福建省福州市平潭第一中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份福建省福州市平潭第一中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合即得解.
【详解】由题得，
所以.
故选：B
2. 已知点在第三象限，则角的终边位置在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由所在的象限有，即可判断所在的象限.
【详解】因为点在第三象限，
所以，
由，可得角的终边在第二、四象限，
由，可得角的终边在第二、三象限或轴非正半轴上，
所以角终边位置在第二象限，
故选：B.
3. 已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1；
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足，
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD，
在同一坐标系中的图像只能是B，
故选：B．
4. 已知，则等于（ ）
A. B. 2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据齐次式问题分析求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
5. 某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（ ）（参考数据：取）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
6. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.
【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选：C.
7. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.
【详解】函数，
因为在上递增，则在上递减，
所以得，解得，
由，有意义得：，解得，
因此，，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知为R上的奇函数，满足，且当时，，则（ ）.
A. 4B. －3C. －4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到的周期，然后结合奇偶性求函数值即可.
【详解】由，得，所以8是一个周期，又为奇函数，所以.
故选：C.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的单调性比较大小.
【详解】A选项：由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以选项正确；
B选项：由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B选项正确；
C选项：由对数函数为单调递增函数，则，所以C选项不正确；
D选项：由函数与均为单调递增函数，则，而，所以D选项正确.
故选：ABD.
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的图象过定点
B. 函数与函数表示同一个函数
C. 若，则
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据指数函数的性质分析求解；对于B：根据函数相等分析判断；对于C：根据与之间的平方关系分析求解；对于D：根据二次方程根的分布结合充要条件分析判断.
【详解】对于选项A：令，即时，，故图象过定点，故A正确；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两函数定义域不同，故不是同一函数，故B错误；
对于选项C：因为，则，可知，
由，
所以，故C正确；
对于选项：若关于的方程有一正一负根，
等价于，等价于，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ACD.
11. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 如果是第一象限的角，且，则
B. 若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
C 若，则
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A：举例说明即可；对于B：根据扇形的相关公式运算求解；对于C：利用诱导公式分析求解；对于D：根据同角三角关系分析求解.
【详解】对于选项A：令，显然是第一象限的角，且，
但，故A错误；
对于选项：设圆心角为的扇形所在圆半径为，
由题意可得：，扇形弧长，故B错误；
对于选项C：若，则，故C正确；
对于选项D：将，两边平方可得，
所以或，
若，则，此时；
若，则，此时，
综上所述：，故D正确.
故选：CD.
12. 已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A. 函数的零点的个数为2
B. 实数的取值范围为
C. 函数无最值
D. 函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据可得，结合余弦函数的图象解不等式即可求解.
【详解】由得，
作出的图象和直线，
由图象可知的解集为，
故答案为：.
14. 表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据零点的存在性定理求得的范围，再根据的定义即可得出答案.
【详解】解：设，，
因为函数在都是增函数，
所以函数单调递增，
又是方程的根，所以只有一个根，
，
所以，
所以.
故答案为：4.
15. 已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且，则sin θ＋tan θ的值为________．
【答案】或
【解析】
【分析】
由余弦函数的定义求出，再由正弦函数、正切函数定义计算结果.
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，，
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，
则sin θ＋tan θ＝.
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝.
故答案为：或.
【点睛】该题考查三角函数的定义，属于基础题目，在已知一个三角函数值求点的坐标是，注意解可能多于一个.
16. 函数在上是减函数，则取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 在 上单调递减，可得求解.
【详解】根据 在 上单调递减，
则成立，
解得，
所以，则，
又，所以，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题（除第17小题外，每题12分，共70分）
17. 已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值集合；
（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意可知，在上恒成立，再对参数进行分类讨论，根据二次函数的性质，即可求出结果；
（2）由命题的关系与集合间的包含关系得：是的必要不充分条件，所以，由此列出关系式，即可求出结果.
【详解】（1）可知，在上恒成立，
当时，，成立；
当时，，解得；
综上所述，. 所以集合
（2）因为，是的必要不充分条件. 所以，
故,解得
所以，实数的取值范围是.
18. 已知
（1）化简并求的值；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由诱导公式化简函数表达式并代入求值即可.
（2）由题意首先得到，再结合平方关系算出，结合进一步缩小的范围，再结合平方关系即可求出，由平方差公式即可求解.
【小问1详解】
因为,所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
两边平方，得，
所以，
，即，
因为，所以，
所以，所以，
结合.
19. 已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在上的最小值.
【答案】（1），定义域
（2）
【解析】
【小问1详解】
的图象过点，可得：
解得：
则有：
定义域满足：
解得：
故的定义域为
【小问2详解】
因为
令，
由二次函数的性质可知t在时为递减函数，
故当x=3时，
可得：
20. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①，
②，③供选择.
（1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）
【答案】（1）模型③，理由见解析，
（2）55分钟
【解析】
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.
（2）将代入解析式即可.
【小问1详解】
第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当时，匀速增长；
对于模型二，当时，先慢后快增长；
对于模型三，当时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选.
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：验证模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
21. 已知函数
（1）若关于x的不等式的解集为，求a，的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的两根为，结合韦达定理求出答案；
（2）令，转化为，根据单调性求出的最小值为，得到答案.
【小问1详解】
∵不等式的解集为，则方程的根为，
且，
∴，解得
故；
【小问2详解】
，
故，
令，故，
则，
∵的开口向上，对称轴为，
则在单调递减，在单调递增，
故在处取得最小值，最小值为，
∴，
又，解得，
故实数a的取值范围为.
22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知．
（1）利用上述结论，证明：的图象关于成中心对称图形；
（2）判断的单调性（无需证明），并解关于x的不等式．
【答案】（1）证明见解析
（2）为单调递减函数，不等式的解集见解析.
【解析】
【分析】（1）利用已知条件令，求出的解析式，利用奇函数的定义判断为奇函数，即可得证；
（2）由（1）得，原不等式变成，利用函数的单调性化为含有参数的一元二次不等式，求解即可.
【小问1详解】
证明：∵，令，
∴，即，
又∵，
∴为奇函数，
有题意可知，的图象关于成中心对称图形；
【小问2详解】
易知函数为单调递增函数，且对于恒成立,
则函数在上为单调递减函数，
由（1）知，的图象关于成中心对称图形，即，
不等式得： ，
即，则，
整理得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.