福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试题

这是一份福建省福州市四校教学联盟2023-2024学年九年级上学期期末联考数学试题，共22页。试卷主要包含了下列语句中等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟期末学业联考
九年级数学试卷
本试卷共5页，三大题，25小题，完卷时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试卷上答题无效．
3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4．考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的。
1．2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≥-74 B．k>-74 C．k≥-74且k≠0 D．k>-74且k≠0
3．下列事件，是必然事件的是（ ）
A．经过有信号灯的路口，遇到红灯 B．打开电视频道，正在播体育新闻
C．掷一次骰子，向上一面点数大于0 D．射击运动员射击一次，命中十环
4．将点（3,-1）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（ ）
A．（1,-3） B．（1,3） C．（3,-1） D．（-3,1）
5．已知反比例函数y=2x，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点1，2 B．y随x的增大而增大
C．图象在第一、三象限内 D．若x>1，则06．下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；
④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等。上述说法不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（ ）
A．12xx-1=15 B．12xx+1=15 C．xx-1=15 D．xx+1=15
8．如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若⊙O的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B．3 C．π D．2π
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上点，且ADAB=AEAC=13，若S△ADE=5，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．45 B．10 C．40 D．15
如图，A，B两点分别为⊙O与x轴，y轴的切点．AB=22，C为优弧AB的中点，反比例函数y=2kxx>0的图象经过点C，则k的值为（ ）
A．3+22 B．8 C．16 D．32
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知二次函数y=x2-2x+c图象上有点Ax1,y1、Bx2,y2，若x1或=”）．
12．如图，AB∥CD∥EF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，C，E，和点B，D，F．已知AC=3,CE=6,BF=6，则BD的长为 ．
13．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下
根据上表估计，这种绿豆发芽的概率是 ．（精确到0.01）
14．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
15．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压pkPa是气体体积Vm3的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，
为了安全起见，气体的体积V的取值范围 ．
16．研究抛物线y=-12x2的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）x-3x-1=3
18．（8分）如图，线段AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证：BF=DE．
19．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于An,3，B-3,-2两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥y轴，垂足为C，求△ABC的面积S△ABC．
20．（8分）在2024年元旦即将到来之际，福州某学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线y=ax2-45x+3的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．

（1）如图2，两墙AB、CD的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；
（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线F1的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
21．（8分）如图1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标P，在近岸取点A和C，使点P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C且与直线PC垂直的直线上选择适当的点D，确定PD与过点A且与PC垂直的直线交点B．测得AC=50m，CD=120m，AB=80m，请根据这些数据求河的宽度PA．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，且OA=OB．连接CE交OA于点F．
（1）求证：AB=2AC．
（2）若AC=3，求线段OC，CF的长．
23．（10分）根据数学知识，完成下列问题．
（1）把长为a的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率．
（2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率．
24．（12分）如图1，抛物线y=x2+bx+c（a>0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为1，0，OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线BM的距离相等时，求直线BM的解析式；
（3）已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m -3①如图2，连接DF，求四边形DFNM的最大值及此时点D的坐标；
②如图3连接AD和FC，试探究△ADM与△CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由．
25．（14分）如图，△ABC和△ABD分别位于AB两侧，E为AD中点，连接BE，CE．
（1）如图1，若∠BAC=∠ABD=90°,AC=3,AB=BD=4，求CE的长；
（2）如图2，连接CD交AB于点F，在CF上取一点G使得FG=AF．若AC=AD，BD=BF,∠BDF=60°．猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=4，BD=2，请直接写出当2CE-AE取最大值时△ACE的面积．
2023-2024学年第一学期福州市四校教学联盟期末学业联考
答案及详细解析
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由于二次函数与x轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2-7x-7=0中，Δ>0，解不等式即可求出k的取值范围，由二次函数定义可知，k≠0．即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有两个交点，
∴k≠0Δ=b2-4ac=49+28k>0，
∴k>-74且k≠0．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了必然事件的概念。解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．本题依据定义即可判断．
【详解】Ａ、经过有信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；
Ｂ、打开电视频道，正在播体育新闻，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；
Ｃ、掷一次骰子，向上一面点数大于0，一定是1至6中的一个数一定大于0，是必然事件，故选项符合题意
Ｄ、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件故选项不符合题意．
故选：C
4．B
【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键．
【详解】解：如图所示，点（3,-1）绕原点逆时针旋转90°得到点F，此时点F（1,3），
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答．
【详解】解：A、把点1，2代入反比例函数y=2x，得2=2，故正确，不符合题意；
B、∵k=2>0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故不正确，符合题意．
C、∵k=2>0，∴图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意；
D、若x＞1，则0故选：B．
6．D
【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误；
所以不正确的有①②③④⑤，共5个．
故选：D
【点睛】本题考查垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质，弧、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．
7．A
【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有x（x-1）2场比赛，可以列出一元二次方程．
【详解】解：由题意得，x（x-1）2=15．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
8．B
【分析】如图，过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，OA=1，
∴AC=12OA=12，
∴S△OAB=12×1×12=14，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×14=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据ADAB=AEAC=13，∠A=∠A得到△ADE∽△ABC，在根据相似三角形面积比等于相似比平方得到S△ABC，即可得到答案；
【详解】解：∵ADAB=AEAC=13，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE=5，
∴S△ABC=9×5=45，
∴SBDEC=45-5=40，
故选：C．
10．A
【分析】连接OA,OB,OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得△AOB,△COE为等腰直角三角形，四边形OABF为正方形，四边形BDEO为矩形，求出点C的坐标即可．
【详解】解：连接OA,OB,OC，过点C作CD⊥x轴于点D，延长AO交CD于点E，则：OA=OB=OC，
∵A，B两点分别为⊙O与x轴，y轴的切点，
∴OB⊥x轴，OA⊥y轴，
∴OA∥x轴，
∴OA⊥OB，
∴四边形AOBF为正方形；
∵AB=22，
∴OA=OB=2，
∴OC=2，BF=2；
∵CD⊥x轴，OB⊥x轴，OA⊥OB，
∴四边形BDEO为矩形，
∴∠OEC=90°,DE=OB=2,∠BOE=90°，OE=BD，
∵C为优弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=12360°-90°=135°，
∴∠COE=∠BOC-∠BOE=45°，
∴OE=CE=22OC=2，
∴CD=CE+DE=2+2,DF=BF+BD=2+2，
∴C2+2,2+2，
∴2k=2+22，
∴k=3+22，
故选A．
【点睛】本题考查求反比例函数的k值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形．本题的综合性较强，难度较大．
11．＞
【分析】利用二次函数的增减性判断即可．
【详解】由题可知，该二次函数对称轴为直线x=1，且开口向上，
即：当x<1时，y随x的增大而减小，
∵x1∴y1>y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查利用二次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键．
12．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ACAE=BDBF，即ACAC+CE=BDBF，
∵AC=3,CE=6,BF=6，
∴33+6=BD6，
解得：BD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．0.93
【分析】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．
14．12π
【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积公式是解题的关键，根据圆锥的侧面积公式：S侧=12×2πr·l=πrl，即可得圆锥的侧面展开图的面积．
【详解】解：∵圆锥的侧面展开图的扇形，
∴S侧=πrl=3×4×π=12π，
∴该圆锥的侧面展开图的面积为12π，
故答案为：12π．
15．V≥0.6
【分析】利用待定系数法求出比例函数解析式P=96V，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案．
【详解】解：设反比例函数解析式P=kV，
由图象可知，反比例函数经过点A0.8,120，
∴k=0.8×120=96，
∴P=96V，
∴在第一象限内，P随V的增大而减小，
当P=160时，V=96160=0.6，
∵气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，
∴P≤160，此时V≥0.6，
∴气体的体积V的取值范围为V≥0.6，
故答案为：V≥0.6，
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．
16．（0,-2）
【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设A、B点坐标，继而利用待定系数法求解直线AB截距项，证明△AEO与△OFB相似，最后利用相似性质求解截距项以解本题．
【详解】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，如下图所示：
设A（-m,-12m2），B（n,-12n2），其中m、n均为正数，
设直线AB的解析式：y=kx+b，
将A、B点代入可得：-mk+b=-12m2nk+b=-12n2，
解该方程组可得：b=-12mn．
∵∠AOB=90° ∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∼△OFB,
∴AEOF=OEBF ,
∵AE=12m2，OE=m，OF=n，BF=12n2，
∴12m2n=m12n2，
故mn=4，则b=-2．
综上，不论k取何值，直线AB恒过点（0,-2）．
故填：（0,-2）．
【点睛】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具．
17．（8分）x1=4，x2=0
【分析】先化成一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】x-3x-1=3
x2-4x+3=3
x2-4x=0
x-4x=0，
即x-4=0，或者x=0，
∴x1=4，x2=0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键．
18．（8分）证明见解析
【详解】证明：如图，连接AD，BC．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO．
∵点E，F关于点O中心对称，
∴OF=OE．
在△BOF和△DOE中，
BO=DO∠BOF=∠DOEOF=OE
∴△BOF≌△DOESAS， ∴BF=DE．
19．（8分）（1）y=6x，y=x+1 （2）5
【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据一次函数确定OD=1，OC=3，结合图形，计算三角形面积即可．
【详解】（1）解：∵点B-3,-2）在y=mx的图像上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=6x，
∴n=63=2
∴A2,3，
∵点A（2,3）、B-3,-2在y=kx+b的图像上，
∴2k+b=3-3k+b=-2，
解得：k=1b=1
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）∵一次函数的解析式为：y=x+1，
当x=0时，y=1，
∴点D（0,1），OD=1，
∵AC⊥y轴，A（2,3），
∴C（0,3），OC=3，
∴CD=OC-OD=2，
以CD为底，则CD边上的高为3+2=5，
∴S△ABC=12×2×5=5
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
20．（8分）（1）3， 4,1.4 （2）2.25米
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当x=3时，y=14（x-2）2+2=2.25，即可求解；
解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为x=4，
则x=4=-b2a=-452a，解得：a=0.1，
∴抛物线的表达式为y=0.1x-0.8x+3，
∴点A0,3，即AB=CD=3（米），
当x=4时，y=0.1x-0.8x+3=1.4，即顶点坐标为4,1.4，
故答案为：3，4,1.4；
（2）解：设抛物线的表达式为y=a'（x-2）2+2，
将点A的坐标代入上式得3=a'（0-2）2+2，解得a'=14，
∴抛物线的表达式为y=14（x-2）2+2，
当x=3时，y=14（x-2）2+2=2.25（米），
∴点M到地面的距离为2.25米．
21．（8分）100m
【分析】根据题意证明△PAB∽△PCD，再由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵BA⊥PC,CD⊥PC，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴PAPC=ABCD，
即PAPA+AC=ABCD，
∴PAPA+50=80120，
解得：PA=100，
答：PA的长为100m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．（10分）（1）见解析
（2）OC=1、CF=32
【分析】（1）连接OE，由切线得性质得：∠AEO=∠BEO=90°，再证明AC与⊙O相切于点C，则AE=AC，再证Rt△AEO≌Rt△BEO，得AE=BE，则AB=2AE，即可得答案；
（2）先求出BC的值，由12AB⋅OE=12OB⋅AC=S△AOB，求出OC=1，再证明OA垂直平分CE，则12OA⋅CE=12AC⋅OC+12AE⋅OE=S四边形ACOE，求出CE的长，即可得答案．
【详解】（1）解：如下图，连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，
∴AB⊥OE，
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，AC⊥OC，
∴AC与⊙O相切于点C，
∴AE=AC，
在Rt△AEO和Rt△BEO中，OA=OBOE=OE，
∴Rt△AEO≌Rt△BEO，
∴AE=BE，
∴AB=2AE，
∴AB=2AC；
（2）∵AC=3，
∴AB=2AC=23，
∴ BC=AB2-AC2=232-32=3，
∴OA=OB=3-OC，
∵ 12AB⋅OE=12OB⋅AC=S△AOB，且OE=OC，
∴ 12×23OC=12×33-OC，
解得：OC=1，
∴OE=1,OA=OB=BC-OC=2，
∵ AE=AC，OE=OC，
∴点O、点A都在线段CE的垂直平分线上，
∴OA垂直平分CE，
∵ 12OA⋅CE=12AC⋅OC+12AE⋅OE=S四边形ACOE，
∴ 12×2CE=12×3×1+12×3×1，
∴ CE=3，
∴ CF=12CE=32，
∴线段OC，CF的长分别是1、32．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（10分）（1）14；
（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为20%
【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可；
（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可．
【详解】解：（1）设其中两条线段的长为x，y，则第3条线段的长为a-x+y，于是x，y的取值范围是：
0要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于a2，即
0将x，y视为坐标系的坐标，O0，0，Aa，0，B0，a，
而满足条件②的点x，y在以Ca2，a2，D0，a2，Ea2，0为顶点的△CDE内，
故所求概率为p=S△CDES△OAB=12×CD×DE12×OA×OB=a2×a2a×a=14
答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14；
（2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得751+x2=108，
解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去），
设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，
根据题意得108×90%+y×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用、三角形三边关系和概率计算方法，解决本题的关键是掌握数形结合的思想．
24．（12分）（1）y=x2+2x-3
（2）y=-x+1或y=35x-35 （3）①最大为2，点D坐标为-2，-3；②是，2
【分析】（1）由题意知，C0，-3，将B1，0，C0，-3代入y=x2+bx+c，计算求解b，c的值，进而可得解析式；
（2）由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，①当BM∥AC时，A-3，0，待定系数法求直线AC的解析式为y=-x-3，则直线BM的解析式为y=-x+d，待定系数法求解即可；②当BM过A、C中点时，由题意知，A、C中点坐标为-32，-32，设直线BM的解析式为y=ex+f，待定系数法求解即可；
（3）①由题意知，Dm，m2+2m-3，Mm，-m-3，Fm+1，m+12+2m+1-3，Nm+1，-m+1-3，则DM=-m2-3m，FN=-m+12-3m+1，则S四边形DFNM=DM+NF×12=-m+22+2，根据二次函数的性质求最值，然后求D点坐标即可；②由题意知 ，S△ADM+S△CFN=DM×m+32+NF×0-m-12 =2，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，OC=3OB=3，
∴C0，-3，
将B1，0，C0，-3代入y=x2+bx+c得，1+b+c=0c=-3，
解得，b=2c=-3，
∴y=x2+2x-3；
（2）解：由题意知，当BM∥AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等，
①当BM∥AC时，
当y=0时，x2+2x-3=0，
解得，x=-3或x=1，
∴A-3，0，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A-3，0，C0，-3代入得，-3k+b=0b=-3，
解得，k=-1b=-3，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
设直线BM的解析式为y=-x+d，
将B1，0代入得，-1+d=0，
解得，d=1，
∴直线BM的解析式为y=-x+1；
②当BM过A、C中点时，
由题意知，A、C中点坐标为-32，-32，
设直线BM的解析式为y=ex+f，
将-32，-32，B1，0代入得，-32e+f=-32e+f=0，
解得，e=35f=-35，
∴直线BM的解析式为y=35x-35，
综上所述，直线BM的解析式为y=-x+1或y=35x-35；
（3）①解：由题意知，Dm，m2+2m-3，Mm，-m-3，Fm+1，m+12+2m+1-3，Nm+1，-m+1-3，
∴DM=-m2-3m，FN=-m+12-3m+1，
∴S四边形DFNM=DM+NF×12=-m2-3m-m+12-3m+12=-m2-4m-2=-m+22+2，
∵-1<0，
∴当m=-2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2，
∴D-2，-3；
②解：由题意知 ，S△ADM+S△CFN=DM×m+32+NF×0-m-12
=-m2-3m×m+32+-m+12-3m+1×0-m-12
=2，
∴△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2．
【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键．
25．（14分）（1）29
（2）BC=2BE，证明见解析
（3）24+31317
【分析】（1）过点E作EF⊥AC，交CA延长线于F，证明△ABD是等腰直角三角形，求出AD，同时推出△AEF是等腰直角三角形，结合直角三角形斜边中线性质得到AF=EF=2，求出CF，利用勾股定理求出CE即可；
（2）延长BE至K，使EK=BE，作AH⊥CD于H，证明△BDF是等边三角形，推出△AGF是等边三角形，通过线段关系推出AB=CF，证明△AEK≌△DEB（SAS），得到AK=BD，∠K=∠DBE，从而得到∠KAB=∠BFC，再证明△KAB≌△CFB（SAS），可得BK=BC，从而得到BC=2BE；
（3）取AB的中点O，连接OE，可推出点E在以O为圆心，半径是1的圆上运动，在OA上截取OI=12，构造△IOE∽△EOA，从而得出IE=12AE，确定当C、I、E在同一直线上时，2CE=AE最小，进而解△IOE，从而进一步求出结果．
【详解】（1）解：如图，过点E作EF⊥AC，交CA延长线于F，
∵∠ABD=90°，AB=BD=4，
∴△ABD是等腰直角三角形，且AD=2AB=42，
∴∠BAD=45°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵E是AD中点，
∴AE=DE=22，
∴AF=EF=AE2=2，
∴CF=AC+AF=3+2=5，
∴CE=CF2+EF2=52+22=29；
（2）BC=2BE，理由如下：
如图2，延长BE至K，使EK=BE，作AH⊥CD于H，
∵BD=BF,∠BDF=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BDF=∠DBF=60°，DF=BF，
∴∠AFG=60°，
∵FG=AF，
∴△AGF是等边三角形，
∴AG=AF=GF，
∴GH=FH，
∵AC=AD，
∴CH=DH，
∴CG=DF，
∴AF+BF=GF+CG，
∴AB=CF，
∵E为AD中点，
∴AE=DE
∵∠AEK=∠BED，
∴△AEK≌△DEB（SAS），
∴AK=BD，∠K=∠DBE，
∴∠KAB=180°-∠DBF=180°-60°=120°，
∴∠KAB=∠BFC，
∴△KAB≌△BFC（SAS），
∴BK=BC，
∴BC=2BE；
（3）如图3，取AB的中点O，连接OE，
∵E是AD的中点，
∴OE=12BD=1，
∴E点在以O为圆心，半径是1的⊙O上运动，
在OA上截取OI=12，
∴ OIOE=OEOA=12，
∵∠IOE=∠AOE，
∴△IOE∽△EOA，
∴ EIAE=OEOA=12，
∴IE=12AE，
∵CE-IE≤IC，
∴当C、I、E在一条直线上时，
（CE-IE）最大，
∵2CE-AE=2（CE-12AE），
∴（2CE-AE）最大=2CI，
如图4，
连接CO，作EM⊥AB于M，
∴EM∥OC，
∴ EMMI=OCOI=212=4，
设MI=x，EM=4x，
在Rt△EOM中，
OM2+EM2=OE2，
∴（x+12）2+（4x）2=1，
∴x1=-1+21334，x2=-1-21334（舍去），
∴EM=4x=-2+41317
∴S△ACE=12AI⋅（OC+EM）
=12×32×（2+-2+41317）
=24+31317．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关概念和性质，解决问题的关键是构造辅助线及熟悉“阿氏圆”模型．
每批粒数n
100
500
1 000
1 500
2 000
3 000
发芽的频数m
94
466
928
1 396
1 858
2 790
发芽的频率mn（精确到0.001）
0.940
0.932
0.928
0.931
0.929
0.930