2023-2024学年天津市蓟州区第二中学高二上学期月考2数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市蓟州区第二中学高二上学期月考2数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义直接得到结果.
【详解】且 动点的轨迹为双曲线的右边一支
故选：
【点睛】本题考查双曲线定义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.
2．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.
【详解】抛物线标准方程为，
其焦点坐标为
故选：C.
3．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．28B．42C．56D．14
【答案】A
【分析】根据等差数列下标和性质可得，再利用等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：因为等差数列的前项和为，且
所以，即
所以
故选：A
4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
5．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.
【详解】由题意，数列满足，即，
所以数列为等差数列，
设等差数列的公差为，则，
所以数列的通项公式为，
令，即，解得，
所以当时，，当时，，
所以数列中前项的和最大，故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.
椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，
则，解得，，则双曲线C的方程为.
故选：B.
7．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由于BF⊥x轴，故，设，由得，选D.
【解析】椭圆的简单性质
8．椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案.
【详解】设，则，
两式相减得，
由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知，
故，即，
设线段中点为，则，而，
连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即，
故，即，
故选：A
9．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：设，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，∴，．由椭圆的定义可知的周长为，∴，．∴．∵，∴，∴，．
【解析】椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用、椭圆离心率的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，本题的解答中，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，得出，，再由椭圆的定义，得到的周长为，列出的关系式，即可求解离心率.
二、填空题
10．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其中，由此可得，解之即得实数的取值范围.
【详解】∵方程表示焦点在轴上的椭圆，
∴该椭圆的标准方程为，
满足，解之得
故答案为：
【点睛】本题已知椭圆是焦点在轴的椭圆，求参数的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题.
11．数列的前项的和，则此数列的通项公式 .
【答案】
【分析】根据计算可得；
【详解】解：因为数列的前项的和，当时，，当时，
所以
故答案为：
12．已知双曲线：(，)的离心率为，则点到双曲线渐近线的距离为 .
【答案】
【分析】由双曲线的离心率求出，即可求出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】解：因为双曲线：(，)的离心率为，即，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线为
则点到渐近线的距离
故答案为：
13．数列中，若，，则 .
【答案】
【分析】依题意可得数列为常数数列，即可得解；
【详解】解：因为，，所以，即数列为常数数列，，所以
故答案为：
14．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，问题转化为求的最小值，根据平面几何知识,当三点共线时最小，由此即可求出的最小值，从而可得结果.
【详解】
抛物线的焦点为，点，
求周长的最小值，即求的最小值，
设点在准线上的射影为，
根据抛物线的定义，可知，
因此，的最小值，即的最小值，
根据平面几何知识,可得当三点共线时最小，
因此最小值为，
，
周长的最小值为，故答案为12.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．
三、问答题
16．已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，直线过点P（﹣2，0）
（1）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l的方程；
（2）若直线l与抛物线交于不同的两点A、B，求|FA|+|FB|的取值范围．
【答案】（1）y = 0 或 x  y + 2 = 0 （2）(6, +∞)
【分析】（1）当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0求得k值，则直线方程可求.
（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，利用判别式大于0求得k的范围，再由抛物线的焦半径公式及根与系数的关系可得．
则|FA|+|FB|的取值范围可求．
【详解】（1）如图，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0；
当直线l的斜率不为0时，设直线方程为y=k（x+2），
联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．
由△=（4k2﹣4）2﹣16k4=﹣32k2+16=0，解得k=．
∴直线方程为y=．
综上，若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，
直线l的方程为：y=0或y=；
（2）联立联立，得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当k≠0时，由△=﹣32k2+16＞0，得﹣＜k＜．
∴﹣＜k＜0或0＜k＜．
．
|FA|=，|FB|=，
则|FA|+|FB|=，
∵0，∴，则﹣2+＞6．
∴|FA|+|FB|的取值范围是（6，+∞）．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.
【详解】（1）∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
18．设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)证明：数列（为常数）为等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列递推式求出首项，再得出时，，和已知等式相减可得，验证首项，即得答案；
（2）由（1）的结果可得的通项公式的表达式，根据等差数列的定义即可证明结论.
【详解】（1）由题意知数列满足①，
则时，；
当时，②，
则②-①得：，故，也适合该式，
故；
（2）由（1）得，设，
则为常数，
故数列（为常数）为等差数列.
四、证明题
19．如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的中点．
(1)求证：平面
(2)求直线和平面所成的角的正弦值．
(3)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角
【详解】（1）以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
依题意，得，
，设面的法向量，
，所以，取，得
因为，
所以．所以．
又面．
所以面．
（2），
设面的法向量，
，所以，
取，得．
因为，
所以．
所以直线和平面所成的角的正弦值为．
（3）由（1）､（2）可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
五、问答题
20．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.
【详解】（1）解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．