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
同理当，则化为，
则表示焦点在y轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，则即为，
则是圆，其半径为或，D错误，
故选：BC
10．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则为定值
【答案】BCD
【解析】对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；
对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义
可得，
所以，.
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，.
所以有，即，故B项正确；
对于C项，若，则为直角三角形，
所以，，
即，
整理可得，，
两边同时除以可得，，即，故C项正确；
对于D项，由已知可得,,故D项正确；
故选：BCD.
11．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过向的一条渐近线作垂线，垂足为，交另一条渐近线于，则下列说法正确的是（ ）
A．为线段的中点B．点在直线上
C．D．
【答案】BCD
【解析】
因为双曲线：，所以，，，
则，，根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程，
选项A：由题意，故A错误；
选项B：直线的斜率为，直线方程为，
联立得，所以正确；
选项C：由，，，
则，，
故，故C正确；
选项D：，故D正确，
故选：BCD
12．（2023·广西玉林·高二校联考阶段练习）已知椭圆与双曲线，点，，是它们的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．过原点与点的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点
B．若在椭圆上，的最大值为5
C．若在椭圆上，的最大值为
D．若在双曲线上，，则
【答案】BCD
【解析】对于A, 过原点与点的直线方程为，将其代入双曲线方程中得，此方程无解，故直线与双曲线没有交点，A错误，
对于B，在椭圆上，的最大值为，故B正确，
对于C，,当且仅当三点共线时，且在的两侧时，等号成立，故C正确，
对于D，由可得，由双曲线的定义可得，
由余弦定理可得,
故，所以，故，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
13．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
故，，
因为T为切点，由勾股定理得，
由双曲线定义可知，
因为M为线段FP的中点，为的中点，
所以，
其中，
故.
故答案为：
14．（2023·河北保定·高二校联考期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，
依题意，即，又，所以，
所以离心率.
故答案为：
15．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）我们把形如的函数称为类双勾函数，这类函数有两条渐近线和，它的函数图像是对称轴不在坐标轴上双曲线．现将函数的图像绕原点逆时针旋转一定的角度得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是 ．
【答案】
【解析】由题意可知，以y轴和为渐近线，其夹角为，
故旋转后双曲线的一条渐近线倾斜角为，.
故双曲线离心率．
故答案为:.
16．（2023·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 .

【答案】
【解析】设双曲线的右焦点，连接，.
则中，，，
则，
由直线与圆相切，
可得.
又双曲线中，，
则，
又，
则，
整理得，
两边平方整理得，
则双曲线的离心率，
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）在平面直角坐标系中，焦点在轴上的双曲线过点，且有一条倾斜角为的渐近线，直线与相交于两点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与该双曲线的已知渐近线垂直，求的长度．
【解析】（1）设双曲线C的标准方程为，
可得渐近线方程为，
因为双曲线C过点，且有一条倾斜角为120°的渐近线，
可得，且，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，
因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，
因此不妨设直线l的斜率为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，，则有，，
则，即的长度为．
18．（2023·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，
且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
（2）若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，即直线的斜率为.
19．（2023·浙江金华·高二校考期中）分别根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：
(1)一个焦点为，的椭圆方程
(2)双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4
【解析】（1）焦点为在轴上，则，，故，
故椭圆方程为；
（2）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，设双曲线方程为，
故，即，
两顶点之间的距离为，故，，故双曲线方程为.
20．（2023·重庆·高二重庆一中校考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．
(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，
连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．
由题易知右焦点，设点，则，整理得．
因为，
所以，所以．
【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】
在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，
所以．
（2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为，
直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为
因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．
设，
联立方程组，得，
则．
由题知，直线的方程为，
令，得
，
所以直线DR过定点.
21．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
【解析】（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：.所以的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
22．（2023·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右顶点，且
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点，求证：的面积为定值
【解析】（1）由可得，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，
当直线的斜率存在时，设方程为，
联立消去得，
由直线与双曲线只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交，
所以直线与双曲线的渐近线不平行，
所以，
所以，即，
于是得，则，
双曲线的渐近线为，即，
联立消去得，，所以，
当直线的斜率不存在时，或，故；
综上可知，
，
又因为，所以，
所以的面积为定值.
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．