2023-2024学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省揭阳市普宁市华美实验学校高二上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.
【详解】，所以.
故选：C.
2．已知，则（ ）
A．3B．2C．0D．
【答案】B
【分析】先求出，进而求出的值.
【详解】由函数解析式可得，所以.
故选：B.
3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则该几何体的体积是（ ）
A．32B．C．D．64
【答案】C
【分析】根据正四棱锥的几何性质，建立方程，求得其高，结合体积公式，可得答案.
【详解】解：因为正四棱锥的底面边长为4，所以底面的对角线长为，
设正四棱柱和正四棱锥的高为，
因为正四棱锥的侧棱长为，所以，解得，
故该几何体的体积为.
故选：C.
4．直线l：与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转得直线m的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【详解】设l的倾斜角为，直线m的倾斜角为，
则，解得，
故，
．
故选：A．
5．下列命题错误的是（ ）
A．已知非零向量，，，则“”是“”的必要不充分条件
B．已知，是实数，则“”的一个必要不充分条件是“”
C．命题“，”的否定为“，”
D．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是
【答案】B
【分析】根据数量积的运算法则结合充分条件、必要条件判断A；根据指数不等式和对数不等式结合充分条件、必要条件判断B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断C，分离参数求解参数范围判断D.
【详解】对于A，若，则，所以，不能推出，
反之时，推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，正确；
对于B，等价于，即，等价于，
所以成立，则一定成立，
反之成立，不一定成立，
从而“”的一个充分不必要条件是“”，正确；
对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“，”的否定为“，”，正确；
对于D，命题“，”是真命题，则恒成立，
即，即实数的取值范围为，正确，
故选：B
6．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（ ）
A．3B．C．9D．6
【答案】A
【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可
【详解】由题意得向量在基底下的坐标为：，
则，
所以向量在下的坐标为：，
所以模长为，故A项正确.
故选：A.
7．在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解.
【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
则所求直线即为两圆的公切线，
因为，且，
可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.
故选：D.
8．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得结论．
【详解】以B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
记BM⊥OC且垂足为M，AD⊥y轴且垂足为D，
设抛物线方程为，
由题意可知：，，，所以，
所以，代入抛物线方程可得，所以，
所以抛物线方程为，
又因为在抛物线上，所以，解得，所以，
所以，所以OA的高度为，
故选：B．
二、多选题
9．已知集合，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】ABC
【分析】根据解一元二次方程的方法，结合子集的性质进行求解即可.
【详解】，
当时，，显然，符合题意；
当时，，显然，符合题意；
当且时，，要想，只需，
综上所述：选项ABC满足，
故选：ABC
10．若为圆：上任意一点，点，则的取值可以为（ ）
A．0.6B．2C．3.41D．3.42
【答案】ABC
【分析】利用配方法，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】圆：化为标准方程得，
半径，，
所以的取值区间为．
故选：ABC

11．已知曲线C：（其中，为参数），下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C表示圆
B．若，则曲线C表示椭圆
C．若，则曲线C表示双曲线
D．若，，则曲线C表示两条直线
【答案】ACD
【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.
【详解】对于A项，由，是以原点为圆心，为半径的圆，故A正确；
对于B项，显然时，不是椭圆，故B错误；
对于C项，若，若，两种情况都表示双曲线，故C正确；
对于D项，若，若，两种情况均表示两条直线，故D正确.
故选：ACD.
12．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于、两点，直线、分别交于、，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的方程求出准线方程，可判断A选项；设出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用抛物线的焦半径以及基本不等式可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，对于抛物线，，可得，
所以，抛物线的准线方程为，A对；
对于B选项，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
所以，，，
则，则，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C错；
对于D选项，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
判别式为，由韦达定理可得，，同理可得，
，同理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，D对.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.
【详解】由题得，
因为，所以解得.
故答案为：3.
14．已知，，则的值为 .
【答案】
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
15．已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，利用点差法能求出椭圆的离心率.
【详解】联立得：，
所以直线与直线的交点坐标为，
所以线段的中点为，
设与的交点分别为，，
所以，，
则，，
分别把，代入到椭圆得：
，两式相减得：，
因为直线为：，所以，
且，所以，
所以，即，所以，
所以，所以，所以.
故答案为：
16．激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数.函数是常用的激活函数之一，其解析式为.给出以下结论：
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③函数的值域为；
④对于任意实数，函数至少有一个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】利用函数单调性的定义可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；令由可得，由解出的取值范围，可判断③；取，结合③可判断④.
【详解】对于①，任取、，且，则，
所以，，
所以，，故函数是增函数，①对；
对于②，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
，函数是奇函数，②对；
对于③，由可得，可得，
由，可得，解得，故函数的值域为，③对；
对于④，由③可知，，则，
当时，，此时，函数没有零点，④错.
故答案为：①②③.
四、问答题
17．①为抛物线上的点，且；②焦点到准线的距离是1．在这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线的焦点为，______，若直线与抛物线相交于A、两点，求弦长．
【答案】．
【分析】若选①：根据焦半径公式即可求出p，从而求出抛物线方程，联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理和弦长公式即可求；若选②：根据抛物线定义可知抛物线焦点到准线的距离为p，由此可求抛物线方程，从而采用和选①时相同的方法可求．
【详解】若选①：
在抛物线上，且，
，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线的方程为．
联立，可得，
设，，则，，
．
五、证明题
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，
点为棱上的点，且.

(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用证明线面垂直，建立空间直角坐标系，分别求得相关点的坐标，
计算直线的方向向量和平面的法向量，运用空间向量线面夹角公式即可求得.
【详解】（1）由为矩形可知：，又因为，，
，平面，所以平面，又，
所以面，又面，故.
（2）由（1）可知，，，所以，在中，
，所以；
又，，，面，所以面；
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，
又在中，，则，，，.
设面的法向量，则即故，
设直线与面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为：
六、解答题
19．已知圆与圆．
(1)求两圆公共弦所在直线的方程；
(2)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两个圆的方程相减即可得到公共弦直线方程；
（2）先由圆的方程解出交点坐标，再列方程求解圆心即可得到答案.
【详解】（1）因为圆与圆，
所以将代入，
得两圆公共弦所在直线的方程为
（2）由，
解得，则交点为，，
圆心在直线上，所以设圆心为，
则，即，
解得，故圆心，半径，
所求圆的方程为
七、应用题
20．“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下：

(1)本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ；
(2)赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
【答案】(1)50，
(2)不能获奖，理由见解析
(3)
【分析】（1）从频数直方图和扇形统计图进行数据分析得到本次比赛参赛选手总人数，并得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比；
（2）由题可知“59.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比结合条件可得结论；
（3）利用列举法求解概率.
【详解】（1）从频数直方图中可以看出“59.5～69.5”的人数为，
从扇形统计图可以看出“59.5～69.5”所占比例为，
故本次比赛参赛选手共有人，
从频数直方图中可以看出“89.5～99.5”的人数为，
故“89.5～99.5”所占比例为，
所以扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；
（2）不能够获奖，理由如下：
他的成绩位于“69.5～79.5”之间，
由题可知“59.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为，
因为成绩由高到低前的参赛选手获奖，他位于后，故他不能够获奖.
（3）成绩前四名中2名男生设为，2名女生设为，
若从他们中任选2人作为获奖代表发言，共有6种情况，如下：
，
又恰好选中1男1女的情况为，共4种情况，
故概率为.
八、解答题
21．给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
(1)求椭圆和其“准圆”的方程；
(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
【答案】(1)椭圆的方程为，其“准圆”方程为；
(2).
【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
（2）设，写出，坐标，应用向量数量积的坐标表示得，结合是椭圆上及其有界性，即可求范围.
【详解】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意，设，则有，
不妨设，，所以，，
所以，又，则，
所以的取值范围是．

九、证明题
22．已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为.
(1)求实数a的值.
(2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足.证明：点H恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据、双曲线的离心率以及列方程来求得.
（2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由进行化简，从而得出点恒在一条定直线上.
【详解】（1）依题意得，，，因为，所以，.
（2）如图所示，直接根据极点极线的定义，
得到点H恒在点关于双曲线E的极线上.
因为点P坐标为，且过点P的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，
所以可设直线l的方程为，
点M，N，H的坐标依次为，，，
则点M，N的坐标满足，所以，
由韦达定理得，
因为，所以，
同理，，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以点H恒在直线上.