中考数学专题练——8圆

这是一份中考数学专题练——8圆，共42页。

A．70°B．55°C．35°D．20°
2．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（ ）
A．3：2B．7：4C．9：5D．2：1
3．（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
4．（2021•江宁区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A．2B．22C．23D．4
5．（2022•建邺区二模）若一个扇形的半径是18cm，这个扇形围成的圆锥的底面半径是6cm，则这个扇形的圆心角等于（ ）
A．110°B．120°C．150°D．100°
6．（2021•建邺区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点O在AC上，⊙O与AB、BC相切，与AD相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．3B．5C．657D．677
7．（2021•栖霞区二模）在平面直角坐标系中，⊙P经过点A（0，3）、B（0，33），⊙P与x轴相切于点C，则点P的坐标是（ ）
A．（3，23）B．（3，33）
C．（3，23）或（﹣3，23）D．（3，33）或（﹣3，33）
8．（2021•玄武区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．50°
9．（2021•南京模拟）如图，矩形ABCD的边AB长为2，以AB为直径的半圆恰好与边CD相切于点E，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．2π+6B．2π+4C．π+6D．π+4
二．填空题（共10小题）
10．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ ．
11．（2022•南京二模）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AE＝2，CD＝1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为 ．
12．（2022•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE＝110°，则∠A的度数是 °．
13．（2022•南京二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 ．
14．（2022•建邺区二模）如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝ ．
15．（2022•秦淮区二模）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
16．（2022•玄武区二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为 cm．
17．（2022•鼓楼区二模）将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 cm．
18．（2022•南京一模）如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则MN的长为 （结果保留π）．
19．（2022•建邺区一模）如图，⊙O的直径AB＝4cm，PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，弦CD∥AB，AD∥CP，则PB＝ cm．
三．解答题（共9小题）
20．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（32，−52），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
21．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：∠D＝∠ABE；
（2）若AB＝5，BC＝6．
①求⊙O的半径r；
②DEDC的最大值为 ．
22．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
23．（2022•鼓楼区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
24．（2022•秦淮区二模）如图，A，B是⊙O上的两点，点C在⊙O内，点D在⊙O外，AD，BD分别交⊙O于点E，F．求证∠ACB＞∠ADB．
25．（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
26．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
27．（2022•南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到…
【积累经验】
（1）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证ABAD=AEAC．
（2）如图②，已知线段a，b，c．用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足ab=cd．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【问题解决】
（3）如图③，已知线段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作点C，使得CA•CB＝ab．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
28．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则BB'CC'=ABAC．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=5，AC＝25，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 ．
中考数学专题练——8圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2022•南京一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（ ）
A．70°B．55°C．35°D．20°
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴ADC的度数是140°，
∵D是AC的中点，
∴AD和CD的度数都是70°，
∴∠CAD=12×70°＝35°，
故选：C．
2．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（ ）
A．3：2B．7：4C．9：5D．2：1
【解答】解：设此弧所在圆的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，
则90π(AD−2r)180=2πr，
解得r=AD6，
则AD：AB＝AD：（AD−AD3）＝3：2．
故选：A．
3．（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．
4．（2021•江宁区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
A．2B．22C．23D．4
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC=2OC＝22，
故选：B．
5．（2022•建邺区二模）若一个扇形的半径是18cm，这个扇形围成的圆锥的底面半径是6cm，则这个扇形的圆心角等于（ ）
A．110°B．120°C．150°D．100°
【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°，
根据题意得2π×6=90×π×18180，
解得n＝120，
所以这个扇形的圆心角等于120°．
故选：B．
6．（2021•建邺区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点O在AC上，⊙O与AB、BC相切，与AD相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A．3B．5C．657D．677
【解答】解：如图，过点O作OK⊥AD，OG⊥AB，垂足为K、G，延长KO交BC于点H，
∵AB、BC与⊙O相切，OG＝OH，
∴四边形OGBH是正方形，
∴OG∥BC，
∴△ABC∽△AGO，
∴AGAB=OGBC，
设正方形OGBH的边长为x，则
3−x3=x4，
解得x=127，
∴OK＝AG＝3−127=97，
在Rt△OKF中，由勾股定理得，
KF=OF2−OK2=377，
又∵OK⊥EF，
∴EF=2KF=677，
故选：D．
7．（2021•栖霞区二模）在平面直角坐标系中，⊙P经过点A（0，3）、B（0，33），⊙P与x轴相切于点C，则点P的坐标是（ ）
A．（3，23）B．（3，33）
C．（3，23）或（﹣3，23）D．（3，33）或（﹣3，33）
【解答】解：如图1，过P作PD⊥y轴于D，连接PC，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形OCPD是矩形，
∴PC＝OD，PD＝OC，
∵点A（0，3）、B（0，33），
∴AB＝23，
∴BD＝AD=12AB=3，
∵∠PCO＝∠PDO＝∠COD＝90°，
∴四边形PCOD是矩形，
∴PC＝OD＝23，
连接PB，
∴PB＝PC＝23，
在Rt△PBD中，PD=PB2−BD2=(23)2−(3)2=3，
∴P（3，23）；
如图2，同理可得，P（﹣3，23），
综上所述，点P的坐标是（3，23）或（﹣3，23），
故选：C．
8．（2021•玄武区一模）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10°B．20°C．40°D．50°
【解答】解：如图，∵BC∥OA，∠A＝20°，
∴∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，
∵AB=AB，
∴∠AOB＝2∠C＝40°．
∴∠B＝∠AOB＝40°．
故选：C．
9．（2021•南京模拟）如图，矩形ABCD的边AB长为2，以AB为直径的半圆恰好与边CD相切于点E，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．2π+6B．2π+4C．π+6D．π+4
【解答】解：设AB的中点为O，
连接OE，
∵以AB为直径的半圆恰好与边CD相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形为矩形，
∴∠A＝∠D＝∠OED＝90°，CD＝AB＝2，
∴四边形AOED是矩形，
∴OE＝AD=12AB＝1，
∴图中阴影部分的周长为＝AD+CD+半圆弧AEB＝1+1+2+12×2π＝4+π，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
10．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝ 18 ．
【解答】解：连接CE，
正n边形的中心角的度数为：360°n，
则∠ECF=360°n×12，∠AEC=360°n，
∵∠EGF＝30°，
∴∠ECF+∠AEC＝30°，
∴360°n×12+360°n=30°，
解得：n＝18，
故答案为：18．
11．（2022•南京二模）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AE＝2，CD＝1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为 10 ．
【解答】解：设以DE为直径的半圆的圆心为O，半径为r，
过D作DH⊥AB于H，交⊙O于J，连接EJ，OG交DH于M，
∴∠DJE＝∠OMH＝90°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形AHJE，四边形BCDH，四边形BGOF是矩形，
∴BH＝CD＝1，EJ＝AH，HJ＝AE＝2，AE∥OF∥DH，
∵OF＝OG，
∴四边形BGOF是正方形，
∵⊙O分别与AB、BC相切于点F、G，
∴BF＝BG＝OF＝r，
∵AE∥OF∥DH，OE＝OD，
∴AF＝FH＝r﹣1，
∴OF是梯形AHDE的中位线，
∴DH+2＝2r，
∴DH＝2r﹣2，
∴DJ＝2r﹣4，
∴EJ＝AH＝2r﹣2，
在Rt△DEJ中，EJ2+DJ2＝DE2，
即（2r﹣2）2+（2r﹣4）2＝（2r）2，
解得：r＝5，或r＝1（舍去），
∴DE＝2r＝10．
12．（2022•秦淮区二模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F，若∠BDE+∠CFE＝110°，则∠A的度数是 40 °．
【解答】解：连接OD，OE，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，
∵∠BDE+∠CFE＝110°，
∴∠ODE+∠OFE＝180°﹣110°＝70°，
∵OD＝OE，OF＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，
∴∠OED+∠OEF＝∠ODE+∠OFE＝70°，
∴∠DEF＝70°，
∴∠DOF＝2∠DEF＝140°，
∴∠A＝360°﹣∠ADO﹣∠AFO﹣∠DOF＝40°，
故答案为：40．
13．（2022•南京二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 π4 ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB=2，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AB，
∴DE=AE2−AD2=2−1=1，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE
=45π×(2)2360
=π4．
故答案为：π4．
14．（2022•建邺区二模）如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝ 110° ．
【解答】解：如图，设这个正九边形的外接圆为⊙O′，连接AC，
由正多边形的中心角的计算方法可得，这个这个九边形的中心角为360°9=40°，
由圆周角定理可得∠ACG=12（40°×3）＝60°，
∠CAM=12（40°×2.5）＝50°，
∴∠AOG＝∠CAM+∠ACG＝110°，
故答案为：110°．
15．（2022•秦淮区二模）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 4 ．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2=180×π×l180，
解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
16．（2022•玄武区二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为 42 cm．
【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm，
根据题意得 2πr=120π×6180，
解得r＝2，
所以该圆锥的高h=62−22=42．
故答案为：42．
17．（2022•鼓楼区二模）将半径为5cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为 53 cm．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得：
2πr=120π×5180，
解得r=53．
故答案为：53．
18．（2022•南京一模）如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则MN的长为 25π （结果保留π）．
【解答】解：连接OM、ON，
∵正五边形ABCDE，
∴正五边形ABCDE的每个内角为：540°÷5＝108°，
∴∠CDB＝∠BDC＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∠BCO＝180°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝∠BCO，
∴△BCO为等腰三角形，
∴BC＝BO＝2，
∴∠BOE＝180°﹣∠BOC＝108°，
∴∠ABO＝108°﹣∠CBO＝108°﹣36°＝72°，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠BMO＝72°，
∴∠BOM＝180°﹣∠OBM﹣∠OMB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
同理可得：∠NOE＝36°，
∴∠MON＝108°﹣∠BOM﹣∠NOE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
∴MN=36π×2180=2π5，
故答案为：2π5．
19．（2022•建邺区一模）如图，⊙O的直径AB＝4cm，PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，弦CD∥AB，AD∥CP，则PB＝ 23 cm．
【解答】解：连接AC，OD，PO，OC，OC与AD交于E，
∵PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，
∴PC＝PB，∠PCO＝90°，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∵AD∥PC，
∴∠PCD＝∠ADC，
∴∠ADC+∠DCO＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴AE＝DE，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠OAD，∠DCO＝∠AOC，
∴△AOE≌△DCE（AAS），
∴AO＝CD，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴CD＝OA，
∴△AOC与△COD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∵∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，
∴∠COP＝∠BOP，
∵∠COB＝120°，
∴∠COP＝∠BOP＝60°，
∴点D在OP上，
∵AB＝4cm，
∴OB＝2cm，
∴PB=3OB＝23（cm），
故答案为：23．
三．解答题（共9小题）
20．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（32，−52），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 A，B ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 322≤r＜5 ．
【解答】解：（1）∵|2|+|2|＝4，|32|+|−52|＝4，|﹣1|+|5|＝6≠4，
∴是“垂距点”的点为A，B．
故答案为：A，B．
（2）设函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标（a，2a+3），
依题意得：|a|+|2a+3|＝4．
①当a＞0时，a+（2a+3）＝4，
解得：a=13，
∴此时“垂距点”的坐标为（13，113）；
②当−32＜a＜0时，﹣a+（2a+3）＝4，
解得：a＝1（不合题意，舍去）；
③当a＜−32时，﹣a﹣（2a+3）＝4，
解得：a=−73，
∴此时“垂距点”的坐标为（−73，−53）．
∴综上所述，函数y＝2x+3的图像上的“垂距点”的坐标是（13，113）或（−73，−53）．
（3）设“垂距点”的坐标为（x，y），则|x|+|y|＝4（x•y≠0），
当x＞0，y＞0时，x+y＝4，即y＝﹣x+4（0＜x＜4）；
当x＜0，y＞0时，﹣x+y＝4，即y＝x+4（﹣4＜x＜0）；
当x＜0，y＜0时，﹣x﹣y＝4，即y＝﹣x﹣4（﹣4＜x＜0）；
当x＞0，y＜0时，x﹣y＝4，即y＝x﹣4（0＜x＜4），
画出该函数图象，如图所示．
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，易证△DNT为等腰直角三角形，
∴TN=22TD=22×|4﹣1|=322；
当⊙T过点F（﹣4，0）时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r＝FT＝|1﹣（﹣4）|＝5．
∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是322≤r＜5．
故答案为：322≤r＜5．
21．（2022•南京二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆．D为BC延长线上一点，AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：∠D＝∠ABE；
（2）若AB＝5，BC＝6．
①求⊙O的半径r；
②DEDC的最大值为 54 ．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴AB=AC．
∴∠AEB＝∠ABC，又∠DAB＝∠BAE，
∴△DAB∽△BAE，
∴∠D＝∠ABE；
（2）解：①连接AO并延长交BC于F，连接OC，
∵AB＝AC，点O为圆心，
∴BF＝CF＝3，AF⊥BC．
在Rt△AFC中，AF=AC2−CF2=4．
在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，即32+（4﹣r）2＝r2
解得r=258；
②∵∠D＝∠D，∠DAC＝∠DBE，
∴△DAC∽△DBE，
∴DEDC=BEAC=BE5，
∴当BE为直径时，DEDC的值最大，最大值=2×2585=54．
故答案为：54．
22．（2022•秦淮区二模）【概念认识】
与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．
【初步理解】
（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，⊙O3经过点D，3个圆都经过点C．在这3个圆中，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆的是 ① ，是矩形ABCD的第Ⅱ类圆的是 ② ．
【计算求解】
（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．
【深入研究】
（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
①作它的1个第Ⅰ类圆；
②作它的1个第Ⅱ类圆．
【解答】解：（1）由定义可得，①的矩形有一条边AD与⊙O1相切，点B、C在圆上，
∴①是第Ⅰ类圆；
②的矩形有两条边AD、AB与⊙O2相切，点C在圆上，
∴②是第Ⅱ类圆；
故答案为：①，②；
（2）如图1，设AD＝6，AB＝4，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝4﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝3，
在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，
解得r=258；
如图2，设AD＝4，BC＝6，切点为E，过点O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，连接BO，
设BO＝r，则OE＝r，OF＝6﹣r，
由垂径定理可得，BF＝CF＝2，
在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，
解得r=103；
综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；
如图3，AD＝6，AB＝4，过点O作MN⊥AD交于点M，交BC于点N，连接OC，
设AB边与⊙O的切点为G，连接OG，
∴GO⊥AB，
设OM＝r，则OC＝r，则ON＝4﹣r，
∵OG＝r，
∴BN＝r，
∴NC＝6﹣r，
在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，
解得r＝10﹣43，
∴第Ⅱ类圆的半径是10﹣43；
（3）①如图4，
第一步，作线段AD的垂直平分线交AD于点E，
第二步，连接EC，
第三步，作EC的垂直平分线交EF于点O，
第四步，以O为圆心，EO为半径作圆，
∴⊙O即为所求第Ⅰ类圆；
②如图5，
第一步：作∠BAD的平分线；
第二步：在角平分线上任取点E，过点E作EF⊥AD，垂足为点F；
第三步：以点E为圆心，EF为半径作圆E，交AC于点G，连接FG；
第四步：过点C作CH∥FG，CH交AD于点H；
第五步：过点H作AD的垂线，交∠BAD的平分线于点O；
第六步：以点O为圆心，OH为半径的圆，⊙O即为所求第Ⅱ类圆．

23．（2022•鼓楼区二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，过G作DE∥BC分别交AB，AC的延长线于点D，E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）已知AG＝8，BFDG=34，点I为△ABC的内心，求GI的长．
【解答】（1）证明：连接OG，
∵∠BAC的平分线AF交⊙O于点G，
∴∠BAG＝∠CAG，
∴BG=CG，
∴OG⊥BC，
∵DE∥BC
∴OG⊥EF，
∵OG是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连接BI，BG，
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AG平分∠BAC，
∴∠BAI＝∠CAI，∠ABI＝∠CBI，
∵∠BIG＝∠BAI+∠ABI，∠GBI＝∠GBC+∠CBI，∠GBC＝∠GAC，
∴∠BAI＝∠CBG，
∴∠BIG＝∠GBI，
∴BG＝IG，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADG，
∴AFAG=BFDG=34，
∵AG＝8，
∴AF＝6，
∴FG＝2，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠BAG，
∴△BGF∽△AGB，
∴BGFG=AGBG，
∴BG2=8BG，
∴BG＝4（负值舍去），
∴GI的长为4．
24．（2022•秦淮区二模）如图，A，B是⊙O上的两点，点C在⊙O内，点D在⊙O外，AD，BD分别交⊙O于点E，F．求证∠ACB＞∠ADB．
【解答】解：延长AC交⊙O于M，连接BM，BE，
∵∠ACB＞∠AMB，∠AEB＞∠ADB，
又∵∠AMB＝∠AEB，
∴∠ACB＞∠ADB．
25．（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）连接AC交⊙O于点P，若AP=3，BF＝1，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接AF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACF＝∠ACE，
在△ACF与△ACE中，
CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，
∴△ACF≌△ACE（SAS），
∴∠AFC＝∠AEC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE+∠AEC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴OA⊥AE，
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：连接BP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝CB，AP=3，
∴AC＝2AP＝23，
设⊙O的半径为R，
∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，
∴(23)2−(2R−1)2=(2R)2−12，
∴R=32（负值舍去），
∴⊙O的半径为32．
26．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵BE∥CD，
∴∠ADC＝∠E，
∵AC＝BC，
∴AC=BC，
∴∠ADC＝∠BFC，
∴∠BFC＝∠E，
∴ED∥FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
（2）解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AB＝7，BF＝1，
∴AF=AB2−BF2=72−12=43，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＝45°，
∵DE∥CF，
∴∠E＝∠BFC＝45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝43，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF＝43．
27．（2022•南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到…
【积累经验】
（1）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证ABAD=AEAC．
（2）如图②，已知线段a，b，c．用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足ab=cd．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【问题解决】
（3）如图③，已知线段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作点C，使得CA•CB＝ab．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵AB=AB，
∴∠C＝∠AEB，
∴△ABE∽△ADC，
∴ABAD=AEAC；
（2）解：法一“相似构造”：构造△ABC∽△DEF，使得AB＝a，AC＝b，DE＝c，由对应边成比例可得DF＝d；
法二“等积构造”：构造△ABC使得AB＝2c，AB边上的高为b2，AC＝a，由等积可得AC边上的高BD＝d；
法三“转化构造”：构造△ABC使得AB＝b，AC＝c，BC边上的高为a，作△ABC的外接圆⊙O，由（1）问结论得⊙O直径EF＝d；
（3）解：如图，点C即为所求．（答案不唯一，以下解法供参考）
设⊙O直径为EF，设圆上点P到EF的距离为d，
①构造△ABC∽△DEF，使得AB＝a，DE＝b，由对应边成比例可得AC＝d，即ab＝EF•d；
②过AB上D点作弦AB一条高，交⊙O于C，且CD＝d，过C点作⊙O的直径CE，连接AC、BC，
同理（1）可得ACCE=CDBC，
即CA•CB＝ab．
28．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则BB'CC'=ABAC．
小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【问题解决】
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB=5，AC＝25，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A'B'C'．
（ⅰ）如图③，当边B'C'恰好经过点C时，连接BB'，则BB'的长为 42 ．
（ⅱ）在旋转过程中，若边B'C'所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB'，CC'交于点P，则BP的最大值为 52 ．
【解答】（1）（ⅰ）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
∴ABAC=AB'AC'．
∵∠BAB′＝∠CAC′，
∴△ABB′∽△ACC′．
∴BB'CC'=ABAC；
（ⅱ）证明：∵△ABC≌△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠B＝∠B′
∵∠ADB＝∠AD′B′＝90°，
∴△ABD≌△AB′D′（AAS），
∴AD＝AD′，
∵AD′是⊙A的半径，AD′⊥B′C′，
∴B′C′是⊙A的切线．
故答案为：∠B＝∠B′，AD＝AD′；
（2）解：（ⅰ）如图3中，连接BM，MB′，过点M作MH⊥CC′于点H．
∵AB＝AM=5，∠A＝90°，
∴BM=2AB=10，
∵MC＝MC′=5，tanC′=12=MHC'H，
∴MH＝1，HC′＝CH＝2，
∴CC′＝2CH＝4，
由旋转变换的性质可知，MB＝MB′，∠BMB′＝∠CMC′，
∴△BMB′∽△MCC′，
∴BB'CC'=BMCM，
∴BB'4=105，
∴BB′＝42．
故答案为：42；
（ⅱ）如图④中，直线l即为所求．
（3）如图⑤中，连接MB，MB′．
∵△MBB′∽△MCC′，
∴∠MB′B＝∠MC′C，
∵∠MB′B+∠PB′M＝180°，
∴∠MC′C+∠PBM＝180°，
∴∠BMC′+∠CPB＝180°，
∵A′M＝A′B，∠A′＝90°，
∴∠A′MB＝45°，
∴∠BMC′＝135°，
∴∠CPB′＝45°，
∵BC=AC2+AB2=(5)2+(25)2=5＝定值，
∴点P的运动轨迹是圆，假设圆心为O，连接OB，OC，OP．
∴∠BOC＝2∠CPB＝90°，
∴OB＝OC＝OP=522，
∵PB≤OB+OP＝52，
∴BP的最大值为52．
故答案为：52．