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2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高二上学期教学测评月考（三）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高二上学期教学测评月考（三）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据补集的定义求出，再根据集合间的包含关系即可求得实数m的取值范围．
【详解】因为，所以，
又，且，所以，得到．
故选：A．
2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义及四则运算计算即可.
【详解】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，
所以.
故选:A．
3．若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线平行可得参数的值，然后根据平行线间距离公式即得.
【详解】直线：与：平行，则，解得，
故：与：之间的距离，
故选：C．
4．过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质及弦长公式计算即可.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，
根据圆的性质可知：当时，此时弦长最短，
因为，所以直线l的斜率为.
故选:D．
5．双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率可得，进而由渐近线斜率即可求解.
【详解】∵双曲线（，）的离心率为2，
∴，∴，∴此双曲线的渐近线的斜率为，
∴此双曲线的渐近线的倾斜角是或，
故选：B．
6．抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则（ ）
A．B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据定义得出，再应用中点结合图形特征计算即可.
【详解】如图，过点M作轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得，设，
由抛物线定义可知，，因为M为线段FN的中点，所以，
所以，将其代入可得：，解得.
故选：D.
7．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，可得其模长，计算出，根据空间距离的向量求法，即可得答案.
【详解】直线l的方向向量为，且l过点，
又点，则，则，
又∵，
∴则点，到l的距离为，
故选：C．
8．在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意利用余弦定理求，结合面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：，，，即，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，则，
所以的面积，
故选：D．
二、多选题
9．已知，，，则（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【分析】根据空间向量的数量积公式可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项.
【详解】因为，，，
所以，所以不成立，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，同时显然，不共线，所以为锐角，故C错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD．
10．已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（ ）
A．圆心M的坐标为
B．点在圆M内
C．直线被圆M截得的弦长为
D．圆M在点处的切线方程为
【答案】ABD
【分析】由圆的标准方程即可判断A，根据点与圆的位置关系即可判断B，根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C，根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D.
【详解】由圆M的方程为，知其圆心为，半径为1，故A正确；
点到点的距离为，故B正确；
点到的距离为，所以，故C错误；
因为，所以点在圆M上，
而点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上，
所以圆M在点的切线直线与轴平行，其方程为，故D正确.
故选：ABD．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．的值域为
【答案】ABC
【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，举反例依次判断各选项即可.
【详解】因为，
对于A，由，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，即为奇函数，故B正确；
对于C，，
而在上单调递减，在其定义域上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，故C正确；
对于D，因为，
所以的值域不可能为，故D错误.
故选：ABC．
12．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，若，则（ ）
A．B．的面积等于
C．直线l的斜率为D．C的离心率等于
【答案】AD
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B错误；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.
【详解】由，不妨设，，，
又，可得，
利用椭圆定义可知，所以可得，
即，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，
如图所示，由，，，可知满足，
所以，故A正确；
所以为等腰直角三角形，且，
因此的面积为
，故B错误；
此时可得直线l的斜率，故C错误；
在等腰直角中，易知，即可得，故D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ．
【答案】
【分析】由圆的标准方程可得半径与圆心，由点线距离公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦长，由弦长为建立方程，求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
由题意弦的长为，
则，则，解得．
故答案为：.
14．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
【答案】9
【分析】根据法向量的概念结合条件即得.
【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内，
所以，所以，
所以，解得．
故答案为：9.
15．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合图形及圆锥的性质可表示出的面积，进而可得底面圆的半径及圆锥的母线，然后根据圆锥的侧面积公式即得.
【详解】∵与圆锥底面所成角为，如图设为圆锥的底面圆的圆心，则垂直底面，
∴为等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，则，
∴，解得，
∴，即母线长，
∴该圆锥的侧面积为．
故答案为：.
四、双空题
16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以为直径的圆与C在第二象限内相交于点A，与C的渐近线在第一象限内相交于点M，且，则C的离心率为 ；若的面积为8，则C的方程为
【答案】
【分析】由题意推出，结合可得，，利用双曲线定义即可求得的关系，即可求得离心率，再求出点M到的距离，利用的面积即可求出a的值，即可求得双曲线方程.
【详解】由题意可知，
如图，因为，所以，
又，，结合，
可得，，
又，则，所以，则，
所以；
因为，到渐近线OM：的距离为，
因为，所以点M到的距离为b，
所以，所以，，
则C的方程为．
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式将式子展开变形约分得，再由角范围求解可得；
（2）利用余弦定理得，再由重要不等式求，结合，利用面积公式可求三角形面积最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，
则，可得，
因为，所以．
（2）因为，且，由余弦定理得，
即，
又由，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最大值为．
18．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解，
（2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解.
【详解】（1）由已知可设圆心，
圆C与直线：相切，且，
所以，
解得或（舍），
所以圆C的方程为．
（2）设圆心C到直线的距离为d，
则，，
即，解得，（舍去）
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
19．在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）因为，，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面ABE，
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，，
又因为，所以两两互相垂直，
以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
图5
由，，，可得，
则，，，，，
所以，，
所以直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，
不妨取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线AE与平面AFC所成角的正弦值为．
20．若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为．
(1)求C的标准方程；
(2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，证明为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线定义结合P到抛物线焦点的距离，列式求出p，即可求得答案；
（2）设直线方程，并联立抛物线方程，可得根与系数关系式，求出的表达式，结合根与系数关系式化简，即可证明结论.
【详解】（1）抛物线（）的准线l的方程为，
根据抛物线的定义知点P到C的焦点的距离即为点P到准线l的距离，
所以，解得，
所以C的标准方程为．
（2）证明：显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，，
联立，可得，
所以，，，
又，
同理，
所以
，
所以为定值．
21．已知在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．
(1)证明：；
(2)设D为棱上的点，当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面夹角结合二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，
∴底面，
∵底面，
∴，
∵，，
∴，
又，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
（2）以B为坐标原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
图6
则，，，，，，，．
由题设（）．设平面的法向量为，
易知，，
所以，即，
令，则，
因为平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则，
当时，取最小值为，
此时取最大值为，
所以，此时．
22．已知椭圆C：的一个焦点为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值．
【答案】(1)；
(2)最大值为，．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式计算即可.
【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意得，
所以椭圆C的方程为；
（2）如图，设，，
图7
由，得，
因为直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，
所以，解得，
所以，，
所以
，
因为点O到直线l的距离为，
所以的面积为
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为，此时．
一、单选题
1．已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据补集的定义求出，再根据集合间的包含关系即可求得实数m的取值范围．
【详解】因为，所以，
又，且，所以，得到．
故选：A．
2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义及四则运算计算即可.
【详解】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以，
所以.
故选:A．
3．若直线：与：平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线平行可得参数的值，然后根据平行线间距离公式即得.
【详解】直线：与：平行，则，解得，
故：与：之间的距离，
故选：C．
4．过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质及弦长公式计算即可.
【详解】由圆，可得圆心坐标为，
根据圆的性质可知：当时，此时弦长最短，
因为，所以直线l的斜率为.
故选:D．
5．双曲线（，）的离心率为2，则此双曲线的渐近线的倾斜角可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的离心率可得，进而由渐近线斜率即可求解.
【详解】∵双曲线（，）的离心率为2，
∴，∴，∴此双曲线的渐近线的斜率为，
∴此双曲线的渐近线的倾斜角是或，
故选：B．
6．抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线上，且，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则（ ）
A．B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据定义得出，再应用中点结合图形特征计算即可.
【详解】如图，过点M作轴于点A，交抛物线的准线于点B，由题意得，设，
由抛物线定义可知，，因为M为线段FN的中点，所以，
所以，将其代入可得：，解得.
故选：D.
7．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，可得其模长，计算出，根据空间距离的向量求法，即可得答案.
【详解】直线l的方向向量为，且l过点，
又点，则，则，
又∵，
∴则点，到l的距离为，
故选：C．
8．在椭圆中，已知焦距为4，椭圆上的一点P与两个焦点，的距离的和等于8，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意利用余弦定理求，结合面积公式运算求解.
【详解】由题意可知：，，，即，
在中，由余弦定理得：，
即，解得，则，
所以的面积，
故选：D．
二、多选题
9．已知，，，则（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【分析】根据空间向量的数量积公式可判断AC选项；根据共线向量的关系可判断B选项；根据投影向量的定义可判断D选项.
【详解】因为，，，
所以，所以不成立，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，同时显然，不共线，所以为锐角，故C错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD．
10．已知圆M的方程为，则关于圆M的说法正确的是（ ）
A．圆心M的坐标为
B．点在圆M内
C．直线被圆M截得的弦长为
D．圆M在点处的切线方程为
【答案】ABD
【分析】由圆的标准方程即可判断A，根据点与圆的位置关系即可判断B，根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C，根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D.
【详解】由圆M的方程为，知其圆心为，半径为1，故A正确；
点到点的距离为，故B正确；
点到的距离为，所以，故C错误；
因为，所以点在圆M上，
而点与圆心在垂直于坐标轴x的直线上，
所以圆M在点的切线直线与轴平行，其方程为，故D正确.
故选：ABD．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．为奇函数
C．在定义域上是减函数
D．的值域为
【答案】ABC
【分析】根据对数函数的定义域，奇函数的定义，复合函数的单调性，举反例依次判断各选项即可.
【详解】因为，
对于A，由，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，即为奇函数，故B正确；
对于C，，
而在上单调递减，在其定义域上单调递增，
根据复合函数的单调性可知在定义域上是减函数，故C正确；
对于D，因为，
所以的值域不可能为，故D错误.
故选：ABC．
12．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，若，则（ ）
A．B．的面积等于
C．直线l的斜率为D．C的离心率等于
【答案】AD
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B错误；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.
【详解】由，不妨设，，，
又，可得，
利用椭圆定义可知，所以可得，
即，所以点P即为椭圆的上顶点或下顶点，
如图所示，由，，，可知满足，
所以，故A正确；
所以为等腰直角三角形，且，
因此的面积为
，故B错误；
此时可得直线l的斜率，故C错误；
在等腰直角中，易知，即可得，故D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ．
【答案】
【分析】由圆的标准方程可得半径与圆心，由点线距离公式用表示弦心距，利用勾股定理表示半弦长，由弦长为建立方程，求解即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
由题意弦的长为，
则，则，解得．
故答案为：.
14．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ．
【答案】9
【分析】根据法向量的概念结合条件即得.
【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内，
所以，所以，
所以，解得．
故答案为：9.
15．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合图形及圆锥的性质可表示出的面积，进而可得底面圆的半径及圆锥的母线，然后根据圆锥的侧面积公式即得.
【详解】∵与圆锥底面所成角为，如图设为圆锥的底面圆的圆心，则垂直底面，
∴为等腰直角三角形，
设，则，，
在中，，则，
∴，解得，
∴，即母线长，
∴该圆锥的侧面积为．
故答案为：.
四、双空题
16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以为直径的圆与C在第二象限内相交于点A，与C的渐近线在第一象限内相交于点M，且，则C的离心率为 ；若的面积为8，则C的方程为
【答案】
【分析】由题意推出，结合可得，，利用双曲线定义即可求得的关系，即可求得离心率，再求出点M到的距离，利用的面积即可求出a的值，即可求得双曲线方程.
【详解】由题意可知，
如图，因为，所以，
又，，结合，
可得，，
又，则，所以，则，
所以；
因为，到渐近线OM：的距离为，
因为，所以点M到的距离为b，
所以，所以，，
则C的方程为．
故答案为：；.
五、解答题
17．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用两角差的余弦公式将式子展开变形约分得，再由角范围求解可得；
（2）利用余弦定理得，再由重要不等式求，结合，利用面积公式可求三角形面积最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，
则，可得，
因为，所以．
（2）因为，且，由余弦定理得，
即，
又由，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
即的面积的最大值为．
18．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解，
（2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解.
【详解】（1）由已知可设圆心，
圆C与直线：相切，且，
所以，
解得或（舍），
所以圆C的方程为．
（2）设圆心C到直线的距离为d，
则，，
即，解得，（舍去）
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
19．在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）因为，，所以，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面ABE，
所以平面．
（2）因为平面，平面，
所以，，
又因为，所以两两互相垂直，
以B为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
图5
由，，，可得，
则，，，，，
所以，，
所以直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，
不妨取，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线AE与平面AFC所成角的正弦值为．
20．若抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为．
(1)求C的标准方程；
(2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B点，证明为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线定义结合P到抛物线焦点的距离，列式求出p，即可求得答案；
（2）设直线方程，并联立抛物线方程，可得根与系数关系式，求出的表达式，结合根与系数关系式化简，即可证明结论.
【详解】（1）抛物线（）的准线l的方程为，
根据抛物线的定义知点P到C的焦点的距离即为点P到准线l的距离，
所以，解得，
所以C的标准方程为．
（2）证明：显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，，
联立，可得，
所以，，，
又，
同理，
所以
，
所以为定值．
21．已知在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，．
(1)证明：；
(2)设D为棱上的点，当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面垂直证线线垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面夹角结合二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）∵三棱柱是直三棱柱，
∴底面，
∵底面，
∴，
∵，，
∴，
又，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴．
（2）以B为坐标原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
图6
则，，，，，，，．
由题设（）．设平面的法向量为，
易知，，
所以，即，
令，则，
因为平面的法向量为，
设平面与平面DEF的二面角的平面角为，
则，
当时，取最小值为，
此时取最大值为，
所以，此时．
22．已知椭圆C：的一个焦点为，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时t的值．
【答案】(1)；
(2)最大值为，．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及基本不等式计算即可.
【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意得，
所以椭圆C的方程为；
（2）如图，设，，
图7
由，得，
因为直线l：（）与椭圆C交于M，N两点，
所以，解得，
所以，，
所以
，
因为点O到直线l的距离为，
所以的面积为
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为，此时．
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