04正、余弦定理在几何中的应用（求三角形中的边长或周长的最值或范围）-【三角函数与解三角形专题】20

这是一份04正、余弦定理在几何中的应用（求三角形中的边长或周长的最值或范围）-【三角函数与解三角形专题】20，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示为某学校的轮廓图，，其中为教学区，，墙长240米，为校门区域，其中，若要美化校门区域，决定在墙与上装饰高档墙贴，若已知该高档墙贴仅与墙的长度有关，则（ ）时，美化墙体造价最低（其中）
A．B．C．D．
3．在某次骑行活动中，小李沿一条水平的公路向北偏东 方向骑行．当骑行到某处时，他看见某地标建筑恰好在其正西方向，距其100米的地方．继续骑行2分钟后，他看见该地标建筑在其西南方向，则小李骑行的速度是（ ）
A．50米/分钟B．100米/分钟C．米/分钟D．米/分钟
4．已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，在四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=且BD为∠ABC的平分线，则BD=（ ）
A．6B．9C．7D．8
9．如图，在四边形中，，则的长为（ ）
A．B．C．D．3
10．在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．的最小值为D．的最大值为
12．在中，三边长分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．已知内角分别为，且满足，则的最小值为 .
14．在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为 .
15．如图，扇形OPQ的半径为6，圆心角为60°，C为弧上一动点，B为半径上一点且满足，则的周长的最大值是 ．
16．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是 .
17．如图，某城市准备在由和以为直角顶点的等腰直角三角形区域内修建公园，其中是一条观赏道路，已知，，则观赏道路长度的最大值为 ．
18．某城市的市民文体活动中心有一块扇形的绿地（如图），已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为80米，现要在半径，以及上分别取一点，，，修建3条观光小道PQ，，，将扇形绿地划分为4个区域，并在这4个区域内分别栽种不同的花草，以供市民观赏．若观光小道每米的造价为200元，那么修建3条观光小道的最低总造价为 万元．
四、解答题
19．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
20．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
2．D
【分析】设，由正弦定理表示边长得，，再由三角恒等变换得，利用三角函数值域的求法即可求解
【详解】设，则，
因为，
所以,
又,
所以，
又，
所以，
所以
，
又，
所以，
又在单调递增，
所以当时，有最小值，
所以时，有最小值，此时造价最低，
故选：D
3．C
【分析】作出示意图，由题意确定各角度数，由正弦定理求得AC的长，即可求得答案.
【详解】如图，由题意设小李骑行到某处A, 某地标建筑为B, 继续骑行2分钟后到达C,
则，，，
由正弦定理可得，解得，
则小李骑行的速度是米/分钟,
故选:C
4．C
【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围.
【详解】由题意，设三角形为，
由三角形的几何性质，
∴，
∵三角形是锐角三角形，，
∴只需要为锐角，
∵，即，
，即，
联立解得：，
故选：C.
5．C
【分析】确定角范围后，由正弦定理表示出，再利用三角函数性质得结论．
【详解】因为是锐角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故选：C．
6．B
【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.
【详解】，，
依题意，
即 ，，
所以为锐角，.
由正弦定理得，
所以，
所以三角形周长为
，
由于，
所以当时，三角形的周长取得最大值为.
故选：B
7．B
【分析】求出，，在中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
8．D
【分析】在中，利用正弦定理即可求出，确定四点共圆，可得，在中，利用余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理得，
由，可得，，
所以四点共圆，，
由余弦定理．
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正弦定理、余弦定理的运用.
9．C
【分析】延长、交于点E，可知，.在中，设，则，根据可解得.
【详解】解：如图，延长、交于点E，
由题意知，，∴，
∴，不妨设，则．
∵，即，解得：．
故选：C.
10．A
【分析】，由余弦定理可得：，再利用余弦定理可得．由正弦定理可得：，解出，代入，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．
【详解】，
由正弦定理可得：，
可得，
，
．
由已知及正弦定理可得：，
，，．
则，
，
，，
，，
，．
故选：A
【点睛】本题考查了正余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．ABD
【分析】设边上的高为，利用面积桥可知A正确；利用余弦定理和可整理得到，则，知B正确；将转化为，利用三角恒等变换知识化简整理得，由正弦函数值域可知CD正误.
【详解】设边上的高为，则
，，
，即，A正确；
由余弦定理得：，
又，，
，B正确；
，，，，
；
，，，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】根据题意得，结合边的关系即可判断A；根据边的关系及基本不等式即可判断BC；用边长为的三角形的周长判断D
【详解】对于A，，即，也就是，
另一方面，在中，，则成立，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，边长为的三角形，满足，但，故D错误．
故选：ABC．
13．16
【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设，
所以，
所以，即，
又，，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键.
14．
【分析】根据向量模长公式即可，结合基本不等式即可求解，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于为边中点,所以,平方,
因此,
由于，所以，当且仅当时等号成立，
故，
由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，
,
由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，
由可得，故面积的最大值为，
故答案为：
15．/
【分析】设，则，然后利用正弦定理表示出，相加化简后利用三角函数的性质可求出其最大值
【详解】设，则，由正弦定理得
，即，
所以，
所以的周长为
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，即 的周长的最大值为，
故答案为：
16．
【分析】设，，进而得到，，然后在中通过余弦定理得到的关系式，在和中通过正弦定理得到的关系式和的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案.
【详解】如图，根据题意，设，，则，，在中，由余弦定理有…①

在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，则，由①，…②，
且，
设，则，由题意，，所以，而，由对勾函数的性质可知.
由②，，易知函数在上单调递减，于是.
故答案为：.
【点睛】本题难度较大，注意以下几个细节的处理，首先“”这一步，开根号的目的是降低运算量；其次，在“”这个等式里发现了倒数关系，故而进行了换元，否则通分化简运算量特别大；再次，“” 这一步变形目的在于可以直接判断函数的单调性，而函数的单调性需要借助导数.
17．
【分析】设，在△中应用正余弦定理可得、，在△中有且，结合诱导公式、辅助角公式及正弦型函数的性质即可求的最大值.
【详解】设，
在△中，由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
∴在△中，，
∴，当时等号成立．
∴长度的最大值为.
【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理得到相关边角与、、与的关系，结合诱导公式、三角恒等变换及正弦型函数的性质求最值.
18．
【分析】要使总造价最低，应使的周长最小，通过作点关于半径，所在直线的对称点，，将的周长最小问题转化为线段的长度问题，然后利用余弦定理求出，即可得结果．
【详解】如图，分别作点关于半径，所在直线的对称点，，连接，则当，分别为与，的交点时，，此时的周长最小，为的长．
连接，，，易知米，，，所以，
在中，由余弦定理得（米），
因此修建3条观光小道的最低总造价为（元）（万元）．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题以修建观光小道为背景考查求路径最短问题，解题思路是利用轴对称及两点之间线段最短求距离和的最值，考查学生的数学建模能力、运算求解能力、逻辑思维能力，属于较难题.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角的内角和定理，利用正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，结合锐角三角形求出角的范围及正切函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及余弦定理，得，
由锐角，知，
所以．
（2）由（1）知，得，故，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形得解得，
∴，
∴．
故的取值范围为.