2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期第一次月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（ ）
A．(－2，1，2)B．(－1，1，0)C．(－2，0，1)D．(－1，1，2)
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式直接求解．
【详解】在空间直角坐标系中，
点，1，，，1，，
则线段的中点坐标是，，，1，．
故选：B.
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】.
故选：C
4．平行六面体中，化简（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【详解】
为平行四面体，
故选：A．
5．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若// ，则的值是（ ）
A．B．-6C．6D．
【答案】C
【分析】根据平面平行，则其对应法向量共线，结合向量共线的坐标运算，即可求解.
【详解】因为//，故可得法向量与向量共线，
故可得，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查平面位置关系与法向量之间的关系，涉及空间向量的坐标运算，属基础题.
6．如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.
【详解】结合图形，易得
又因为点M，N分别为，的中点，
故，，，
所以.
故选：A.
7．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合
【答案】B
【分析】利用数量积的运算可证得法向量相互垂直，由此可得出答案.
【详解】记平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
所以，故，所以.
所以平面和平面的位置关系是垂直.
故选：B.
8．已知正方体的棱长等于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出，，点的坐标，利用空间向量坐标运算得到和，直接利用空间向量数量积公式即可得出结果.
【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，
所以．
故选：B.

9．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）
A．，1，B．，1，C．，，D．，1，
【答案】A
【分析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.
【详解】在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.
10．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.
【详解】由题意，，，
，，
，
到直线的距离为.
故选：B.
11．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．B．C．D．与相交但不垂直
【答案】B
【分析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论
【详解】因为，，
所以，
所以∥，
因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
故选：B
12．已知单位向量，，中，，，则（ ）
A．B．5C．6D．
【答案】D
【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故选：D
二、填空题
13．已知向量与向量垂直，则实数x的值为 ．
【答案】1
【分析】由向量的数量积为0求解．
【详解】由题意，，
故选：1.
14．空间直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式即得.
【详解】由中点坐标公式可知，点关于原点的对称点的坐标为.
故答案为：.
15．已知向量，则 ．
【答案】/
【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
16．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是 .
【答案】
【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.
【详解】因为，
依题意向量在向量上的投影向量的坐标是
.
故答案为:
17．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，
所以，
故答案为：
18．在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【解析】利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离.
【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为，
所以，点到平面的距离为.
因此，点到平面的距离为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.
19．与共线的单位向量是 .
【答案】或
【分析】根据直接求解即可.
【详解】，
，即或.
故答案为：或
20．已知向量两两夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案.
【详解】
，
故.
故答案为：
三、解答题
21．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；
(2)求AC1的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空间向量加法法则得，由此能求出结果．
（2）由即可求出AC1的长．
【详解】（1）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
，，，
．
（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
．
.
AC1的长||.
22．如图，在长方体中，，，是棱的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再根据线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积计算两平面夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：在长方体中，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则由，，得，
又是棱的中点，所以，所以，，
设平面的一个法向量为，
则有，得，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
23．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点C到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)2.
【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答.
（3）利用（2）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.
【详解】（1）在正方体中，，则四边形为平行四边形，
因此，而平面，平面，
所以平面.
（2）在棱长为2的正方体中，射线两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，棱的中点，，
设平面的法向量，则，令，得，
直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）知，，
所以点C到平面的距离.
24．己知：在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧棱平面ABCD，点M为PD中点，．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值；
(3)求点P到平面MAC的距离．
【答案】(1)详见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）易证平面PAD，从而，再由为点M为PD中点，且，得到，从而平面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，设异面直线PB与AC所成的角为，由求解.
（3）求得平面MAC的一个法向量为，由求解.
【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，因为底面ABCD为正方形，所以，
又，则平面PAD，，
又因为点M为PD中点，且，
所以，又，平面PCD，
所以平面PCD，
又平面MAC，所以平面平面PCD；
（2）建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
设异面直线PB与AC所成的角为，
所以；
（3）设平面MAC的一个法向量为，
则，即，
令，得，所以，
所以，
所以点P到平面MAC的距离为.