2024枣庄三中高二上学期12月质量检测试题数学含解析

这是一份2024枣庄三中高二上学期12月质量检测试题数学含解析，共23页。试卷主要包含了12， 双曲线C， 已知椭圆， 对于直线等内容，欢迎下载使用。

数学试题
2023.12
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.
第I卷（共60分）
注意事项：
1．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是等差数列，是其前n项和，若，，（ ）
A. 65B. 60C. D. 21
3. 已知圆：与圆：相内切，则（ ）
A 11B. C. 9D.
4. 设数列的前n项和为，并且，则等于（ ）
A. 32B. 16C. 992D.
5. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A. B. C. D.
7. 双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
8. 已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于直线：，下列说法正确的有（ ）
A. 直线恒过定点
B. 无论m取何实数，直线一定不过点
C. 直线l被圆截得的最短弦长是2
D. 若直线与圆相切，则
10. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（ ）
A. 抛物线C的方程为
B. 线段AB的长度为8
C. 以AF为直径的圆和抛物线的准线相切
D.
11. 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 在棱长为1正方体中，点P满足，，，则（ ）
A. 当时，的最小值为
B. 当时，有且仅有一个点P满足
C. 当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等
D. 当时，线段AP扫过的图形面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如果直线：与直线：垂直，则______
14. 已知圆：，则过圆心可以作______条直线与圆：相切（用数字作答）．
15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______
16. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为______
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点．
（1）求圆的标准方程：
（2）如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程．
18. 已知数列等差数列，，且．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求．
19. 如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上．

（1）证明：平面PBC
（2）若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值．
20. 记为数列的前n项和，且．
（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21. 已知圆过点，且与直线l：相切．
（1）求圆心的轨迹E的方程；
（2）过点F的两条直线，与曲线E分别相交于A、B和C、D四点，且M，N分别为AB，CD的中点．设与的斜率依次为，，若，试判断直线MN是否恒过定点，若是，求出定点，若不是请说明理由．
22. 已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足
（1）求椭圆C的方程：
（2）若点P是椭圆上第一象限内一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围．枣庄三中2023～2024学年度第一学期高二年级
12月份质量检测
数学试题
2023.12
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分，考试用时120分钟.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号、班级填写在答题纸和答题卡规定的位置.考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回.
第I卷（共60分）
注意事项：
1．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义求解即得.
【详解】直线的倾斜角为，因此该直线的斜率，又，
所以.
故选：D
2. 已知是等差数列，是其前n项和，若，，（ ）
A. 65B. 60C. D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】依题意，等差数列的公差，
所以.
故选：C
3 已知圆：与圆：相内切，则（ ）
A. 11B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出两个圆的圆心坐标及半径，利用两圆内切列式求解即得.
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
显然点在圆外，由圆与圆相内切，得，于是，解得，
所以.
故选：B
4. 设数列的前n项和为，并且，则等于（ ）
A. 32B. 16C. 992D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用即可求解.
【详解】当时，.
所以.
故选：A.
5. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
【详解】根据题意，.
设向量是直线的单位方向向量，，
则点C到直线AB的距离为.
故选：D.
6. 如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，
得，于是，
由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.
故选：C
7. 双曲线C：（）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出即得答案.
【详解】依题意，点，设点，则，显然，即，
由直线AP，AQ的斜率之积为，得，解得，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故选：C
8. 已知椭圆：（）的离心率为，左右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为3，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件得出，在中，令，，由余弦定理得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，得到，
又，，设，则，
又，得到，所以，
易知，，又点到焦点的最大距离为3，所以，得到，
令，由椭圆定义知，
在中，由余弦定理得，
又，得到，当且仅当时取等号，
所以，故，
又易知，当在椭圆左、右顶点时取等号，所以，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 对于直线：，下列说法正确的有（ ）
A. 直线恒过定点
B. 无论m取何实数，直线一定不过点
C. 直线l被圆截得的最短弦长是2
D. 若直线与圆相切，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为恒成立，所以直线恒过定点，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以选项B正确；
对于选项C，由选项A知，直线恒过定点，又弦长公式，
所以圆心到直线的距离越大，弦长越短，故当直线与（为坐标原点）垂直时，弦长最短，此时，，所以选项C错误；
对于选项D，因为直线与圆相切，又圆的圆心为，，
所以，解得，故选项D正确，
故选：ABD.
10. 已知直线l：过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），则下列结论正确的有（ ）
A. 抛物线C的方程为
B. 线段AB的长度为8
C. 以AF为直径的圆和抛物线的准线相切
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】求出抛物线C的焦点，进而求出，把直线与抛物线C的方程联立，再逐项判断即得.
【详解】抛物线C：的焦点在直线l：上，即，解得，
抛物线C的方程为，A错误；
由消去并整理得，，设，
于是，而抛物线C的准线为，则，B正确；
焦点，线段中点横坐标，因此以线段为直径的圆与y轴相切，
与抛物线C的准线相离，C错误；
由点在第一象限，知，即，由解得，
因此，D正确.
故选：BD
11. 1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】BC
【解析】
【分析】根据斐波那契数列满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.
【详解】斐波那契数列中，，，，
，A错误；
当时，，，三个式子相加，得：，B正确；
当时，，则
，C正确；
当时，，则
，D错误.
故选：BC
12. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A. 当时，的最小值为
B. 当时，有且仅有一个点P满足
C. 当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等
D. 当时，线段AP扫过的图形面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.
【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
则，，，，
则，∴.
选项A：当时，点为线段上的点，
将平面和平面沿展开为同一个平面，如图：

连接，则的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，，，
则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；
选项C：当时，，则，，，，
则在上的投影为，
则点P到直线的距离；
平面的一个法向量为，，
则点P到平面的距离为，
当点P到直线的距离与到平面的距离相等时，
，∵，∴方程有一个解，
则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；
D选项：当时，，可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线，所以线段扫过的图形面积为，故D错误．
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，然后得到点到直线和点到平面的距离的表达式，从而判断出C选项的正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如果直线：与直线：垂直，则______
【答案】2
【解析】
【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为，由此求得.
【详解】直线：的斜率为，
直线：的斜率为，
因为，所以，解得.
故答案为：2.
14. 已知圆：，则过圆心可以作______条直线与圆：相切（用数字作答）．
【答案】2
【解析】
【分析】求出圆的圆心坐标，判断点与圆的位置关系即得.
【详解】圆：中，，圆心，
显然点在圆：外，所以过圆心可以作两条直线与圆相切.
故答案为：2
15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为______
【答案】
【解析】
【分析】利用高阶等差数列的定义，结合累加法求得数列的通项公式.
【详解】数列中，由后项减前项，得，
因此当时，，
，而满足上式，
所以该数列的通项公式为.
故答案为：
16. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得.
【详解】依题意，直线都与椭圆相切，
因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外，
又动点P在直线上，因此直线与圆相离，
于是，解得，则，解得，
所以椭圆C的离心率的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点．
（1）求圆的标准方程：
（2）如果圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的半径为，根据条件建立方程组且，求出，即可求出结果；
（2）设，根据条件，利用弦长公式建立方程，即可求出结果.
【小问1详解】
设圆的半径为，由题可得且，解得，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得到弦长为，
所以，解得，
故直线的方程为或.
18. 已知数列为等差数列，，且．
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合题意以及数列为等差数列，利用等差数列的性质求出的通项公式，即可求出.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，即，解得，
由，得，因此，则，
所以数列的通项公式，
【小问2详解】
由（1）知，，显然，
所以
.
19. 如图，直角梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿着AE翻折至，点M为PC的中点，点N在线段BC上．

（1）证明：平面PBC
（2）若平面平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，由平面与平面的夹角列方程，从而求得.
【小问1详解】
依题意，由，，平面，
得平面，而平面，则，
又，于是，由为的中点，得，
而平面，所以平面.
【小问2详解】
平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，设，
，
设平面的法向量为，
，令，得，
设是平面的一个法向量，，，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，
，而，解得，
所以的值为.

20. 记为数列的前n项和，且．
（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1），时，，相减可得：．利用等比数列的通项公式可得；
（2）由于，利用错位相减法即可得出．
【小问1详解】
证明：，
时，，相减可得：，可得．
时，，解得．
数列为等比数列，首项，公比为．
．
小问2详解】
由（1）可得，，
数列的前项和，
，
相减可得，
化为得．
21. 已知圆过点，且与直线l：相切．
（1）求圆心的轨迹E的方程；
（2）过点F的两条直线，与曲线E分别相交于A、B和C、D四点，且M，N分别为AB，CD的中点．设与的斜率依次为，，若，试判断直线MN是否恒过定点，若是，求出定点，若不是请说明理由．
【答案】（1）；
（2）过定点，定点坐标为.
【解析】
【分析】（1）设，根据题意得到，即可求得曲线的方程.
（2）设，的方程为，分别与的方程联立得和，求出，再求出直线的方程即可.
【小问1详解】
依题意，设，由圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，
得，化简得，
所以圆心的轨迹E的方程是.
【小问2详解】
设，的方程分别为，，
由消去y并整理得，设，
则，于是线段的中点，同理
因此直线的斜率，由，得，
直线的方程为，整理得，显然此直线过点，
所以直线恒过定点

22. 已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足
（1）求椭圆C的方程：
（2）若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由得，再把已知点的坐标代入后列出关于的方程组求解可得椭圆标准方程.
（2）设直线的方程为，求出点到直线的距离及，把四边形面积表示为的函数并求出取值范围得解.
【小问1详解】
设，显然，则，
又，即，于是，即，
由椭圆过点，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，设直线的方程为，
则点到直线距离分别为，.
由得点，于是，
四边形的面积
，而，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以四边形面积的取值范围是.