山东省德州市齐河县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山东省德州市齐河县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，计算题，证明题，作图题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．x2· x2=2x4B．（-2a）-3 =6a3C．（a3）2=a6D．m3÷m3=m
3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线B．角平分线C．高D．线段的垂直平分线
4．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
5．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝25°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于D，连接AD，则∠BAD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．75°
7．要使x2+kx+是完全平方式，那么k的值是（ ）
A．k=±1B．k=1C．k=-1D．k=
8．如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
9．已知，xy＝3，则等于（ ）
A．25B．－25C．19D．－19
10．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：
①；②；③．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
11．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（ ）
A．﹣=100B．﹣=100
C．﹣=100D．﹣=100
12．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．15B．12C．13D．10
二、填空题
13．若点，则点关于轴对称的点为 ．
14．如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB．你补充的条件是 ．
15．计算，则，=
16．若一个多边形的内角和与外角的比是4∶1，则这个多边形是
17．若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为 ．
18．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为 ．
三、解答题
19．因式分解：
(1)ab-a3b
(2)（x+1）（x-3）+4
20．解方程：
(1)．
(2)
四、计算题
21．先化简，再求值（1﹣）÷，其中a＝﹣2．
五、证明题
22．已知：如图，∠B＝∠C＝90°， AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．
六、作图题
23．如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ；
（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．
七、解答题
24．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
(2)试说明：．
25．某农场为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
八、证明题
26．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义和图案特点即可解答．
【详解】A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，解题关键在于掌握其定义和识别图形.
2．C
【分析】根据整式的除法、同底数幂的乘除运算法则即可得出答案
【详解】A：，故A错误，不符合题意
B：，故B错误，不符合题意
C：，故C正确，符合题意
D：,故D错误，不符合题意
故选C
【点睛】此题考查同底数幂的除法与乘法、负指数幂的运算法则，熟记相应的运算法则是解题关键．
3．A
【分析】根据三角形的中线的性质解答即可．
【详解】解：三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分解答．
4．B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，
【详解】A、x2－5x＋6＝x(x－5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，是因式分解，故本选项符合题意；
C、(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≠(x＋2)(x＋3)，故本选项不符合题意；
故选B
5．A
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】由题意得：，且≠0，
∴x=2，
故选A．
【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
6．B
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，利用线段垂直平分线的性质得DA＝DC，所以∠DAC＝∠C＝25°，则根据三角形外角性质计算出∠ADB，然后利用三角形内角和计算∠BAD的度数．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝25°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝25°＋25°＝50，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．
7．A
【分析】根据完全平方式进行求解即可．
【详解】解：∵x2+kx+是完全平方式，
∴ ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．
8．D
【分析】过点D作DG⊥AC于G，先根据等角对等边求出DE=AE=8，再由三角形外角的性质求出∠DEC=30°，即可推出DG=4，由平行线的性质得到∠BAC=30°，可推出∠BAD=∠DAC，再由角平分线的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥AC于G，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠ADE+∠DAE=30°，AE=DE=8，
∴，
∵DEAB，
∴∠BAC=∠DEG=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=15°，
∴∠BAD=∠DAC，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG=4，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．C
【分析】根据完全平方公式的变形，即可解答．
【详解】解：∵，xy＝3，
∴＝（x＋y）2−2xy＝52−2×3＝25−6＝19，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
10．A
【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用AAS证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等，
∴现有条件不能够证明，故③错误；
综上，正确的是①②．
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
11．B
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【详解】解：科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
﹣=100，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
12．C
【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案
【详解】如图：
是等边三角形
，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P，
为最小值
，





故答案选C
【点睛】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．
13．
【分析】根据关于y轴对称点的特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数计算即可；
【详解】∵点，
∴点关于轴对称的点为；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的特征，准确计算是解题的关键．
14．∠A=∠C或∠ADO=∠CBO
【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和对角相等，所以只要再添加一组对应角相等即可．
【详解】添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADO=∠CBO根据AAS判定△AOD≌△COB，
故答案为：∠A=∠C或∠ADO=∠CBO．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．32
【分析】将16转换为，再进行同底数幂乘法的运算，代入已知条件求解．
【详解】．
故答案为：32.
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解决本题的关键是将16转换为，实现同底数幂相乘的条件．
16．
【分析】多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的，从而可代入公式求解．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得：
，解得：．
故答案为．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．
17．m＞-10且m≠-6
【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．
【详解】解：＝+5，
3x＝-m+5（x-2），
3x＝-m+5x-10，
3x-5x＝-m-10，
-2x＝-m-10，
x＝，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
∴m≠-6．
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴m＞-10．
∴m的取值范围为：m＞-10且m≠-6．
故答案为：m＞-10且m≠-6．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．
18．3或7．
【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长．
【详解】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB，
∴PE＝PN，
∵PE＝PN，OP＝OP，
∴△OPE≌△OPN（HL），
∴OE＝ON＝5，
∵OM＝3，ON＝5，
∴MN＝2，
若点D在线段OE上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
若点D在射线EA上，
∵PM＝PD，PE＝PN，
∴△PMN≌△PDE（HL），
∴DE＝MN＝2，
∴OD＝OE+DE＝7．
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键．
19．(1)
(2)（x+2）2
【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可
（2）先将原式进行整式的混合运算计算，然后利用完全平方公式进行因式分解即可
【详解】（1）原式
（2）原式

【点睛】本题考查利用提公因式法进行因式分解、平方差公式的运用，掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键．
20．(1)x=-3
(2)无解
【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解方程即可求解，注意最后要检验；
（2）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解方程即可求解，注意最后要检验；
【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母，得，
，
即，
解得，
检验：将代入，
是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母，得，
解得
检验：将代入
是原方程的增根
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
21．，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．详见解析
【分析】运用定理证明直角三角形全等即可．
【详解】∵BE=CF，∴BF=CE
在与中：
∴
∴AB =DC
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握定理是解题关键．
23．（1）见解析；（2）3.5；（3）见解析
【分析】（1）依据轴对称的性质，首先确定A、B、C三点的对称点位置，再连接即可；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积；
（3）依据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，连接AC′，与MN的交点位置就是点P的位置．
【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）△A'B'C'的面积：
3×3-×1×3-×2×3-×1×2=9-1.5-3-1=3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
24．(1)，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）先根据角的和差关系得出，证明根据全等三角形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的性质和垂直定义解答即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
，
，
即，
又，
；
（2）证明：∵
∴，
又，
，
∴DC⊥BE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
25．(1)这项工程的规定时间是30天；
(2)该工程的施工费用为180000元．
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得x=30，
经检验x=30是方程的解，
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）解：该工程由甲、乙合做完成，所需时间为：
，
则该工程的施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元），
答：该工程的施工费用为180000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
26．（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．