2023-2024学年天津市北辰区南仓中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市北辰区南仓中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，单空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．经过点，倾斜角是的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
【详解】倾斜角是的直线的斜率为，
故过点，倾斜角是的直线的方程是，
故选：D．
2．如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】依题意以、、为基底，表示出、、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，所以，
，，
所以
.
故选：A
3．“”是“直线和直线互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系.
【详解】直线和直线的充要条件为即，
可以推出，但推不出，
故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件，
故选：B.
4．已知圆C：，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论．
【详解】易知直线，过定点，
圆的标准方程是，圆心为，半径为，
而，所以．
故选：B．
5．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆的半径，可得出的值，结合离心率可得出的值，进而可求出，结合椭圆焦点的位置可得出椭圆的标准方程.
【详解】圆的标准方程为，圆的半径为，则，即，
又因为，则，所以，，
因为椭圆的焦点在轴上，因此，该椭圆的标准方程是.
故选：A.
6．抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】C
【解析】结合抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可求出最小值.
【详解】由题意，抛物线的焦点，准线为，设抛物线上的动点，
根据抛物线的定义可知，，
因为，所以，
故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的性质，属于基础题.
7．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出的值.
【详解】因为，，所以，所以或（舍），
又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故选：B.
8．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ）
A．189B．252C．324D．405
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，由题意和等差数列的通项公式得出，解方程得出，最后根据等差数列的求和公式得出.
【详解】解：设等差数列的公差为，
由，，得，解得：，
所以.
故选：C.
9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（ ）

A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.
【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理可得，
化简得，所以，即，
故选：D
二、填空题
10．已知直线与互相平行，则他们之间的距离是 .
【答案】
【分析】利用两直线平行的充要条件先计算参数，再由平行线的距离公式计算即可.
【详解】因为直线与互相平行，
所以，
则直线，所以两直线的距离为.
故答案为：.
11．已知向量共面，则 ．
【答案】
【分析】由向量共面定理，结合向量线性关系的坐标运算求参数即可.
【详解】由题设且，即，
所以.
故答案为：
12．若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【分析】求得双曲线的渐近线方程为，由于渐近与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，列方程可求出，从而可求出双曲线的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为
圆的圆心为，半径为1，由直线和圆相切，
可得，解得，
则离心率.，
故答案为：
13．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2：a4＝7：6，则S7：S3等于 ．
【答案】2：1；
【详解】由于为等差数列的前项和，，故答案为.
三、单空题
14．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为上一点，且，是线段的中点，为坐标原点，则 ．
【答案】2
【分析】由、分别为、的中点可知，再结合椭圆定义即可求得结果.
【详解】由题意知，，连接，如图所示，
因为、分别为、的中点，所以，
由椭圆定义可知，，
又因为，所以，
所以.
故答案为：2.
四、填空题
15．已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
不妨取，，准线，
作关于准线的对称点，则，
所以的最小值即为，
当且仅当三点共线时取最小值，
所以的最小值为，
故答案为：.
五、问答题
16．已知圆的圆心在轴上，且经过点．
(1)求线段的垂直平分线方程；
(2)求圆的标准方程；
(3)若过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据已知得到线段中点的坐标及的斜率，根据垂直关系得出垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求解；
（2）设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（3）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
【详解】（1）设的中点为，则．
由圆的性质，得，所以，得.
所以线段的垂直平分线的方程是.
（2）设圆的标准方程为，其中，半径为，
由（1）得直线的方程为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为.
（3）由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
六、证明题
17．如图，平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面.
（2）因为，，设平面的法向量为，
则，取，又平面的法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）点到平面的距离.
18．如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，根据条件证明出平面平面，由此可证明平面；
（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果；
（3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出的长度.
【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：
因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）建立如下图所示的空间直角坐标系，
又，
所以，
设平面一个法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，且，
所以，
所以，
化简得，解得或（舍），
所以.
七、问答题
19．已知椭圆的长轴长为，短轴长为．
(1)求椭圆方程；
(2)过作弦且弦被平分，求此弦所在的直线方程及弦长．
【答案】(1)；(2) ，.
【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|．
【详解】(1)由椭圆长轴长为，短轴长为，
得，所以，
所以椭圆方程为．
(2)设以点为中点的弦与椭圆交于，则.
在椭圆上，所以，，
两式相减可得，
所以的斜率为，
∴点为中点的弦所在直线方程为.
由，得，所以或，
所以．
【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若，求实数的值及的面积.
【答案】(1)
(2)，的面积为
【分析】（1）由题意列方程组求，得椭圆的方程；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和，求出实数的值，再利用弦长公式和点到直线距离得到的底和高，求出面积.
【详解】（1）由题意知离心率，所以，即.
以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切，有，
所以，故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为
由，消去得，
∴ ，
，解得.
∴，
所以，
点到直线的距离，
所以的面积