专题07 立体几何初步-备战2024年高中学业水平考试数学真题分类汇编

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1．（2023·北京）已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2023·河北）将一块棱长为60 cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·福建）已知球体O的半径为2，则球体O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京）如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形．若，则该直三棱柱的体积为（ ）
A．6B．12C．18D．24
5．（2022春·天津）已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·北京）如图，在三棱锥中，，则三棱锥的体积为（ ）
A．1B．2C．6D．12
7．（2021春·天津）如图，圆柱的底面半径是2，高是3，则这个圆柱的体积是（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·山西）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·浙江）某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：），那么一个石凳的体积是 （单位：）.
10．（2022春·贵州）已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为 ．（结果用含的式子表示）
11．（2021春·福建）半径为的球的体积为 ．
12．（2021秋·青海）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 ．
考点二：空间点、直线、平面的位置关系
1．（2023·北京）四棱锥如图所示，则直线PC（ ）
A．与直线AD平行B．与直线AD相交
C．与直线BD平行D．与直线BD是异面直线
2．（2023·河北）已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若m，n与所成的角相等，则
3．（2023·山西）已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
4．（2023·江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（ ）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
5．（2023春·浙江）下列说法正确的是（ ）
A．一个平面里有三个不同的点到另一个平面的距离都相等，则这两个面平行
B．和同一条直线都相交的两条直线一定相交
C．经过空间中三个点有且只有一个平面
D．经过两条相交直线有且只有一个平面
6．（2023春·福建）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ）

A．B．
C．平面D．平面
7．（2023·广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2023春·新疆）已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．（2022·北京）在空间中，设是不同的直线，是不同的平面，则下形命题中真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2022秋·广东）已知直线与平面，则下列结论成立的是（ ）
A．若直线垂直于平面内的一条直线，则
B．若直线垂直于平面内的两条直线，则
C．若直线平行于平面内的一条直线，则
D．若直线与平面没有公共点，则
11．（2022春·广西）如图，正方体中，分别是的中点，则下列结论正解的是（ ）
A． B． C．与相交D．与相交
12．（2022春·贵州）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面不垂直D．异面垂直
13．（2021秋·浙江）已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
14．（2021春·贵州）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A．B．C．D．EO
15．（2021秋·贵州）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面DAA1D1的位置关系是（ ）
A．直线与平面平行
B．直线与平面垂直
C．直线与平面相交但不垂直
D．直线在平面
16．（多选）（2021·湖北）已知，是平面外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
17．（2023·北京）如图，在正方体中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：
①，；
②，；
③，与不垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2022春·广西）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个.
19．（2021·北京）如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论：
①；
②；
③线段的长度大于线段的长度.
其中所有正确结论的序号是 .
考点三：异面直线所成角
1．（2023春·湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·河北）如图，在正方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋·浙江）如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春·福建）如图的正方体中，异面直线与所成的角是（ ）

A．30°B．45°C．60°D．90°
考点四：直线与平面所成角
1．（2023·江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2022秋·浙江）如图，正方体中，N是棱的中点，则直线CN与平面所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·浙江）如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021秋·贵州）如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为
A．B．
C．D．
考点五：二面角
1．（2023·河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（ ）
A．2B．C．D．1
考点六：立体几何解答题
1．（2023·北京）阅读下面题目及其解答过程．
如图，在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
解：（1）取的中点F，连接EF，FC，如图所示．
在中，E，F分别为，的中点，
所以，．
由题意知，四边形为 ① ．
因为D为BC的中点，所以，．
所以，．
所以四边形DCFE为平行四边形，
所以．
又 ② ，平面，
所以，平面．
（2）因为为直三棱柱，所以平面ABC．
又平面ABC，所以 ③ ．
因为，且，所以 ④ ．
又平面，所以．
因为 ⑤ ，所以．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
2．（2023·山西）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．

(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值．
3．（2023·江苏）如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为2的等边三角形，分别是的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
4．（2023春·福建）如图，长方体，，.
(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：平面.
5．（2023春·湖南）如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

(1)求证：平面ABC；
(2)若，，求圆锥PO的体积.
6．（2023·广东）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点.
(1)证明BC⊥面PAC；
(2)若求PB与面PAC的夹角.
7．（2023·云南）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
8．（2023春·新疆）在三棱锥中，底面，，E ， F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明．
9．（2022·北京）阅读下面题目及其解答过程．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．
10．（2022秋·广东）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．
(1)求证：平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．
11．（2022秋·福建）如图，在三棱锥中，平面平面
(1)求证：PA；
(2)若，求三棱锥的体积.
12．（2022春·天津）如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点.

(1)求证：平面PDB；
(2)求证：平面PDB.
13．（2022·山西）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
14．（2022春·浙江）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，点是棱上的一点．
(1)若，求证：平面；
(2)若是的中点，求二面角的余弦值．
15．（2022·湖南）在直三棱柱中，，为中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求四棱锥的体积.
16．（2022春·广西）如图，AB是底面的直径，C为上异于A、B的点，PC垂直于所在平面，D、E分别为PA、PC的中点.
(1)求证：DE∥平面ABC.
(2)求证：平面BDE⊥平面PBC.
17．（2022春·贵州）如图，直三棱柱中，，M为棱上一点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：．
18．（2021·北京）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
19．（2021春·天津）如图，长方体中，底面是正方形．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
20．（2021秋·吉林）如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5.
(1)求证：平面；
(2)若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积.
21．（2021·吉林）如图，在正方体中，、分别为､的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
22．（2021春·福建）如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.
23．（2021秋·福建）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，求三棱锥的体积．
24．（2021秋·河南）如图，在三棱柱中，点D是AB的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面ABC，，，，，求三棱柱的体积.
25．（2021·湖北）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．求证：
（1）平面；
（2）求三棱锥的体积．
26．（2021秋·广东）如图，在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F分别为PD，BC的中点.
（1）求三棱锥P-ABD的体积；
（2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）
27．（2021秋·广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马中，平面，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求证：.
28．（2021春·贵州）如图，三棱柱中，底面ABC，，且．
(1)求直线与平面ABC所成角的大小；
(2)求证：平面．
29．（2021·贵州）如图，在正方体中，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）判断与平面的位置关系，并说明理由.
30．（2021秋·青海）如图，在三棱锥中，侧棱底面，，、分别是棱、的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：．
空格序号
选项
①
A．矩形 B．梯形
②
A．平面 B．平面
③
A． B．
④
A．平面 B．平面
⑤
A． B．
如图，已知正方体．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：直线与平面不平行．
解：（Ⅰ）如图，连接．
因为为正方体，
所以平面．
所以①___________．
因为四边形为正方形，
所以②__________．
因为，
所以③____________．
所以．
（Ⅱ）如图，设，连接．
假设平面．
因为平面，且平面平面④____________，
所以⑤__________．
又，
这样过点有两条直线都与平行，显然不可能．
所以直线与平面不平行．
空格序号
选项
①
A． B．
②
A． B．
③
A．平面 B．平面
④
A． B．
⑤
A． B．与为相交直线