2023-2024学年陕西省渭南市韩城市象山中学高二上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市韩城市象山中学高二上学期第三次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】直线化为，
则斜率为1，故其倾斜角为.
故选：B
2．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若，则，．
A．75人B．77人C．79人D．81人
【答案】C
【分析】，，由概率计算人数即可.
【详解】，，，
因为，
所以，
所以数学成绩在分以上的人数约为人.
故选：C．
3．已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点、，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，分析可知，四边形为矩形，，求出、，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：
因为直线关于原点对称，椭圆也关于原点对称，
直线与椭圆交于点、，则、也关于原点对称，
所以为、的中点，
又因为，则四边形为矩形，所以，则，
所以，，，
由椭圆的定义可得，
故该椭圆的离心率为.
故选：A.
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
【答案】C
【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．
【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，
则二项式的展开式的通项公式为（且），
令，解得，
所以，故的展开式中的常数项为28，
故选：C．
5．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先将双曲线化为标准方程，进而可求出双曲线的焦点和顶点坐标，，进而可得椭圆的焦点和顶点，即可得解.
【详解】双曲线化为标准方程得，
焦点坐标为，顶点为，
则所求椭圆的焦点在轴上，
设所求椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，所以，
所以所求椭圆的方程为.
故选：D.
6．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）
A．288种B．360种C．480种D．504种
【答案】C
【分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案.
【详解】先安排甲乙以外的个人，然后插空安排甲乙两人，
所以不同的传递方案共有种.
故选：C
7．已知椭圆，点P为椭圆上的任一点，则P点到直线：的距离的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】转化为求与平行且与椭圆相切的两条切线，再由与两切线距离求解即可.
【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线为，
联立方程，消元可得
令，解得，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
当时，椭圆切线方程为，直线与切线距离为，
即直线与切线的最大最小距离分别为,
又当时，，即直线与椭圆无公共点，
则椭圆上任一点P到直线：的距离的取值范围为.
故选：B
8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可.
【详解】直线恒过定点，
曲线的方程可整理为，，
所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示：
，为两种临界情况，由题意得，则，
令圆心到直线的距离，解得，则，
所以当时，直线与曲线有两个不同的交点.
故选：A.
二、多选题
9．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且的最大值为4，最小值为2，则（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．的周长为8
C．若，则的面积为8
D．若，则
【答案】AB
【分析】由题意求出和，再结合椭圆的定义和余弦定理即可判断．
【详解】对于A，由题意得，解得，所以离心率为，故A正确；
对于B，的周长为，故B正确；
对于C，由A得，，
当点为上顶点时，最大，即，
，
所以的面积不可能为8，故C错误；
对于D，由且得，，
所以，即，故D错误；
故选：AB．

10．满足方程的值为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AB
【分析】利用组合数的性质求解
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
11．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
12．已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得B．椭圆C的弦MN被点平分，则
C．，则的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
【答案】ABC
【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出的范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D.
【详解】对于A.由余弦定理知
，
当且仅当时，等号成立，
因为在上递减，所以此时为钝角最大，
所以存在P使得，所以A正确；
对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，，
不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在.
设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确；
对于C.，，
因为，所以，
因为，解得.
因为，所以，所以C正确；
对于D.，设，则，整理得，
可得直线PA，PB的斜率分别为，
所以，所以D错误.
故选：ABC.

三、填空题
13．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有 （用数字作答）.
【答案】36
【分析】分与分配进行选派，结合分类与分步计数原理、排列组合知识计算即可.
【详解】不同的派遣方案可分两类：人可分与进行派遣.
若按照分三组再进行分配，
第一步：甲乙两人从其余人中再选人合成一组，剩余两人一人一组，有种方案；
第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；
则由分步计数原理共有种不同的方案；
若按照分三组再进行分配，
第一步：甲乙两人是一组，再从其余人中选人一组，剩余一人为一组，有种方案；
第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；
则由分步计数原理共有种不同的方案；
所以由分类计数原理共有种派遣方案.
故答案为：.
14．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】本道题结合直线方程，计算圆心坐标，利用点到直线距离公式
计算半径，建立圆方程，即可．
【详解】建立方程，计算出圆心坐标为，结合点到直线距离公式
，得到，故
圆方程为
【点睛】本道题考查了点到直线距离公式以及圆方程计算问题,属于中等难度的题,结合直线方程,计算圆心,结合点到直线距离公式,计算半径,得到圆方程,即可.
15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ．
【答案】
【分析】根据椭圆得定义可得，在中，利用余弦定理求出，从而可求出，即可得解.
【详解】由椭圆：，得，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
所以，所以，
则，
所以，
所以点在椭圆的上下顶点处，
所以.
故答案为：.
16．过直线上一点向圆：引切线，切点为，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可.
【详解】由题设，圆，即，半径为2，
而到的距离为，
所以直线与圆相离，如下图，
由，要使的最小，只需最小，
而，故.
故答案为：4
四、解答题
17．已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程；
【答案】或
【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点．
【详解】联立，解得，交点为，
分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
18．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球
(1)若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
(2)若不放回的取3次球，求取出白球次数X的分布列及.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，进而求得.（2）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，计算出各自对应的概率，求得X的分布列，从而利用公式求得．
【详解】（1）问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，
所以所求概率；
（2）不放回的依次取出3个球，则取到白球次数X的可能取值为1，2，3，
则；；.
则X的分布列为：
故.
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中.
(1)若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；
(2)若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程.
(3)在（2）的条件下，若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】（1）根据，，得到，再利用椭圆的定义求得a即可；
（2）根据，，得到，再利用双曲线的定义求得a即可；
（3）由，消去y得，再分和，利用判别式法求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）因为，
所以，
又因为，，
所以，则，
所以，
所以双曲线的标准方程为： ；
（3）由，消去得，
当，即时，符合题意；
当，即时，，
解得，即，
综上：直线与双曲线只有一个公共点时，实数的值为：和.
20．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．M是椭圆上任意一点，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为的直线交椭圆于两点．求的面积．
【答案】(1)；离心率为；
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求得，再由椭圆定义求得，从而可得，得到椭圆方程和离心率；
（2）利用韦达定理求得弦长，由点到直线距离公式求得到直线的距离后可得三角形面积．
【详解】（1）由已知，，又因为，，
所以，
所以，，，
椭圆的标准方程为，离心率为；
（2）直线的方程为，设，
由得，
，，
．
到直线的距离为，
所以．
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“焦点、焦半径”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
21．电网公司将调整电价，为此从某社区随机抽取100户用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值；
(2)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从月用电量不低于的用户中抽9户用户，再从这9户用户中随机抽取3户，记月用电量在区间内的户数为，试求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1可求得的值.
（2）利用分层抽样得两组各抽取样本数，结合超几何分布求解概率即可得分布列，从而可求数学期望.
【详解】（1）因为，所以.
（2）月用电量在，的频率分别为：，据按比例分配的分层随机抽样可知：
用电量在，的分别有人，人，从而可取的值为：0，1，2，3.
，
故的分布列为：
则.
22．已知过点的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线：与抛物线相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设抛物线为，代入点坐标得到答案.
（2）联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，，化简得到答案.
【详解】（1）设抛物线：，又抛物线过点，，即.
抛物线的方程为.
（2）联立方程，消去得，
恒成立，，，
，，
.
故为定值，且该定值为.