江西省抚州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量监测数学试题

这是一份江西省抚州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量监测数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用交集的概念求解即可.
【详解】，又，
.
故选：D
2. “”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.
【详解】，或，
可以推出或，
当或不能推出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知是定义域为的偶函数，则（ ）．
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数性质列方程求出，代入计算即可.
【详解】由是定义域为的偶函数得
，解得，
.
故选：B.
4. 在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（ ）次区间中点的函数值．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据二分法的性质可知，开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，根据精确度即可求得关于的不等式，从而得到答案.
【详解】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，
经过次二分法计算后，区间长度变为，
又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，
所以，则，又，所以，又，故，
所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．
故选：C.
5. 函数的图像大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像.
【详解】函数，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除AB选项；
当时，，排除D选项；
故选：C
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.
【详解】函数中，
在上单调递减，在上单调递减，且，
则函数在定义域上单调递减，
，
，解得：，
即不等式的解集为.
故选：D.
7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出五个三角板的面积，且得出总面积为，5个三角形中任取出3个的取法有10种，3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和即是3个三角形的面积之和不大于，由此得出对应取法种数，即可得出答案.
【详解】五个等腰三角形的面积由大到小分别为：1号板，2号板，3号板，4号板，5号板，
5个三角形中任取出3个的取法有种，其中3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的取法有：145、245、345三种取法，故若该同学从5个三角形中任取出3个，则这3个三角形的面积之和不大于另外2个三角形面积之和的概率是.
故选：C
8. 对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．
【详解】，函数定义域为，
任取，有，，，
则，即，所以在上单调递增，
由，∴只有一个零点，
函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．
，解得或
（1）当，即 ，存在唯一零点，时， 符合题意；时，不符合题意；
（2）当，即 或 ，，；，；
若在 上只有1个零点，则，
即，解得．
若在 上有两个零点，则 ，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）．
A. B. C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案.
【详解】由题意得：，成立是真命题，
故在上恒成立，
由基本不等式得：，当且仅当，
即时，等号成立，
故，
故选：B.
10. 已知一组不全相等的数据的平均数为，若在这组数据中添加一个数据，得到一组新数据，则（ ）
A. 这两组数据的平均数相同B. 这两组数据的中位数相同
C. 这两组数据的极差相同D. 这两组数据的标准差相同
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数的计算即可判断A正确；举例数据判断B；根据极差的计算方法说明判断C; 根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D.
【详解】对于A选项，，，，
，平均数不变，所以A选项正确；
对于B选项，取一组数据，中位数为7，平均数为，
加上一个，中位数为，所以B选项错误；
对于C选项，数据不全相等时，既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C选项正确；
对于D选项，原来数据的方差，
后来数据的方差，因为方差不相等，所以标准差也不相同，所以D选项错误.
故选：AC.
11. 设，，，以下四个命题中正确的是（ ）．
A. 若为定值，则有最大值
B. 若，则有最大值4
C. 若，则有最小值4
D. 若总成立，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】对A，利用均值不等式判断；对B，C构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正确.
【详解】为定值时，应有最小值，∴A不正确；
当时，
，∴B不正确；
，
当且仅当，等号成立，∴C正确；
由，又，
∴，∴，∴D正确．
故选：CD.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.
12. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（ ）
A. 若为“函数”，则
B. 函数在上是“函数”
C. 函数在上是“函数”
D. 若为“函数”，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.
【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；
B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，
设，，则，，与（2）不符，故B不正确；
C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；
D选项，∵，
∴
，
∵，∴，∴，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.
13. 幂函数在区间上单调递增，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得.
故答案为：.
14. 函数的单调递增区间为______
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.
【详解】令，解得或，
故函数的定义域为.
∵R上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为.
故答案为：.
15. 已知，若，则___________.
【答案】8
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
16. 已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由已知可得有两组解，分析函数的性质，作函数的图象，结合图象确定2必须为方程（）的一个解，由此确定的值.
【详解】令，
则方程可化为
因为方程恰有2个不同实数解，
所以有两组解，
因为，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，.
所以当时，，又函数为偶函数，
所以，
作函数的图象如下，
所以当时，没有解，
当时，有两个解，
当时，有四个解，
当时，有没有解，
因为有两组解，
2必须为方程（）的一个解，
所以，故,
当时，由可得
所以或，满足条件；
所以，
故答案为：4.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，
【解析】
【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；
（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选③，分析可得，同①.
【小问1详解】
解：当时，，或，
所以，，因此，.
【小问2详解】
解：若选①，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选②，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选③，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，.
18. 已知定义域为R的函数（a为常数）是奇函数．
（1）求实数a的值，并用定义证明的单调性；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；单调性的证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义计算可得的值，再任取，通过计算的正负可得单调性；
（2）先利用奇函数将不等式变形为，再利用单调性去掉，然后解二次不等式即可.
【小问1详解】
函数（a为常数）是奇函数，
，
，得，
，
，
任取，
则，
，，即，
，即，
为上的单调递减函数；
【小问2详解】
由（1）得，
，
解得或
即不等式的解集为.
19. 新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权．新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考历史的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次历史测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值并估计这100名学生本次历史测试成绩的中位数．
（2）据调查，本次历史测试成绩不低于60分的学生，高考将选考历史科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考历史科目．按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据和频率总和为1计算出a的值；频率分布直方图中中位数左右两边的直方图面积相等都为0.5，由此列式即可计算出中位数；
（2）根据频率分布直方图计算出成绩在，的学生频数，根据分层抽样规则计算出对应区间人数，最后列式计算或用列举法即可得出答案.
【小问1详解】
，解得
设中位数为x，因为学生成绩在的频率为，在的频率为
所以中位数满足等式，解得
故这100名学生本次历史测试成绩的中位数为.
【小问2详解】
成绩在的频数为
成绩在的频数为
按分层抽样的方法选取5人，则成绩在的学生被抽取人，在的学生被抽取人
从这5人中任意选取2人，都不选考历史科目的概率为，故这2人中至少有1人高考选考历史科目的概率为.
20. 已知函数．
（1）设，求函数的值域；
（2）函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式，由指数函数的值域求函数的值域；
（2）根据对称和平移，得到函数的解析式，原不等式转化为二次函数在区间内小于等于0恒成立问题，结合二次函数的图像与性质求解.
【小问1详解】
，，
由，， 的值域为.
【小问2详解】
，函数的图像与函数的图像关于对称，则，
函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，则，
当，有，则，令，
任意的，恒成立，即任意的，恒成立，
设，则有，解得，实数m的取值范围为.
21. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价P(x)（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（常数.该款冰雪运动装备的日销售量Q(x)（套）与时间x的部分数据如下表所示：
已知第24天该商品的日销售收入为32400元.
（1）求k的值；
（2）给出以下两种函数模型：①；②，请你依据上表中的数据，从以上两种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来描述该商品的日销售量Q（x）与时间x的关系，说明你选择的理由.根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（元）在哪一天达到最低.
【答案】（1）；
（2）②，理由见解析；第3天达到最低.
【解析】
【分析】（1）将代入即可得出答案；
（2）根据表中数据结合三个模型应选模型②，将，代入模型②，求对应模型解析式，检验即可得出结论，再根据结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
由题意，得，解得；
【小问2详解】
表格中对应的数据递增速度不符合指数模型，排除模型①．
对于模型②，将，代入②，，解得，
此时，经验证，均满足，故选模型②，
，
当且仅当时等号成立，故日销售收入第3天达到最低．
22. 已知函数
（1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
（2）已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）
（2）①；②的值为或5
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.
【小问1详解】
解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
【小问2详解】
解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：值为或5x
3
8
15
24
Q（x）（套）
12
13
14
15