2023-2024学年福建省福州市闽侯县第一中学高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省福州市闽侯县第一中学高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知抛物线，则焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程直接求出焦点即可.
【详解】由抛物线可得其焦点在轴上，其焦点坐标为.
故选:D.
2．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，
此时，所以，
解得，所以，
当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.
综上，解得.
故选：A．
3．如图，在四面体中，为的中点，点在线段上，且，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量加法运算即可求出答案.
【详解】
则
故选：B.
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若A、B两点横坐标的等差中项为2，则（ ）
A．8B．6C．D．4
【答案】B
【分析】由题可得，然后利用焦点弦公式即得.
【详解】∵过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，A、B两点横坐标的等差中项为2，
∴，
∴.
故选：B.
5．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A．5.3B．4.1C．7.8D．6
【答案】A
【分析】首先设每年应该存入万元，写出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比数列求和公式，即可求解.
【详解】设每年应该存入万元，
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，
2022年初存入的钱到2027年底本利和为，
……，
2027年存入的钱到2027年底本利和为
则，
即，解得：.
故选：A
6．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】B
【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．
【详解】依题意可得直线的方程为，
联立，消整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
故的最大值为，
故选：B．
7．在数列中，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：在数列中，
故选A.
8．已知是椭圆的右焦点，点在上，直线与轴交于点，点为C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得椭圆，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质即求.
【详解】由题可得，
∴，即椭圆，
∴，直线方程为，
∴，又，
设，则，，
∴
，又，
∴当时，有最小值为.
故选：C.
二、多选题
9．已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为B．的渐近线方程为
C．与的离心率互为倒数D．与的焦点相同
【答案】BC
【分析】将曲线，化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．
【详解】曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，
其中，所以，离心率为，
故曲线的长轴长，故A错误；
曲线整理得，则曲线是焦点在轴上的双曲线，
其中，所以，离心率为，
的渐近线方程为，即，故B正确；
，所以与的离心率互为倒数，故C正确；
的焦点在轴上，的焦点在轴上，焦点位置不同，故D错误．
故选：BC.
10．已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，，则（ ）
A．
B．当且仅当时，取得最小值
C．
D．的正整数的最大值为11
【答案】AC
【分析】根据确定，求出的值确定A；根据数列项的变化，确定B；利用等比数列的基本量运算判断C，根据题意求出，代入式子，转化二次不等式，从而确定正整数的最大值判断D.
【详解】对于A，因为，所以，因为，解得，故A正确；
对于B，注意到，故，时，，，时，，
所以当或时，取得最小值，故B错误；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，，，因为，
所以，
所以，所以，正整数的最大值为12，故D错误，
故选：AC.
11．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．符合条件的M点有4个B．M点的纵坐标可以是
C．的面积一定是D．的周长一定是
【答案】BD
【分析】求出焦点，的坐标，再由直角三角形的直角顶点情况逐项判断作答.
【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，
以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，
显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，
以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；
以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；
由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；
由椭圆定义知，的周长为，D正确.
故选：BD
12．已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．点的轨迹中包含的中点
B．点的轨迹与侧面的交线长为
C．的最大值为
D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为
【答案】BCD
【分析】首先根据动点满足的条件及正方体的结构特征得到动点的轨迹，然后利用轨迹的特征判断选项A，B，C，对于选项D，要先将线线角问题转化为线面角问题，再利用空间向量法求解．
【详解】如图，取的中点，分别取，上靠近，的四等分点，，连接，，，，
易知且，所以，，，四点共面．连接，
因为，，，
因此，所以，易知，所以平面，
即点的轨迹为四边形（不含点），易知点的轨迹与侧面的交线为，
由不过的中点，所以A选项错误
又，B选项正确；
根据点的轨迹可知，当与重合时，最大，易知平面，则，
连接，所以，故C选项正确；
由于点的轨迹为四边形（不含点），所以直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，
又向量与平面的法向量的夹角等于，
且，所以直线与平面所成角的余弦值为，
即直线与直线所成角的余弦值的最大值等于，故D选项正确．
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是由条件探索出动点的轨迹，以及由线面角的定义和性质得到直线与直线所成的最小角就是直线与平面所成的角，从而转化为向量与平面的法向量的夹角求解，属于中档题.
三、填空题
13．已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于 .
【答案】1872
【分析】由已知的两个等差数列，分析出公共项的数列，再求和.
【详解】数列2，6，10，…，210的通项公式为，
数列2，8，14，…，212的通项公式为，
两个数列的公共项为2，14，26，…,通项公式为，
，，当时，，
所以新数列共有18项，最后一项为206，
所以新数列的各项之和为.
故答案为：
14．双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义进行计算得解.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为，焦距为4，
所以，则，
所以，，
，故实轴长为.
故答案为：.
15．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足.若对于任意的，都有成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】（-5，-4）
【分析】先求得，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项．
【详解】由题意，∴，
易知函数在和上都是减函数，
且时，，即，
时，，，
由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，，即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查数列的最小项问题，解题时应先求出通项公式，然后可利用函数的性质确定最小项．
16．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.
【详解】设点A，B的坐标分别为，
直线，令可得，故焦点F的坐标为，
所以，
由，，而△的面积是△面积的4倍，
所以，即，
设直线l为，联立方程，消去x后整理为，
所以，代入，有，可得，
则直线l的方程为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.
四、解答题
17．回答下面两个题
(1)求经过点和点的椭圆的标准方程；
(2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，代入两个点，即可求解；
（2）首先建立坐标系，求解椭圆方程，再根据水面上升后的值求的值，即可求解.
【详解】（1）设椭圆方程为，
将点和点代入可知，得，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）
以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，
当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.
把代入椭圆方程可得：，
所以当水位上升时，水面的宽度为.
18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值的点组成的集合.
(1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；
(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得的值.
（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率即可求得的取值范围.
【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，
可化为，
所以解得.
（2）设且，，由题意知，的斜率存在，
则即，
可化为，
因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，
可化为，
所以，
因为，
所以解得，
所以的取值范围为.
19．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和.
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）首先变形递推公式，证明数列是等比数列，即可求通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再分和两种情况讨论数列的和.
【详解】（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）由（1）知，
设的前项和为，，∴
当时，，
，
故
20．如图，在三棱锥中，，．
(1)证明：平面SAB⊥平面ABC；
(2)若，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）先证线面垂直，再证明面面垂直即可；
（2）先假设存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，然后建立空间直角坐标系，求出相关向量，再用夹角公式计算即可求解.
【详解】（1）法一
证明：取AB的中点E，连接SE，CE，∵，∴，
因为所以三角形ACB为直角三角形，所以
又所以所以所以
又，，∴平面ABC．
又平面SAB，∴平面平面ABC．
法二、作平面ABC，连EA，EC，EB，EA，EC，EB都在平面ABC内
所以，，
又所以
因为所以三角形ACB为直角三角形，所以E为AB的中点
则平面SAB，∴平面平面ABC．
（2）以E为坐标原点，平行AC的直线为x轴，平行BC的直线为y轴，
ES为z轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设，
，则，知，
则，，，，，
∴，，
设，，则，
∴，．
设平面SAB的一个法向量为
则，取，得，
，则，
得，又∵，方程无解，
∴不存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°
21．已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．
【答案】(1)；或
(2)13
【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列与等比数列基本量的计算即可求解；
（2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式.
【详解】（1），
又，
，故，解得或 (舍去)；
，
，
，又，
或.
（2）由（1）知，
所以，
，
错位相减得：
由，可得
令，
令，得，
故当且时，；当且时，；当时，，
又，而
故，满足
所以满足的的最小值为13.
22．椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，，成等比数列．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)或0
【分析】（1）由题意，可知，由，，成等比数列，得到，结合即可求出椭圆方程；
（2）斜率为零时，符合题意；斜率不为零时，设其直线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得到，，分别求出直线，的方程，进而求出，两点，利用三角形面积公式结合求出，进而得到直线的斜率．
【详解】（1）设椭圆左，右焦点分别为，，
由题意可知，，①
因为，，成等比数列，
所以，即，
整理得，，②
又，③
由①②③解得，，， ，
所以椭圆方程为.
（2）
由（1）可知，，
由题意知，当直线的斜率为0，，重合，，重合，，符合题意；
当直线斜率不为零时，设其直线方程为，，
由可得，，
，
则，，
因为，所以的直线为，
令，则，即，
同理可得，
所以
所以，
，
点到直线的距离为，
所以，
又因为，
所以，
解得，，
当时，直线的方程为,即，符合题意.
综上，所以直线的斜率为或0.