湖北省荆州市重点高中2023-2024学年高一上学期12月学生素养测试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省荆州市重点高中2023-2024学年高一上学期12月学生素养测试数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 欧拉， 下列说法正确的有， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中只有一个选项是符合题目所给的题意的）
1. 有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察数轴，确定的正负，再去绝对值符号即得.
【详解】观察数轴，，因此，
所以.
故选：B
2. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数与下列哪项最接近（ ）（结果精确到，参考数据，，）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正切函数的定义即可求解.
【详解】
依题知，为等腰直角三角形，则，，
则，
在，，即，
故点在尺上的读数约为
故选：C
3. 如图，在菱形中，，，点在边上，且.若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于O，延长交于点F，由三角形全等可得点F满足题意且，过作，垂足为，结合直角三角形分析求解.
【详解】连接交于O，延长交于点F，
因为，可知，
则点F满足题意，且，
过作，垂足为，
由题意可知：，
则，
可得，则，
所以线段的长为.
故选：C.
4. 如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形.若，则这个正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个图形面积相等先求解出的值，然后即可求解出正方形面积.
【详解】左边正方形的面积为，右边长方形的面积为，
所以且，
所以，解得（舍去负值），
所以正方形面积为，
故选：A.
5. 欧拉（L.Euler，1707-1783）是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家.在欧拉的著作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市卖，两人所带鸡蛋个数不相同，但卖得的钱数相同.第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种货币名称）.”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖个克罗索.”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设第一个农妇带了个鸡蛋，根据两人卖得的钱数相同，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出第二个农妇带的鸡蛋个数，再根据各自的叙述列出方程即得.
【详解】由第一个农妇带了个鸡蛋，得第二个农妇带了个鸡蛋，
则按她们的说法，第一个农妇鸡蛋卖得的钱数为，第二个农妇鸡蛋卖得的钱数为，
所以
故选：B
6. 如图，已知，为反比例函数的图象上一点，以为直径的圆的圆心在轴上，与轴正半轴交于，则反比例函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设与轴的另一个交点为，连接，利用勾股定理求出的半径，再利用得到线段的比例关系从而求出点的坐标，代入求出即可.
【详解】设与轴的另一个交点为，连接，如图：
设的半径为，
，
，
在中，，
，
解得，，
，
，
，
，
为反比例函数的图象上一点，
，得，
即反比例函数解析式为.
故选：C.
7. 有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数.为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A. 第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B. 取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C. 取出的两个数乘积不小于20时甲得5分，否则乙得3分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D. 取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，分别求出各个选项中甲、乙包含的的基本事件数量即可得答案.
【详解】画树状图如下：
对于A：由树状图可知，共有种等可能的结果，
其中所确定的点在直线上的点有共个，
所确定的点在直线上的点有共个，
故两种情况下的基本事件个数不一样，即两种情况下概率不一样，选项A符合题意；
对于B：由树状图可知，共有种等可能的结果，
其中两个数乘积大于15的有共8种，
则两个数乘积不大于15的也有8种，
故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项B不符合题意；
对于C：由树状图可知，共有种等可能的结果，
其中取出的两个数乘积不小于20的有共6种，
则取出的两个数乘积小于20的有10种，
，选项C不符合题意；
对于D：由树状图可知，共有种等可能的结果，
其中取出的两个数相加和为奇数的有共8种，
则取出的两个数相加和为偶数的有8种，
故两种情况下的基本事件个数一样，即两种情况下概率一样，选项D不符合题意；
故选：A.
8. 已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据条件求解出的值，然后结合二次函数的图象分析在时，由此求得的取值范围.
【详解】因为的图象与直线有且只有一个公共点，
所以仅有一个解，所以仅有一个解，
所以，所以，
所以即为，
令，
且开口向下，对称轴为，，如下图：
又因为在上的最大值为，最小值为，
由图象可知：，
故选：C.
二、多选题（每小题5分，共20分，在每小题所给的四个选项中有多个选项是符合题目所给的题意的，漏选得2分，选错得0分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 命题“任意两个正数、，且”的否定是“存在两个正数、，或”
B. 已知为全集，“”的充要条件是“”
C. 已知、均为非零实数，则“”是“”的充分不必要条件
D. 已知，为实数，则“”的必要不充分条件是“”
【答案】AB
【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题的否定关系直接得出A；由集合之间的关系得出B；举反例判断C；构造函数利用单调性可判断D.
【详解】A：根据特称命题与全称命题的否定关系直接得出A正确；
B：等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故B正确；
C：举反例.设，，
系数比满足，但它们的解集不同，故不能推出，故C错误；
D：构造函数，则，
因为在上递增，所以，
所以，是的充要条件，故D错误；
故选：AB
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知幂函数在上单调递减，则
B. 函数在定义域内为增函数，则实数的取值范围是
C. 已知，，，则恒成立
D. 已知函数为奇函数，则的图象关于点中心对称
【答案】AC
【解析】
【分析】利用幂函数定义及性质求出判断A；利用分段函数单调性求出范围判断B；作差与0比较判断C；求出函数对称中心坐标判断D.
【详解】对于A，依题意，，解得，A正确；
对于B，依题意，，解得，B错误；
对于C，依题意，
，C正确；
对于D，依题意，，，
即，令，则，，
所以的图象关于点中心对称，D错误.
故选：AC
11. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ）
A. 已知，则函数的最大值为0
B. 已知，，则的最小值为8
C. 已知，，，则的最大值为4
D. 已知，为实数，则的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合基本不等式的“1”的妙用逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，则，
，当且仅当，即时取等号，A错误；
对于B，由，，得，且，
，
当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，由，得，
解得，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，显然要取到最大值，必有，
此时，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选：BC
12. 已知函数，则下列关于的方程的命题正确的有（ ）
A. 存在实数，使得方程恰有1个实根
B. 不存在实数，使得方程恰有2个不等的实根
C. 存在实数，使得方程恰有3个不等的实根
D. 不存在实数，使得方程恰有4个不等的实根
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，，利用图象分别研究，，，，下的根的情况.
【详解】令，，
作出函数，的图象如图：
，
，，
，
当时，，方程无解，即方程无解；
当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；
当时，，解得，此时恰有一个根，即方程恰有一个根；
当时，，，有一个根在内，另一根在内，此时方程恰有两个不等实根；

当时，，，有一个根内，另一根在内，此时方程恰有三个不等实根；

故选：ACD.
三、填空题（4小题，每小题5分，共20分）
13. 若关于的方程的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得方程的根为，其中是方程的两根，分为斜边和为一条直角边两种情况，利用韦达定理计算即可.
【详解】由可得方程的根为，其中是方程的两根，
所以，
当为斜边时，，
解得，不满足，舍去；
当为一条直角边时，设为斜边，则，
即，
解得，满足.
故答案为：.
14. 如下图，分别过点（，2，…，）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点.则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据的纵坐标和的纵坐标的绝对值之和为的长，表示出，然后利用裂项相消法即可求解.
【详解】由已知，
，
故答案为：.
15. 已知，，则__________.（结果用，表示）
【答案】
【解析】
【分析】应用指对互化及对数的运算律及换底公式即可.
【详解】，则，，则，
则，
故答案为：
16. 函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果.
【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，
所以当时，，则，
∴，则，
则等价于，
当时为增函数，则，即对任意恒成立，
设，则，解得，又，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立.
四、解答题（6小题，共70分）
17. 若关于的一元一次不等式组的解集是，求关于的分式方程的非负整数解.
【答案】或2或3
【解析】
【分析】由不等式组的解确定的取值范围，再解分式方程即可得答案.
【详解】由不等式组，解得，而不等式组的解集为，则，
由分式方程，解得且，于是，即且，
又为非负整数且，因此或或，
所以分式方程的非负整数解为0或2或3.
18. 已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值.
【答案】（1）且；
（2）2027.
【解析】
【分析】（1）利用判别式大于0，列出不等式求解即得.
（2）由（1）求出，再利用韦达定理计算即得.
【小问1详解】
依题意，且，解得且，
所以取值范围是且.
【小问2详解】
由（1）知，且，，则，此时方程变为，
于是，又，，即，，
因此，
所以.
19. 如图①，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线对折，点落在点的位置，交于点.

（1）线段与是否相等？请说明理由；
（2）如图②，再折叠一次，使点与点重合，得折痕，交于点，求和长.
【答案】（1），理由见解析
（2），.
【解析】
【分析】（1）通过证明可得结果；
（2）设，，在中利用勾股定理列方程求出，再利用，线段成比例可求出.
【小问1详解】
，
理由：如图①，由对折和图形的对称性可知，，，
在矩形中，，，，，
在和中，，，，
，；
【小问2详解】
如图②，设，，则有：，，，
在中，，，
，即解得：.
，，
又，，，
，即：，解得：，即：，
所求的、长分别为，.

20. 如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点A，间的一个动点（含端点），过点作于点，点，的坐标分别为，，连接，，.
（1）小明探究点的位置发现：当点与点A或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（2）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“特别点”，则存在多个“特别点”，且使的周长最小的点也是一个“特别点”.请直接写出所有“特别点”的个数，并直接写出周长最小时“特别点”的坐标.
【答案】（1）正确，理由见解析
（2）11个“特别点”，
【解析】
【分析】（1）根据题意求抛物线的解析式，设，结合两点间距离公式分析判断；
（2）过点P做轴，垂足为H，设，利用割补法整理得，结合题意分析判断；结合（1）分析可得，可得当P、E、F三点共线时，周长最小.
【小问1详解】
正确，理由如下：
因为边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点A，
则，，
设抛物线解析式为：，则，解得：.
故抛物线的解析式为：；
设，则，
因为，
可得，，
所以.
【小问2详解】
过点P做轴，垂足为H，设，
则，
当时，则；
当时，则
；
当时，则；
当时，则
；
当时，则；
综上所述：，，
当时，取最大值13；
当时，取最小值为4；
所以，
当时，或，即有2个点P；
根据二次函数对称性可知：当且为整数，共有9个；
所以共有11个“特别点”．
当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，的周长最小，
因为，即，
可得，
当P、E、F三点共线时，最小，此时点P，E的横坐标都为4，
将代入得，
即，此时的周长最小．
21. 已知函数的图像关于原点中心对称.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）已知，，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）在上是减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意，可得函数的奇偶性，结合奇函数性质，可得答案；
（2）利用分离常数整理函数，根据单调性的定义，可得答案；
（3）根据函数的奇偶性与单调性，化简不等式，利用分离变量，构造函数，结合不等式有解，可得答案.
【小问1详解】
在定义域上是奇函数，所以，即，
，经检验，当时，原函数是奇函数.
【小问2详解】
在上是减函数，证明如下：
由（1）知，
任取，，设，则，
函数在上是增函数，且，，
又，
，即，
函数在上是减函数.
【小问3详解】
因为是奇函数，从而不等式等价于，
由（2）知在上是减函数，由上式推得，
由题意关于的不等式在有解，
即存在，使得成立，由，
令，，则可设，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
，即的取值范围为.
22. 若函数，且，；
（1）当时，求不等式的解集；
（2）已知函数，
（i）求函数的值域；
（ii）对于区间上的任意三个实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）;（ii）
【解析】
【分析】（1）结合一元二次不等式及指数不等式即可求解；（2）（i）应用换元法结合对勾函数的单调性即可求解；（ii），分当时，；当时，；当时，.
【小问1详解】
由题意：，所以，
故等价于，
令，即，解得或，
又，，，
又，的解集为.
【小问2详解】
（ⅰ），
①当时，令，，
在上单调递增，所以；
②当，令，同理，，
，当时取等号，所以.
的值域为
（ⅱ）由题意：，
①当时，，，.
②当时，，成立，.
③当时，，，.
综上，的取值范围是.