湖北省十堰市六县市区一中教联体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省十堰市六县市区一中教联体2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 直线的倾斜角是， 已知两条直线l1， 已知木盒中有围棋棋子15枚， 已知向量，则下列说法正确的是， 下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程求出直线斜率，由斜率求出直线倾斜角即可.
【详解】设直线的倾斜角为，
由可得，
即直线的斜率为，
由知，，
故选：D
2. 已知向量，，若，分别是平面，的法向量，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】转化为，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解
【详解】由题可知，，则，即.
故选：C
3. 已知两条直线l1：x+m2y+6＝0，l2：(m－2)x+3my+2m＝0，若l1与l2平行，则m＝（ ）
A. －1或3B. －1或0或3C. 0D. －1或0
【答案】D
【解析】
【分析】解方程，再检验即得解.
【详解】因为l1与l2平行，
所以，
,
所以
或或
当时，两直线重合为x+9y+6＝0，与已知不符，所以舍去，
当或时，符合题意.
故选：D
4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.
【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，
依题意可得，，
，
，解得，
.
故选:A.
【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.
5. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，为的中点，若，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为为与的交点，
所以，
故.
故选：B.
6. 已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.
【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件，“是白棋子”记为事件，则，，
两枚棋子恰好不同色包含：
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．
第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率；
第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为．
所以这两枚棋子恰好不同色的概率是．
故选：A．
7. 已知抛物线的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆上，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.
【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C
8. 若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.
【详解】画家曲线得，画出图像如图：

当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以.
当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时.
由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.
故选：D.
二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若⊥，则
C. “”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，求出，利用模长公式求出答案；B选项，根据垂直得到方程，求出；C选项，根据夹角为钝角得到不等式，求出的取值范围，作出判断；D选项，根据投影向量公式求出答案.
【详解】A选项，时，，
故，A正确；
B选项，⊥，故，解得，B错误；
C选项，与的夹角为钝角，则要满足，
解得且，C错误；
D选项，时，则在上投影向量为
，D正确.
故选：AD
10. 下列叙述正确的是（ ）
A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D. 在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A，B；根据概率的基本性质可判断C，D.
【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；
对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B错误；
对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
则甲不输的概率为，C正确；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，
从而所求概率为，D正确．
故选：ACD．
11. 已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为2B. 当P在双曲线左支时，的最大值为
C. 点P到两渐近线距离之积为定值D. 双曲线C的渐近线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】
先利用双曲线方程得到对应的，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD的正误，设，知，结合点到直线的距离公式直接计算点P到两渐近线距离之积得到定值判断C正确；利用双曲线定义将转化成关于的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B的正误.
【详解】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：
本题的解题关键在于突破选项B，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（ ）
A. 的最小值为9
B. 四边形的周长为8
C. 直线，的斜率之积为
D. 若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】先根据椭圆定义得到椭圆，再由均值不等式进行不等式判断，同时应用椭圆定义求解四边形的周长和最小值求解，最后应用对称点特点求解斜率之积即可.
【详解】由题意知对于椭圆，，，，
如图所示，
，
对于A，与椭圆交于，两点，
所以关于原点对称，而也关于原点对称，
所以，，
所以
，
当且仅当即，时等号成立，A错误；
对于B， ，，
故四边形的周长为，B正确；
对于C，设，则，而，
故，
又因在椭圆上，即，
化简可得，所以，C正确；
对于D，由于点为椭圆上的一个动点，所以，
所以，所以，
当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
又因为，所以，
所以的最小值为，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：圆锥曲线的解决很多时候关键在于善于应用圆锥曲线的定义，借助定义解决不等式或者焦点三角形的相关问题会更加直接和简洁.
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
【答案】或
【解析】
【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解
【详解】当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则有，解得，
故直线方程为，即，
综上所述，所求直线方程为或．
故答案为：或．
14. 记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用表示出已知的等量关系，解方程组求得后，利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由得：，解得：，.
故答案为：.
15. 如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面和侧面展在同一个平面，连接，求出的长度即可.
【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为，所以与棱不相交，所以不合题意，
若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，
过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，
因为，点分别是棱的中点，
所以，，，
所以，
所以,
所以，
故答案为：
16. 已知，分别为双曲线左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合平面几何性质得到，进而结合勾股定理求得，然后根据直线与圆有公共点得到，从而得到的齐次式，进而解不等式即可求出结果.
【详解】
过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以，故离心率的最大值为，
故答案为：.
四､解答题
17. 在等差数列中，已知 且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；
（2）由裂项相消求和法即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得,
,；
【小问2详解】
解：，.
18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.
（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
19. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为四个等级，最终的考核情况如下表：
（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为或的概率；
（2）已知等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有等级的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.
【小问1详解】
由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为或的概率为．
【小问2详解】
由题知，抽取的5名学生中成绩为等级的人数分别为1，4，
记这5人分别为，从中抽取2人的样本空间为，
共10个样本点，其中有等级的样本点有，共4个，
所以这2人中有等级的概率为．
20. 在直角坐标系xOy中，直线交x轴于M，以O为圆心的圆与直线l相切.
（1）求圆O的方程；
（2）是否存在定点S，对于经过点S的直线L，当L与圆O交于A，B时，恒有？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用直线与圆相切及点线距离公式求圆O的半径，写出圆的方程即可.
（2）讨论直线斜率存在或不存在两种情况，斜率存在时设且，，联立圆的方程并应用韦达定理求、、，由题设易知即可求的关系，进而可判断是否过定点.
【详解】（1）若圆O的半径为，则，
∴圆O的方程为.
（2）由，由（1）知：且直线与圆O的切点坐标为，
如下图：
若直线斜率存在时，设且，，
联立直线与圆O，整理可得：，且
∴，，则，
又，，，
∴，可得符合题设，
∴直线过.
若直线斜率不存在时，易知当直线为时也过定点；
综上，直线L必过定点.
21. 如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？
【答案】（1）证明见解析
（2）存在
【解析】
【分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求得的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：在中，，，，
，，所以，
又，，，
在中，由正弦定理得，，
，所以，，，
，，平面，
平面，所以，平面平面.
【小问2详解】
解：因为，，，
在中，由余弦定理可得，
，则，
因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取可得，
设，其中，
则，
由已知可得，
整理可得，因为，解得，
因此，当点为线段的中点时，直线与平面所成角的正弦值等于.
22. 已知C为圆的圆心，P是圆C上的动点，点，若线段MP的中垂线与CP相交于Q点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹N的方程；
（2）过点的直线l与点Q的轨迹N分别相交于A，B两点，且与圆O：相交于E，F两点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由线段的垂直平分线，得到，结合椭圆的定义，即可求解；
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，分别求得；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，结合弦长公式，求得和，进而求得的值.
【小问1详解】
解：由线段的垂直平分线，可得，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
所以，，则，
所以椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
则，，，，
所以，，．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，
则，，
所以，
因为圆心到直线l的距离，
所以，
所以，
因为，所以，等级
人数
10
40
40
10