2023-2024学年天津市武清区南蔡村中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市武清区南蔡村中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知空间向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.
【详解】，
，
故选：A
2．直线l：的倾斜角θ为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率的定义即可求得倾斜角.
【详解】的倾斜角θ满足，故.
故选：D.
3．抛物线的焦点的坐标是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：本题已知：，则:，又焦点在y轴的正半轴上得：
【解析】已知抛物线方程求焦点坐标．
4．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】求出投影向量的模长，利用勾股定理即可求解.
【详解】由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，
所以点到直线l的距离是.
故点到直线l的距离是.
故选：D
5．在等差数列中,,,则公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.
【详解】设公差为,则
,
解得.
故选:C.
6．已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得，由即可解得的值.
【详解】，化简为，
可得圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
，即，
或（舍去）
故选：D.
7．双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆方程求得半焦距，则渐近线方程及焦点位置设出双曲线方程，再由半焦距求得参数值得双曲线标准方程．
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，∴，∴，∴.
故选:A.
8．若，则（ ）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.
【详解】由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
故选：D
9．已知椭圆E的左、右焦点分别为，过且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若为直角，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据题干条件得到，由勾股定理得到，，作出辅助线，求出点P坐标为，代入椭圆方程，求出，求出离心率.
【详解】设，则，因为为直角，
所以，设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，所以，，
过点P作PM⊥x轴于点M，
则，
由勾股定理得：，
所以，
所以点P坐标为，
将代入椭圆方程中，
，
又，
解得：，
方程两边同时除以，得：，
解得：或，
因为，
所以.
故选：A
二、填空题
10．若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，即实数k的取值范围为.
故答案为：
11．已知空间向量，且，则实数 ．
【答案】
【解析】直接利用空间向量平行的性质列方程求解即可．
【详解】空间向量，且，
，
解得实数．
故答案为：．
12．过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】求出圆的圆心和半径，再求出点与圆心间的距离，的最小值．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
点与圆心间的距离，
的最小值．
故答案为：4．
13．圆和圆的交点为，，则线段的垂直平分线的方程为 .
【答案】
【分析】线段的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆圆心坐标，将两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而得出所求直线方程的斜率，从而可得答案.
【详解】将化为圆的标准方程是，其圆心是．
两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为.
又线段的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为，
故所求直线方程为，即.
故答案为：.
14．如图，已知平行六面体中， ，，.为的中点，则长度为 .

【答案】
【分析】用表示出，计算得出AM的长度．
【详解】，，
，，，
，
，
，
，即.
故答案为：
15．数列满足：，则的值为 .
【答案】
【分析】根据数列的通项公式逐个代入，当代入到第五个时，发现出现重复，则数列存在周期，利用周期的特点求值即可.
【详解】解：∵，，
∴当时，，
当时，，
依此类推，，，，
∴数列为周期数列，周期，
∴.
故答案为：.
三、解答题
16．已知数列前n项和为.
(1)试写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）直接代入计算即可.
（2）应用求解即可.
【详解】（1）由得，；所以；
（2）当时，，
当时，，
当时，不成立，
所以
17．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；
（2）根据线面角的向量求法即可求解.
【详解】（1）
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因为为棱的中点，为棱的中点，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面.
（2）由（1）得，，
设直线与平面所成的角为，
则.
18．已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值．
【详解】（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
19．已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；
（2）讨论直线l斜率存在性，设直线方程，结合点线距离公式及直线与圆的交点个数列方程求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）令，由M为线段的中点，，则，
而A是圆C上一动点，故，
整理得，即，
所以动点M的轨迹方程为.

（2）由（1）知：曲线E的圆心为，半径，且点N在曲线E外，
若直线l斜率不存在，即，显然与曲线E相切，满足；
若直线l斜率存在，设，则到直线l的距离，
所以，此时；
综上，直线l的方程为或.
20．如图，在四棱锥中，平面，，且，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面垂直，如果垂直，求此时点到平面的距离，如果不垂直，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）取为中点，确定，建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算得到证明.
（2）计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.
（3）设，根据解得，再根据距离公式计算即可.
【详解】（1）取为中点，则，，，
故四边形为矩形，则，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
则，故，即；
（2）平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，，
则取可得，
，
由图象可知，平面与平面所成二面角的平面角为锐角，故平面与平面所成二面角为；
（3）假设存在，设，平面，平面，
故，
，，，
解得，，
此时，，，平面，
故平面，
到平面的距离为.