山东省泰安市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省泰安市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，满足，则实数值是（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列中中，，，则（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 14
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，则数列的最大项是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
8. 已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 空间中三点是坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 点关于平面对称的点为D. 与夹角的余弦值是
10. 下列四个命题正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量是
B. 设直线过点，则这条直线的方程可以写成
C. 直线与圆相交
D. 圆与圆恰有三条公切线
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（ ）
A. 若，则
B. 若点的坐标为，则的最小值为4
C.
D. 若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
12. 已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A. 为递增数列B. 为等差数列
C. 当取得最大值时，D. 当时，d的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
14. 直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.
15. 如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）与所成角的正切值是；
（2）的体积是；
（3）；
（4）平面平面；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.
其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列中，
（1）已知，，求与；
（2）已知，求.
18. 已知圆的圆心为，且与轴相切.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，，求的值.
19. （1）已知数列满足，.
①证明：数列等差数列；
②求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的通项公式.
20. 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
21. 如图，在三棱锥中，侧面等边三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
22. 如图，椭圆焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.
泰安二中高二上学期12月月考数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，满足，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】由已知条件得出，解得.
故选：D
2. 在等差数列中中，，，则（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件利用等差数列性质计算即可得解.
【详解】在等差数列中中，，则，于是得，
所以.
故选：C
3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率结合即可求解.
【详解】由题意知离心率，且双曲线，所以，，
所以双曲线为，所以渐近线方程为，故C正确.
故选：C.
4. 设，则数列的最大项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数性质求解．
【详解】，
∵，
∴时，．
故选：B.
【点睛】本题考查数列中的项的最值．数列作为特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是要注意作为函数其自变量取值是正整数．
5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．
【详解】因为，
所以，
则点到直线的距离为.
故选：C.
6. 首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析，，从而求解.
【详解】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数，
所以，即，解得，故D正确.
故选：D.
7. 以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意, 以 为焦点的抛物线的准线y=代入双曲线,可得，
∵△MNF为正三角形，
∴，
∵p>0,∴，
∴抛物线C的方程为，
故选C.
8. 已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意，时，，
综上，，
题设不等式为，整理得，
记，则，
当时，，，时，，，
所以是中的最大值，，
所以．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 空间中三点是坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 点关于平面对称的点为D. 与夹角的余弦值是
【答案】AB
【解析】
【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定.
【详解】由题意可得：，，
所以，故A正确；
，即，故B正确；
点关于平面对称的点为，故C错误；
，故D错误.
故选：AB
10. 下列四个命题正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量是
B. 设直线过点，则这条直线的方程可以写成
C. 直线与圆相交
D. 圆与圆恰有三条公切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的方向向量、直线方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，直线的斜率是，
所以一个方向向量是，A选项错误.
B选项，直线过点，
则，
所以直线方程可化为，
即，所以B选项正确.
C选项，圆的圆心为，半径为，
到直线的距离，
所以直线与圆相交，C选项正确.
D选项，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距，所以两圆外切，
所以圆与圆恰有三条公切线，D选项正确.
故选：BCD
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（ ）
A. 若，则
B. 若点的坐标为，则的最小值为4
C.
D. 若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条
【答案】AC
【解析】
【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线方程为，所以，焦点，准线方程.
A选项，若，则，A选项正确.
B选项，点在抛物线内，
根据抛物线的定义可知的最小值是到准线的距离，
即最小值，所以B选项错误.
C选项，设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
则，
所以，
所以C选项正确.
D选项，直线和直线都过，且与抛物线有一个公共点，
当过的直线斜率存在时，设直线方程为，
由消去并化简得，
由，解得，
所以直线与抛物线有一个公共点，
所以满足条件的直线有条，D选项错误.
故选：AC
【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解.
12. 已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（ ）
A. 为递增数列B. 为等差数列
C. 当取得最大值时，D. 当时，d的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.
【详解】对A，，即，，
即，，则，而，故，
故为递减数列，故A错误；
对B，设的首项为，则，
，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；
对C，由A知，即，则，而，即，
则，而，当取得最大值时,，故C错误；
对D，当时，由A知，，即，
即，解得，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】表示点与点的距离，由圆的性质可求．
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆心到点距离为，
∴所求最大值为．
【点睛】设圆的半径为，圆心到平面上一点的距离为，则圆上的点到点距离的最大值为，最小值为．
14. 直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标.
【详解】设直线与双曲线的交点为，
联立方程组，整理得，则，且，
设弦的中点为，则，代入直线方程可得，
所以截得弦的中点坐标为.
故答案为：.
15. 如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：
（1）与所成角的正切值是；
（2）的体积是；
（3）；
（4）平面平面；
（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.
其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】
【分析】由，所以（或补角）为与所成的角，可判定（1）正确；由锥体的体积公式，结合，可判定（2）正确；由，结合与不平行，可判定（3）不正确；证得平面，结合面面垂直的判定定理，可判定（4）正确；由平面，在中，结合，可判定（5）正确.
【详解】如图所示，由点在面上的射影为点，且
可得平面，且，
（1）中，由，所以（或补角）为与所成的角，
因为，所以，所以，
所以，所以（1）正确；
（2）中，由正方形的边长为，平面，且，
所以，所以（2）正确；
（3）中，在正方形中，可得，
又因为与相交，所以与不平行，所以（3）不正确；
（4）中，因为平面，平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，所以（4）正确；
（5）中，因为平面，所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
所以（5）正确.
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在等差数列中，
（1）已知，，求与；
（2）已知，求.
【答案】（1），
（2）24
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，
由，，可得，解得
所以公差的值为3，的值为.
【小问2详解】
解：由是等差数列，因为，解得
所以，故的值为24.
18. 已知圆的圆心为，且与轴相切.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出圆半径，即可得出答案.
（2）先利用余弦定理求出，从而利用勾股定理可得圆心到直线的距离；再根据点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，得出关于的方程即可求解.
【小问1详解】
因为圆的圆心为，且与轴相切，
所以圆的半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
因为，，
所以在中，由余弦定理可得：.
所以圆心到直线的距离，
即，解得.
19. （1）已知数列满足，.
①证明：数列是等差数列；
②求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】（1）①证明见解析；② （2）
【解析】
【分析】（1）①证根据题意，化简得到，结合等差数列定义，即可得证；
②根据等差数列的通项公式，即可求得的通项公式；.
（2）根据题意，求得，结合累加法，即可求得数列的通项公式.
【详解】（1）①证明：根据题意，数列满足，
等式两边除以，可得，即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
②因为数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由数列满足，可得，
可得，
当时，可得，
又因为，适合上式，
所以数列的通项公式.
20. 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；
（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.
小问1详解】
根据题意，，则，故抛物线方程为：.
【小问2详解】
显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，
联立抛物线方程可得：，时，
设两点的坐标分别为，则，，
由题可知，，即，解得，此时满足，
故直线恒过轴上的定点.
21. 如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明详见解析
（2）存在，且是线段上，靠近点的三等分点.
【解析】
【分析】（1）设是的中点，通过证明平面来证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据平面与平面的夹角求得点的位置.
【小问1详解】
设分别是的中点，连接，
则，由于，所以，
由于三角形是等边三角形，所以，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）可知平面平面，
以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，则，
所以，
，设，
平面的一个法向量是，
，
设平面的一个法向量是，
则，
故可设，
若平面与平面的夹角为，
则，即，
解得（负根舍去），
则，，
所以是线段上，靠近点的三等分点.
22. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果；
（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，，，故椭圆的方程为；
【小问2详解】
依题意设直线的方程为，，
联立方程组，消元得：，
，，
由得：，两边同除，，
即；将代入上式得：
整理得：所以或（舍），
当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.