四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（ ）
A. 12，18，15B. 20，40，30C. 25，35，30D. 24，36，30
2. 已知向量，且，其中，则（ ）
A. 4B. －4C. 2D. －2
3. 如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
4. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 圆与直线位置关系
A. 相切B. 相离C. 相交D. 不能确定
6. 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A. 3B. 3或7C. 5D. 7
7. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
8. 已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C是圆
B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D. 曲线C可以是抛物线
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A. 与互斥B.
C. D. 与相互独立
11. 已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A. B. 直线过定点
C. 的最小值为D. 的最小值为2
12. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）

A. 与所成角为
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 平面
D. 若，则三棱锥体积最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______．
14. 数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______．
15. 已知点在曲线上运动，则的最大值为__________．
16. 双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中值及这20名学生得分的80%分位数；
（2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率
18. 已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为中点.

（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知过点的直线与双曲线交于.
（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积.
21. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
22. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
成都列五中学2023-2024学年度（上）阶段性考试（三）
高2022级 数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（ ）
A. 12，18，15B. 20，40，30C. 25，35，30D. 24，36，30
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出抽样比，根据抽样比求高一､高二､高三被抽到的住校生人数即可.
【详解】三个年级的住校生一共有人，
∴抽样比为，故三个年级抽取的人数分别为，，.
故选：D.
2. 已知向量，且，其中，则（ ）
A. 4B. －4C. 2D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】由两向量的横坐标可以看出，，则可得到的值.
【详解】由，设，则有
，可解得，，
所以.
故选：B.
3. 如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.
【详解】在空间四边形中，，点为的中点，
则
.
故选：B
4. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量，利用夹角公式，可得答案.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
由分别为的中点，则，，
取，，设异面直线与的夹角为，
.
故选：C.
5. 圆与直线的位置关系
A. 相切B. 相离C. 相交D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】据题意，先求出直线过定点（1,1），再判断出点与圆的位置关系，可得直线与圆的位置关系.
【详解】直线化简为

易知直线过定点(1,1)
而 知点在圆内
直线与圆相交.
故选：C.
【点睛】本题目考查直线过定点的问题以及点与圆的位置关系，注意没必要联立方程解方程组，然后用判别式来求解，这样子运算量较大，属于中档题.
6. 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A. 3B. 3或7C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.
【详解】由题意可知，,，
则，
所以或，
又因为,
所以，
故选：D.
7. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线：焦点为，准线的方程为，
如图，过作于，
由抛物线的定义可知，所以
则当三点共线时，最小为.
所以的最小值为.
故选：C.
8. 已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，设直线、分别与圆切于点A、B，，根据题意得到，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到，再结合，得到的离心率的取值范围．
【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，

∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C是圆
B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D. 曲线C可以是抛物线
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，
半径为的圆，所以A选项正确.
B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.
C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.
D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，
所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.
故选：AC
10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A. 与互斥B.
C. D. 与相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项.
【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示：
共有种，
表示事件“两次掷出的点数相同”, 表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误；
“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数”
，故B正确；
表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种： ，故C正确；
事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；，
事件“两次掷出的点数相同”共6种：，
表示事件“两次为相同的偶数”共3种： ，
即，与相互独立，故D正确.
故选：BCD
11. 已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（ ）
A. B. 直线过定点
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线的方程为联立直线和抛物线方程并消去，利用韦达定理可求得，在把转化为坐标，可求得，并进一步计算可判定直线所过的定点，继而判断出;利用三角形面积公式,进一步计算即可求出最小值，可判断;根据，把变化为，展开利用基本不等式即可判定
【详解】设直线的方程为
联立，得，
则，
又，则
即所以，(舍），，
则即，所以直线的方程为
则直线过定点，故正确；
，当时，等号成立，
即的最小值为，故错误；
因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，故正确.
故选：
12. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）

A. 与所成角为
B. 平面截正方体所得截面的面积为
C. 平面
D. 若，则三棱锥的体积最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，如图建立以A为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B；利用线线平行可得线面平行判断C，求得P的轨迹方程可求得三棱锥的体积最大值判断D.
【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，
∴，，，
对A选项，，
则直线与所成角为，故A错误；
对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点的中点，的中点，连接，延长一定与交于一点，所以四点共面，同理可证四点共面，
则过点作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，
则正六边形的面积为，故B正确.
由正方体，可得，
∵分别为的中点，∴，
∴平面平面，
∴平面，故C正确；
如图，面，又面，故，同理，

又，
根据题意可得，设，
又，
∴，整理得，
∴在正方形面内(包括边界)，是以为圆心，半径的圆上的点，

令，可得，
∴当为圆与线段的交点时，到底面的距离最大，最大距离为，
∴三棱锥的体积最大值是，故D正确.
故选:BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解．
【详解】甲乙两射手的射击相互独立，
甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：
甲乙二人都没有射中目标，
∴目标被射中的概率为．
故答案为：．
14. 数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知数据的平均数和方差，利用性质，求出所求数据的平均数和方差.
【详解】数据，，，的平均数为6，
数据，，，平均数,
数据，，，的方差为4，
数据，，，的方差,
.
故答案为：.
15. 已知点在曲线上运动，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解.
【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，
如图，

在上半圆上，表示点与连线的斜率，
由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，
设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，
因此，解得（由图舍去），
所以的最大值为.
故答案为：
16. 双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意分析交点，的分布情况，利用正余弦定理求出和的关系，进而求出离心率.
【详解】不妨设双曲线的标准方程为，
则，，，
由题意知，切线与双曲线的交点，的分布可以是在双曲线的两支和双曲线的一支两种情况：
设过的直线与圆相切于点，
则在中，，，，
①当，两点位于双曲线的一支时，
，且点的位置如图所示，
在中，由正弦定理得，
，
，
，，
在中，，
即，
化简得，即；
②当，两点位于双曲线的两支时，
，且点位于双曲线的右支，如图所示，
在中，由正弦定理得，
，
，，
在中，，
即，
化简得，即.
综上，的离心率或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值及这20名学生得分的80%分位数；
（2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由直方图知，求解可得；设分位数为.由前3组的频率之和为0.65 ，前4组的频率之和为0.9 ，可得；
（2）由已知可得：得分在内的人数为，记为，得分在内的人数为，记为，从而利用列举法，结合古典概型概率公式即可求解.
【小问1详解】
由直方图知，
.
设分位数为. 前3组的频率之和为0.65 ，前4组的频率之和为0.9 .
，且.
故这20名学生得分的分位数为.
【小问2详解】
由已知可得：得分在内的人数为，
得分在内的人数为.
记得分在内的学生为，得分在内的学生为.
则所有的样本点为： ，
，共15个，
其中恰有1人的得分在内的样本点为：
, ，共8个，
故这2人中恰有1人的得分在内的概率.
18. 已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）配方后得到圆心为，利用x－y+1=0过圆心，求出，进而得到圆的标准方程；
（2）根据弦长公式得到圆心到直线的距离，分直线斜率不存在和存在两种情况，进行求解直线的方程
【小问1详解】
配方得：，所以圆心为，因为圆上存在关于x－y+1=0对称的两点，所以x－y+1=0一定经过圆心，即，解得：，所以圆的标准方程为
小问2详解】
设圆心到直线距离为，由圆的弦长公式得，解得，
①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意；
②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得，
所以直线的方程为；
综上，直线方程为或
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点.

（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，利用平行的传递性构建平行四边形，证得，则直线平面可证.
（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面法向量，直线的方向向量，利用点到平面的距离公式计算即可.
【小问1详解】
证明：取中点，

点均为中点，，
又正方形中，，
四边形为平行四边形，，
又平面平面，
直线平面；
【小问2详解】
因为平面为正方形，且底面，
所以两两互相垂直，
所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系，

则有
可得，
设平面法向量为，
则有，即，
令，得，
所以点到平面的距离.
则点到平面的距离为.
20. 已知过点的直线与双曲线交于.
（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；
（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积.
【答案】（1）
（2），12
【解析】
【分析】（1）设所求双曲线为，将代入即可求解.
（2）利用点差法求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可求解.
【小问1详解】
设所求双曲线为，
点代入得
【小问2详解】
设，，，，点在双曲线上
所以，
相减得，即
所以所求的直线的方程为
设，，，，
则由得
所以，
代入的
所以.
21. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点是线段的中点
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【小问1详解】
证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
【小问2详解】
过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以点是线段的中点.
22. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）根据题意列式化简方程即可；
（2）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可
【小问1详解】
由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，即，化简得，故曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意可得，直线的方程分别为，设.
由直线与圆相切可得
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以，，
因为是曲线上的一动点，所以，
则有，
联立方程，所以，
所以，同理
所以，
因为，所以，
所以.
第二次
第一次
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6