06正、余弦定理在几何中的应用(求三角形面积的最值或范围)-【三角函数与解三角形专题】2024届高考
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这是一份06正、余弦定理在几何中的应用(求三角形面积的最值或范围)-【三角函数与解三角形专题】2024届高考,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
2.在中,,,的对边分别为,,,若,且,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
3.设点P在内且为的外心,,如图,若的面积分别为,x,y,则的最大值是( )
A.B.C.D.
4.已知的内角、、的对边分别为、、,且,若,则的面积的最大值为( )
A.B.
C.D.
5.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则面积的最大值为( )
A.8B.4
C.2D.
6.在中,分别是角的对边,,,则当的面积取得最大值时,的值为( )
A.4B.C.D.
7.阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家,以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹.已知在中,角、、所对的边分别为、、,且,,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8.在中,角、、所对的边分别为、、,已知,,则面积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多选题
9.若周长为15的三角形δ的三边长均为整数,则( )
A.δ的任一边长不超过7B.不同的δ的个数不超过8
C.δ的面积不小于4D.δ的面积可能超过12
10.在中,、、所对的边为、、,设边上的中点为,的面积为,其中,,下列选项正确的是( )
A.若,则B.的最大值为
C.D.角的最小值为
三、填空题
11.在如图所示的平面四边形ABCD中,,,记△ABD,△BCD的面积分别为,则的最大值为 .
12.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,则面积的最大值为 .
13.在中,角,,的对边分别为,,,若,则三角形的面积,这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中,故称该公式为海伦公式.将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线,其余各边均在此直线的同侧)中,即“设凸四边形的四条边长分别为,,,,,凸四边形的一对对角和的一半为,则凸四边形的面积”.如图,在凸四边形中,若,,,,则凸四边形面积的最大值为 .
14.如图所示,A,B是半径为2的圆周上的定点,C为圆周上的动点,,图中阴影区域的面积为S.在圆内随机取一点Q,记点Q取自阴影区域为事件D.事件D发生的概率 (用S表示),的最大值为 .
15.四边形中,,,,,则 ,的最大值 .
四、解答题
16.在中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(Ⅰ)a的值:
(Ⅱ)和的面积.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
17.如图,在极坐标系中,圆的半径为,半径均为的两个半圆弧所在圆的圆心分别为,,是半圆弧上的一个动点,是半圆弧上的一个动点.
(1)若,求点的极坐标;
(2)若点是射线与圆的交点,求面积的取值范围.
18.如图,已知外接圆的圆心O为坐标原点,且O在内部,.
(1)求,求;
(2)求面积的最大值.
参考答案:
1.B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得,进而得到;利用余弦定理和基本不等式可求得,代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得:,
,
,,,,,
,解得:;
由余弦定理得:,
(当且仅当时取等号),,
.
故选:B.
2.B
【分析】由条件可得,根据正弦定理可得,从而得出角,由余弦定理结合均值不等式可得,从而得出答案.
【详解】由,得
即,即
由正弦定理可得: ,则,即
由,则
由余弦定理可得,即
当且仅当时取得等号. 所以
面积
故选:B
3.B
【分析】由得到外接圆半径的平方,设,将x,y用表示,再结合二倍角公式化简即可得到答案.
【详解】因为,所以,设外接圆半径为r,
所以,解得,
设,则,
,,
故
当时,等号成立.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:引入变量,将均用变量表示,将最后结果表示为关于的三角函数,利用三角函数的性质求最值是解题的关键.
4.D
【解析】利用余弦定理求得角的值,结合基本不等式可求得的最大值,进而可求得的面积的最大值.
【详解】由余弦定理得,所以,所以.
由余弦定理的推论得,又,所以.
若,由余弦定理的得,
当且仅当时取等号,所以,解得.
故.
因此,面积的最大值为.
故选:D.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积最值的计算,涉及基本不等式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.
5.B
【分析】根据已知条件,反凑余弦定理求得,再用余弦定理,借助基本不等式求得的最大值,再利用面积公式即可求得结果.
【详解】由已知等式得a2+b2-c2=ab,则cs C===.
由C∈(0,π),所以sin C=.
又16=c2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,则ab≤16,
当且仅当时,取得最大值.
所以=absin C≤×16×=4.
故Smax=4.
故选:B.
【点睛】本题考查利用余弦定理和基本不等式求面积的最大值,属基础题.
6.D
【分析】根据三角形的面积公式和基本不等式可求得当三角形的面积取得最大值时,边的值,再由余弦定理可求得边.
【详解】因为,所以
,当且仅当时取等号,此时,
所以,由余弦定理得:,
所以,
故选:D.
7.A
【分析】求得,,然后以的中点为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,求出点的轨迹方程,可得出中边上的高的最大值,由此可求得面积的最大值.
【详解】由正弦定理可得,设的外接圆半径为,
则,
以的中点为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,如下图所示:
则、,
设点,由,可得,
化简可得,
所以,的边上的高的最大值为,因此,.
故选:A.
【点睛】方法点睛:求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法:
(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:利用圆的性质列方程;
(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
8.B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】由余弦定理可得,即,
当且仅当时,等号成立,故.
因此,面积的最大值为.
故选:B.
9.AB
【分析】令三角形边长分别为且,根据三角形性质列举出符合要求的,并求出对应面积,即可得答案.
【详解】令三角形边长分别为且,则,
由于,故,
若,即,则,不满足三角形性质;
所以,,且满足,
可能有、、、、、、,
当为,对应面积为;
当为,则,即为锐角,故,
所以面积为;
当为,则上的高,
所以面积为;
当为,则上的高,
所以面积为;
当为,则,即为钝角,故,
所以面积为;
当为,则,即为钝角,故,
所以面积为;
当为,则上的高,
所以面积为;
综上,A、B对,C、D错.
故选:AB
10.ABC
【分析】利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误;利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误;利用余弦定理可判断C选项的正误;利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】对于A,由余弦定理可得,得,
故,A对;
对于B,由基本不等式可得,即,
当且仅当时,等号成立,
由余弦定理可得,
则,B对;
对于C,,则,
由余弦定理可得,,
所以,,整理可得,
则,C对;
对于D,由余弦定理可得,
当且仅当时,等号成立,
因为且函数在上单调递减,故,D错.
故选:ABC.
11.
【分析】利用余弦定理表示出,可得到,结合同角三角函数平方关系,代入三角形面积公式中,可得,由二次函数性质可求得最大值.
【详解】在中,由余弦定理得:,
在中,由余弦定理得:,
,整理可得:,
,,
,
则当时,.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:本题考查解三角形中的最值问题的求解;本题求解最值的关键是能够将所求面积平方和表示为关于变量的二次函数的形式,进而利用二次函数最值的求法来求得最大值.
12./
【分析】结合余弦定理和已知条件表示出csA,再利用基本不等式求出csA的最小值,判断角A的大小,再根据求出tanA的最大值,从而根据即可求出答案.
【详解】由余弦定理及,得,
∴,
∵A是三角形内角,故A为锐角,
∴,
∴的面积.
故答案为:
13.
【分析】由已知,将边长代入后可将面积转化为的最值问题
【详解】因为,且,,,,
所以,
∴
当=0即当的时候,S取到最大值
故答案为:
14.
【分析】计算出圆的面积,利用几何概型的概率公式可求得;由正弦定理、余弦定理结合基本不等式可计算出的最大值,即可得出的最大值.
【详解】圆的面积为,所以;
如下图所示,连接,由题意可知C在优弧AB上时,取最大值
由正弦定理可得,
由余弦定理得
,
,当且仅当时,等号成立,
所以,
弦所对的圆心角为,
所以弓形的面积为,
所以.
因此.
故答案为:;.
【点睛】本题考查了几何概型概率的计算,考查了正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用,属于中等题.
15. 30
【分析】在中应用正弦定理得,然后得余弦值,根据,,得是圆内接四边形,因此有是确定的角,这样只要求得面积的最大值即可得的最大值,而为定值,因此只要到的距离最大即可,它是线段的中垂线与四边形外接圆的交点时,得最大值.
【详解】中,,∴,为锐角,∴,
∵,,∴四点共圆,
∵,∴当到的距离最大时,面积最大,此时是边的中垂线与外接圆的交点,
设在的中垂线上,是圆心,是中点,则共线,,
外接圆的直径为,,又,∴,,
,又,
∴,∴.
又,
∴的最大值是30.
故答案为:;
【点睛】本题考查正弦定理,考查四点共圆,三角形面积公式,解题的关键是利用边为定值,为定值,把问题转化为求面积的最大值,利用点在圆上,由圆的性质可三角形面积最大时点的位置,从而易求解.
16.选择条件①(Ⅰ)8(Ⅱ), ;
选择条件②(Ⅰ)6(Ⅱ), .
【分析】选择条件①(Ⅰ)根据余弦定理直接求解,(Ⅱ)先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果;
选择条件②(Ⅰ)先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求结果,(Ⅱ)根据两角和正弦公式求,再根据三角形面积公式求结果.
【详解】选择条件①(Ⅰ)
(Ⅱ)
由正弦定理得:
选择条件②(Ⅰ)
由正弦定理得:
(Ⅱ)
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理,三角形面积公式,考查基本分析求解能力,属中档题.
17.(1)
(2)
【分析】(1)根据图形关系可确定,极角,由此可得点的极坐标;
(2)利用表示出和,代入三角形面积公式,结合三角恒等变换知识可化简得到,结合正弦型函数值域可求得结果.
【详解】(1)由知:,,
点的极角为,点的极坐标为.
(2)
由题意知:,,,
,
,,,.
18.(1)
(2)
【分析】(1)由题可得外接圆半径,即,用向量加减法把写为,展开代入长度和角即可求出数量积;
(2)由圆心角,可求圆周角,即的值,由外接圆半径为1,根据正弦定理可求,根据余弦定理可求之间等式关系,根据基本不等式可求的最大值,根据三角形面积公式,即可求出其最大值.
【详解】(1)解:由题知,
故圆的半径为1,
所以,
所以
(2)由(1)知,外接圆的半径为1,
因为,
所以
在中,由正弦定理可得:
,
解得:,
在中,由余弦定理可得:
,
化简可得:,
由基本不等式可知,
即,
所以解得,
当且仅当时取等,
所以
.
故面积的最大值为.
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