2022-2023学年山东省德州市平原县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州市平原县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知x=m是一元二次方程x2−x−2=0的一个根，则代数式2m2−2m+2022的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
3.已知函数y=(m+1)xm2−2是反比例函数，则m的值为( )
A. 1B. −1C. 1或−1D. 任意实数
4.如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图(单位cm)，将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是cm．( )
A. 10
B. 18
C. 20
D. 22
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx+b2a与反比例函数y=abx在同一坐标系内的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE=60°，AB=4，CD=1，AE=( )
A. 3
B. 154
C. 72
D. 134
7.下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，P为正方形ABCD内一点，PC=1，将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE，则PE的长是( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
9.新定义，若关于x的一元二次方程：a1(x−m)2+n=0与a2(x−m)2+n=0，称为“同族二次方程”.如2(x−3)2+4=0与3(x−3)2+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程：2(x−1)2+1=0与(a+2)x2+(b−4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式ax2+bx+2022能取得的最小值是( )
A. 2015B. 2017C. 2022D. 2027
10.在△ACB中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上.若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是( )
A. 50B. 75C. 100D. 125
12.如图，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BD上一点，且CE=4BE，连接EF、CF，设BF的长为x，EF+CF=y，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是( )
A. 35
B. 12 55
C. 4 2
D. 5 32
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是______．
14.白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有______个飞机场．
15.《墨子⋅天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB=2：1，则四边形A′B′C′D′的外接圆的周长为______．
16.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为______ cm2．
17.如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A=∠C=90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，则点C的横坐标为______．
18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，其图象经过点A(2,0)，坐标原点为O．
①若b=−2a，则抛物线必经过原点；
②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
③若抛物线与x轴交于点B(不与A重合)，交y轴于点C且OB=OC，则a=−12；
④点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若当x1>x2>−1时，总有y1>y2，则8a+c≤0．
其中正确的结论是______(填写序号)．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.某中学九年级(1)班为了了解全班学生的兴趣爱好情况，采取全面调查的方法，从舞蹈、书法、唱歌、绘画等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择其中一种自己喜欢的兴趣项目)，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)九年级(1)班的学生人数为______，并将图①中条形统计图补充完整；
(2)图②中表示“绘画”的扇形的圆心角是______度；
(3)“舞蹈”兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的舞蹈队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
20.“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
(1)计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．
(2)按(1)中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
(3)疫情期间，该药店进货3000包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了500包后，又打9折销售，全部售完，这批3000包的N95口罩所获利润为多少元？
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
解方程
(1)3x2−8x+4=0；
(2)(2x−1)2=(x−3)2
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图像交于点C，连接OC.已知点B(0,4)，△BOC的面积是2．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
23.(本小题8分)
如图，在△ACD中，DA=DC，点B是AC边上一点，以AB为直径的⊙O经过点D，点F是直径AB上一点(不与A、B重合)，延长DF交圆于点E，连接EB．
(1)求证：∠C=∠E；
(2)若AE=BE,∠C=30°,DF=3 2，求AD的长．
24.(本小题8分)
如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当0≤y≤4时，请直接写出x的取值范围；
(3)点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标．
25.(本小题8分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
(1)问题发现当α=0°时，CEBD=______；β=______°.
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c0，b>0，c0，抛物线开口向上；当a0，
∴a= 2−1，
∴OF=2+ 2−1= 2+1，即点C的横坐标为： 2+1．
故答案为： 2+1
△OAB是等腰直角三角形，点A在反比例函数y=1x图象上，可以求出点A的坐标，△BCD是等腰直角三角形，点C都在反比例函数y=1x图象上，可以表示点C的坐标，求出待定的常数，进而确定点C的横坐标的值．
考查等腰三角形、直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，设未知数，表示出点的坐标，代入求出未知数的值，进而确定点的坐标是常用的方法．
18.【答案】①②④
【解析】解：①∵b=−2a，
∴对称轴为直线x=−b2a=1，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象经过点A(2,0)，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象经过原点，
故①符合题意；
②∵抛物线过点A(2,0)，
∴4a+2b+c=0，即c=−(4a+2b)，
∴Δ=b2−4ac=b2−4a[−(4a+2b)]=b2+16a2+8ab=(b+4a)2，
∵c≠4a，
∴4a≠−4a−2b，
∴b+4a≠0，
∴Δ=(b+4a)2>0，
∴抛物线与x轴一定有两个不同的公共点，
故②符合题意；
③当x=0时，y=c，
∴C(0,c)，
∴OC=|c|，
∵OB=OC，
∴B(c,0)或(−c,0)，
令y=0，则ax2+bx+c=0，
当B(c,0)时，2c=ca，
∴a=12；
当B(−c,0)时，−2c=ca，
∴a=−12；
综上所述：a的值为12或−12，
故③不符合题意；
④∵4a+2b+c=0，
∴2b=−c−4a，
∵当x1>x2>−1时，总有y1>y2，
∴在x>−1时，y随x值的增大而增大，
∴−b2a≤−1，且a>0，
∴b≥2a，此时−c−4a≥4a，
∴8a+c≤0；
故④符合题意；
故答案为：①②④．
①根据函数图象的对称性能够判断出函数经过原点；②利用判别式判断函数与x轴的交点情况；③确定B点坐标后，可知函数与x轴的两个交点，再利用一元二次方程根与系数的关系进行判断即可；④利用函数的增减性确定a>0，再由对称轴与−1的关系建立不等关系，结合点A进一步求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，判别式与函数图象与x轴交点的关系是解题的关键．
19.【答案】(1)40人；
条形统计图补充为：
(2)72；
(3)画树状图如下：
共12种等可能的结果数，其中选出的2名学生恰好是1男1女的结果数为6，
所以选出的2名学生恰好是1男1女的概率=612=12．
【解析】解：(1)12÷30%=40(人)，
所以九年级(1)班的学生人数为为40人；
故答案为：40；
爱好“绘画”的人数为40−4−12−16=8(人)，
条形统计图见答案；
(2)绘画”的扇形的圆心角的度数为840×360°=72°；
故答案为：72；
(3)见答案．
(1)用爱好书法的人数除以它所占的百分比可得到全班人数，再计算出爱好绘画的人数，然后补全条形统计图；
(2)用爱好绘画的人数所占的百分比乘以360°可得到扇形统计图中“绘画”的扇形的圆心角的度数；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选出的2名学生恰好是1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】解：(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，
依题意，得：y−x=167x=3y，
解得：x=12y=28．
答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12−m)元，日均销售量为(120+20m)包，
依题意，得：(12−m−8)(120+20m)=320，
整理，得：m2+2m−8=0，
解得：m1=2，m2=−4(不合题意，舍去)，
∴12−m=10．
答：此时普通口罩每包的售价为10元．
(3)由题意得，这批3000包的N95口罩所获利润为2500×28×0.9−3000×20=3000(元)．
答：这批3000包的N95口罩所获利润为3000元．
【解析】(1)设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，根据“N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为(12−m)元，日均销售量为(120+20m)包，根据每天的利润=每包的利润×日均销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(3)根据利润=销售收入−进货成本，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)根据各数量之间的关系列式计算．
21.【答案】解：(1)3x2−8x+4=0，
(3x−2)(x−2)=0，
∴3x−2=0或x−2=0，
∴x1=23，x2=2；
(2)(2x−1)2=(x−3)2，
(2x−1)2−(x−3)2=0，
(2x−1+x−3)(2x−1−x+3)=0，
∴3x−4=0或x+2=0，
∴x1=43，x2=−2．
【解析】(1)利用因式分解法解方程；
(2)先移项，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=2x+b的图象过点B(0,4)，
∴b=4，
∴一次函数为y=2x+4，
∵OB=4，△BOC的面积是2．
∴12OB⋅xC=2，即12×4⋅xC=2，
∴xC=1，
把x=1代入y=2x+4得，y=6，
∴C(1,6)，
∵点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=1×6=6；
(2)把y=0代入y=2x+4得，2x+4=0，解得x=−2，
∴A(−2,0)，
∴OA=2，
∴S△AOC=12×2×6=6．
【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
(1)由点B(0,4)在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
(2)根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，
∴∠A=∠C，
∵∠A=∠E，
∴∠C=∠E．
(2)解：作FH⊥AD于H，连接OE，

∵AE=BE，
∴OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠ADF=12∠AOE=45°，
∵FH⊥AD，
∴∠FHD=90°，
∵DF=3 2，
∴HF=HD=3，
∵∠A=∠C=30°，FH=3，∠AHF=90°，
∴AH= 3FH=3 3，
∴AD=AH+DH=3 3+3．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠A=∠C，根据圆周角定理得出∠A=∠E，据此即可得解；
(2)作FH⊥AD于H，连接OE.只要证明△DFH是等腰直角三角形即可解决问题．
本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24.【答案】解：(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+4得：
9a−3b+4=0a+b+4=0，
解得a=−43b=−83，
∴二次函数的解析式为y=−43x2−83x+4；
(2)如图：

在y=−43x2−83x+4中，令y=4得：4=−43x2−83x+4，
解得x=0或x=−2；
∵A(−3,0)、B(1,0)，
∴当0≤y≤4时，x的取值范围是−3≤x≤−2或0≤x≤1；
(3)在y=−43x2−83x+4中，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
设D(m,−43m2−83m+4)，
又A(−3,0)，
∴AC2=25，CD2=m2+(−43m2−83m)2，AD2=(m+3)2+(−43m2−83m+4)2，
∵∠ACD=90°，
∴AC2+CD2=AD2，
∴25+m2+(−43m2−83m)2=(m+3)2+(−43m2−83m+4)2，
∴25+m2+(−43m2−83m)2=m2+6m+9+(−43m2−83m)2+8(−43m2−83m)+16，
解得m=0(舍去)或m=−2316，
∴点D的横坐标为−2316．
【解析】(1)把A(−3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+4，用待定系数法可得二次函数的解析式为y=−43x2−83x+4；
(2)在y=−43x2−83x+4中，令y=4得x=0或x=−2；而A(−3,0)、B(1,0)，由图可知当0≤y≤4时，x的取值范围是−3≤x≤−2或0≤x≤1；
(3)求出C(0,4)，设D(m,−43m2−83m+4)，可得AC2=25，CD2=m2+(−43m2−83m)2，AD2=(m+3)2+(−43m2−83m+4)2，根据∠ACD=90°，知AC2+CD2=AD2，即25+m2+(−43m2−83m)2=(m+3)2+(−43m2−83m+4)2，即可解得点D的横坐标为−2316．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】解：(1) 2；45 ；
(2)结论：CEBD和β的大小无变化．
理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
∵AE= 2AD，AC= 2AB，
∴AEAD=ACAB= 2，
∴AEAC=ADAB，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴ECBD=ACAB= 2，∠OBK=∠OCA，
∵∠BOK=∠COA，
∠BKO=∠CAO=45°，
∴CEBD和β的大小无变化．
(3)当点D在线段AB上时，S△BCE=12×4×2=4，
当点D在线段BA的延长线上时，S△BCE=12×4×6=12．
综上所述，△BCE的面积为4或12．
【解析】【分析】
本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
(2)结论：CEBD和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K.证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
(3)分两种情形：①当点D在线段AB上时，②当点D在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
【解答】
解：(1)如图1中，
∵∠B=90°，BA=BC，
∴∠A=45°，AC= 2AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD=12AB，EC=12AC，
∴ECDB= 2，β=45°，
故答案为 2，45；
(2)见答案；
(3)见答案．普通口罩
N95口罩
进价(元/包)
8
20