2023-2024学年河南省济源市第六中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省济源市第六中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，，则､､的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于均为正数，所以比较的大小即可
【详解】解：因为，，
所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查代数式比较大小，利用了作差法，属于基础题
2．已知都是正数,不等式成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对式子移项、通分、计算,最后根据不等式的性质得到该不等式成立的条件.
【详解】,因为都是正数,所以要想使不等式成立,只需.
故选B
【点睛】本题考查了不等式成立的条件.利用不等式的性质是解题的关键.
3．若不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集为可得，，，代入化简即可求解.
【详解】不等式的解集为，
，且是方程的两根，
，即，，
则化为，
，，解得或.
故选：D.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与系数的关系，考查一元二次不等式的求解，属于基础题.
4．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由不等式的性质，推导出的取值范围.
【详解】因为，
可得，
所以，
即；
故选：A.
5．若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】由题可知恒成立，分和两种情况讨论即可求出.
【详解】函数的定义域为，
恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，满足，解得，
综上，.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.
6．当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解.
【详解】记，则．
而，
当时，，
所以实数a的取值范围是.
故选C．
7．设，
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【详解】由于，故原式.
点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第一个自变量和最后一个自变量的和为，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为，依次类推.故猜想的值为常数或者有规律的数，通过计算可知，手尾两项的和为，由此求得表达式的值.
8．若数列的通项公式是，则（ ）
A．45B．65C．69D．
【答案】B
【解析】由题意可得，从而可得，进而可得答案
【详解】因为，
所以，
则 ，
故选：B．
【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题
9．已知数列的前n项之和，则的值为
A．61B．65C．67D．68
【答案】C
【分析】首先运用求出通项，判断正负情况，再运用即可得到答案．
【详解】当时，，
当时，，
故，
据通项公式得
．
故选C．
【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意的情况，是一道基础题．
10．数列{an}的前n项和为Sn，若，且{an}是等比数列，则m＝（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】利用算出通项，再结合该数列为等比数列可求.
【详解】因为，故，
因为为等比数列，故即，故，
此时即，即为等比数列.
故选：D.
11．数列的前项和为，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用求得数列的通项公式，并利用错位相减法求得的值，进而可得出结果.
【详解】当时，，即；
当时，，则.
满足，所以，对任意的，.
设，
则，
下式上式得，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用前项和求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.
12．定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用“均倒数”的定义，求得的表达式，代入，利用裂项求和法求得所求的数值.
【详解】根据“均倒数”的定义，有，故，故，，两式相减得，当时，也符合上式，故.所以，注意到，故，故选C.
【点睛】本小题考查新定义概念的理解，考查数列求和方法中的裂项求和法，考查运算求解能力.属于中档题.
二、填空题
13．不等式的解集为
【答案】
【解析】由不等式可得或，求解，即可得出结果.
【详解】由可得或，
解得或，
即不等式的解集为.
故答案为：.
14．平面上满足约束条件的点形成的区域的面积为 ．
【答案】1
【分析】作出可行域，求出交点的坐标，可求得面积.
【详解】可行域是如图△ABC， 由得点A（2，-2），由得点B（3，-3），由得点C（2，-4），
以AC为底边，B到AC距离d为高来计算面积， AC=2，d=1， 则区域D的面积为，
故答案为：1．
【点睛】本题考查确定不等式组所表示的平面区域，并且计算平面区域的面积，属于基础题.
15．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，从上往下第10行的数字之和为 ．（用数字作答）
【答案】512
【分析】可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式可求出.
【详解】第1行的数字之和为，第2行的数字之和为，第3行的数字之和为．以此类推，即每一行数字之和是首项为1，公比为2的等比数列中的项，则第10行的数字之和为．
故答案为：512.
【点睛】本题考查等比数列的判断以及求数列的某项，属于基础题.
16．已知为等比数列，且，若，则
【答案】2017
【分析】利用函数解析式求得，，
…..然后求得表达式的值即可。
【详解】因为，

同理，，….
则
故答案为：2017
【点睛】此题考查等比数列的性质和倒序相加求和，属于较易题目。，
三、解答题
17．解下列不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将原不等式化为，然后由二次函数图象的性质可得答案.
（2）将原不等式移项通分，将分式不等式转为整式不等式求解即可.
【详解】（1）化原不等式为
或，
则不等式的解集为
（2）化原不等式为
则不等式的解集为.
【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式以及高次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
18．已知恒成立，求m的范围．
【答案】
【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】当时，显然成立；
当时，，
综上，，即．
19．在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的通项公式及前项和．
【答案】或；或.
【解析】设该数列公差为，前项和为，求出数列的，即可得答案；
【详解】设该数列公差为，前项和为，
由已知，可得,，
所以，，
解得，或,
或；
即数列的首项为4，公差为0，此时前项和，
或首项为1，公差为3，此时数列的前项和；
【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
20．若变量满足约束条件，求：
（1） 的最大值；
（2） 的取值范围；
（3） 的取值范围．
【答案】（1）5；（2）；（3）．
【分析】作出可行域，求得三点的坐标，(1)中，根据直线的几何意义，即可求解目标函数的最大值； (2) 中，转化为点与取的斜率的范围，即可求解；(3)中，转化为
与距离的平方，即可求解.
【详解】作出可行域，如图阴影部分所示．

由 即
由 即
由 即
(1)如图可知 ，在点处取得最优解，；
(2) ，可看作与取的斜率的范围，
在点，处取得最优解，，
所以
(3)
可看作与距离的平方，如图可知
所以
在点处取得最大值，
所以
【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.
21．已知二次函数的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式：.
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）由题意可得出，且，再由可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，进而可得出函数的解析式；
（2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，由此可得出原不等式的解集.
【详解】（1）由于二次函数的最小值为，则，且，
所以，，则，解得.
所以，；
（2）由，可得，
即，即.
①当时，即当或时，则有，原不等式的解集为；
②当时，即当或时，解原不等式可得，原不等式的解集为；
③当时，即当时，解原不等式可得，原不等式的解集为.
综上所述，当或时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了含参二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.
22．数列的前项和记为，，（）．
(1)求的通项公式；
(2)等差数列的各项为正，其前项和为，且，又，，成等比数列，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得（），两式相减得，即，即可求得答案；
（2）利用求得，结合，，成等比数列，求得数列的公差，即可求得答案。
【详解】（1）因为，所以（），两式相减得，
即（）；又，所以,
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
（2）设的公差为（），由得，
可得．
故设，；
又由（1）可知，，，
则由，，成等比数列，
得，
解得或（舍），则，
所以．