2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（二）

这是一份2024年长沙市中考数学一轮模拟卷（二），共26页。试卷主要包含了注意卷面整洁，下列运算中正确的是，下列结论等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．如果a与互为相反数，那么a等于
A．B．3C．D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．太阳从东方升起B．汽车累计行驶1万千米，从未出现故障
C．姚明在罚球线上投篮一次，投中D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
3．下列选项中的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（ ）
A．B．C．D．
6．在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，点，，的图象如图所示，则a的值可以是（ ）
A．2B．C．D．0.1
8．现有5张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，2张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③把1.804精确到0.01约等于1.80；④；⑤式子的最大值是6，其中正确的个数有（ ）
A．3个B．2个C．5个D．4个
10．如图，矩形中，，分别为，的中点，且，，则的长为（ ）
A．B．C．3D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．已知扇形的面积为，圆心角为120°，则它的半径为 ．
13．某中学进行“优秀班级”评比，将品德操行，纪律，卫生评比三项按4：3：3的比例确定班级成绩．若九（1）班这三项的成绩分别为90分，83分，87分，则九（1）班的最终成绩是 分．
14．如果一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形是 ．
15．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程 ．
16．如图，四边形为菱形，，延长到E，在内作射线，使得，过点D作，垂足为F．若，则对角线的长为 ．

三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，已知直线l及直线l外一点P，按照如下步骤进行尺规作图：
①在直线l上取一点A，连接；
②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B；
③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．

根据上述尺规作图的步骤和痕迹，请回答下列问题：
(1)下列结论不一定成立的是（ ）
A．垂直平分 B．M是的中点 C．
(2)若，求的长．
20．六月是毕业的季节，师梅九年级某班老师为了给班级准备纪念品，对学生喜欢的纪念品类型做了全面调查，为方便统计，笔、笔袋、相册、班服、胸章分别标记为序号1~5，下面是该班对各类纪念品喜爱情况的扇形统计图和不完整的条形统计图：
请根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
(1)该班的总人数为________人；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“笔”部分的圆心角度数；
(3)若九年级组想效仿此班做法，向全年级学生发放此五种类别的纪念品，已知该年级共有600人，请你依据此班的数据估算全年级学生喜欢“笔袋”纪念品的人数．
21．湘江流经永州、衡阳、株洲、湘潭、长沙等市，至岳阳注入洞庭湖，干流全长844公里，是湖南省内最大的河流，在一次数学活动课上，老师带领学生去测量湘江某段的宽度（假设两岸是平行的），如图所示，某学生在河东岸点A处观测河对岸水边点C，测得C在A北偏西的方向上，沿河岸向北前行400米到达B处，测得C在B北偏西的方向上．
(1)求的长；
(2)求此段湘江的宽度．（结果精确到，参考数据：，）．
22．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
23．如图，在和中，，，与交于点．

(1)求证：；
(2)将关于所在直线翻折，得到，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)若平分，，，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点，点是双曲线上的动点，横坐标为，作轴交直线于点，连接、．

(1)求a、b的值；
(2)求的面积与的函数关系式，并求的最大值；
(3)当四边形为平行四边形时，连接，并将直线向上平移个单位后与反比例函数的图象交于、两点，与直线交于点，设、、三点的横坐标分别为、、，是否存在正实数使得等式成立，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．
25．抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是的外接圆圆心．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；
(3)如图2，作轴于点H，延长交于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．
参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的性质即可解答．
【详解】由题意可得： ，解得 ．
故选B.
【点睛】本题主要考查相反数的性质（互为相反数的两个数相加等于0），熟记和掌握相反数的性质是解题关键．
2．A
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A、太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
B、汽车累计行驶1万千米，从未出现故障，是随机事件，不符合题意；
C、姚明在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．B
【分析】利用合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，故选项A不符合题意；
B、，故选项B符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、与不能合并，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
5．A
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看得到的图形是A表示的图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
6．B
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
【详解】解：∵，
∴函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵，
∴点，在第二象限，点在第四象限，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小．正确判断出反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大是解题关键．
7．B
【分析】分析题中图形，可判断点，均在的图象的外面，即当时，抛物线上对应的函数值，当时，抛物线上对应的函数值，据此转化为解不等式组即可.
【详解】当时，
当时，
故选B
【点睛】本题考查二次函数图象基本性质、点在坐标系中的坐标特征、点在图像外等知识，掌握采用数形结合方法解题是关键.
8．B
【分析】利用树状图列举出所有等可能的结果，再求两张卡片正面图案相同的概率．
【详解】解：令3张卡片正面上的图案是“”的为A1，A2，A3，2张卡片正面上的图案是“”的为B1，B2，画树状图如下：
所有机会均等的结果共20种，其中两张卡片正面图案相同的情况有8种
即两张卡片正面图案相同的概率P=
故选：B．
【点睛】本题考查利用树状图或列表法求概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．A
【分析】根据乘方定义可判定①；根据相反数性质可计算得，从而可判定②；由近似数的精确度可求得近似数从而可判定③；根据合并同类项法则计算并判定④；根据绝对值的非负性可得式子的最小值是6，从而可判定⑤．
【详解】解：的底数是2，故①错误；
若有理数a，b互为相反数，那么，故②正确；
把1.804精确到0.01约等于1.80，故③正确；
化简合并同类项得0，故④正确；
式子的最小值是6，故⑤错误，
则其中正确的个数3个，
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及绝对值的性质，近似数的求解，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
10．D
【分析】根据矩形的性质可得 ， ， ，
从而，设 ，则 ， ，可得，解出 ，最后在 中，利用勾股定理，即可解答．
【详解】解：在矩形中，，
∴ ， ， ，
∵，分别为，的中点，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得： 或（舍去），
∴ ，
在 中， ．
故选：D
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，找到相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
11．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
12．3
【详解】解：设半径为r，由题意，得
πr2×=3π，
解得r=3，
故答案为3．
13．87
【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可得答案．
【详解】九（1）班的最终成绩是：
（分），
故答案为：87．
【点睛】本题考查加权平均数的计算．在计算加权平均数时，需要突破解题过程中的两个“坎儿”：（1）能根据题意分辨出所计算的平均数是加权平均数；（2）能正确确定有关数据的权．
14．正八边形
【分析】根据正多边形的外角和为即可求出正多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴它的每一个外角为45°．
又因为多边形的外角和恒为360°，
360°÷45°＝8，
即该正多边形为正八边形．
故答案为：正八边形．
【点睛】本题主要考查正多边形的外角和，掌握正多边形的外角和是解决问题的关键．
15．25(1－x)²＝16
【详解】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量×=增长后的数量，降低前数量×=降低后的数量，故本题的答案为：
16．
【分析】如图所示，过点作于点，根据菱形的性质可得是等腰三角形，根据平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，可证，，再根据是等腰三角形，是的中线，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵四边形为菱形，，
∴对角线平分，，，
∴，，是等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是的中线，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
17．
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值．解题的关键是掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，正确的计算．
18．；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
19．(1)B
(2)
【分析】（1）根据作法知垂直平分，根据B、Q在上，得到垂直平分；推出A正确；根据只有时，M才是的中点，推出B不正确；根据作图知，，，，推出，得到，推出，推出C正确；
（2）连接，，根据， ，得到，推出为等边三角形，推出，推出，得到．
【详解】（1）由作法得垂直平分，
∵B、Q在上，
∴垂直平分；
∴A正确；
只有当时，M是的中点 ，
∴B不正确；
由作图知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴C正确．
故选：B．
（2）连接，，如图，

∵，若，
则，此时为等边三角形，
则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线，等边三角形，含30°直角三角形．熟练掌握基本作图，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30°直角三角形边的性质，是解决问题的关键．
20．(1)50
(2)见解析，72°
(3)240人
【分析】（1）用“班服”的人数除以其占被调查人数的百分比即可得总人数；
（2）用总人数分别减去其它四类人数可得喜欢“相册”的人数，进而补全图形；用乘“笔”部分人数所占百分比可得扇形统计图中“笔”部分的圆心角度数；
（3）用样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解：该班的总人数为：（人，
故答案为：50；
（2）解：喜欢“相册”的人数为：（人，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中“笔”部分的圆心角度数为：；
（3）解：（人），
答：全年级学生喜欢“笔袋”纪念品的人数大约240人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．(1)米
(2)约米
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，由题意得，，则，即可得米．
（2）在中，，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
由题意得，，，米，
，
，
米．
即的长为400米．
（2）解：由（1）得，米，
在中，，
解得．
此段湘江的宽度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
22．(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)共有4种购买方法，方案1：购买10头牛，10只羊；方案2：购买9头牛，11只羊；方案3：购买8头牛，12只羊；方案4：购买7头牛，13只羊．
【分析】（1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买头牛，则购买只羊，利用羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，列出关于的不等式组，结合为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
（2）解：设购买头牛，则购买只羊，
依题意得：，
解得：．
为整数，
有4种方案：①购买7头牛，购买13只羊；
②购买8头牛，购买12只羊；
③购买9头牛，购买11只羊；
④购买10头牛，购买10只羊．
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题转化为方程思想求解．
23．(1)见解析
(2)四边形的形状为菱形；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据直接证明；
（2）根据，可得，进而可得，根据翻折的性质可得：，，即可得出结论；
（3）连接交于点，过点作交的延长线于点．利用面积法证明，再利用全等三角形的性质证明，，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：如图，在和中，
，
；
（2）四边形的形状为菱形；理由如下：
，
，
，
根据翻折的性质可得：，
，
四边形为菱形
（3）如图，连接交于点，过点作交的延长线于点．

四边形是菱形，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，，
（），
，即点，点重合，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
24．(1)，；
(2)，有最大值；
(3)存在，．
【分析】（1）将代入，求出的值，将代入，求的值即可；
（2）由题意可得，，可求，则当时，有最大值；
（3）由四边形为平行四边形，求出，再由待定系数法求直线的解析式，则平移后的直线解析式为，联立方程组，根据根与系数的关系可得，再联立方程组，可求，则，由题意可得方程，求的值即可．
【详解】（1）解：在直线上，
，
，
将点代入，
；
（2）解：点横坐标为，
，
轴，
，
，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在正实数使得等式成立，理由如下：
四边形为平行四边形，
，
令，则，
，
，
，
解得或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
平移后的直线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
，，
，
联立方程组，
解得，
，
，
，
，
解得或，
是正实数，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，一元二次方程根与系数的关系．
25．(1)
(2)圆心E的坐标为
(3)点Q在这个运动过程中的路径长为4．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，则点P的坐标可得，连接，设抛物线的对称轴交x轴于点F，设的半径为r，则，，利用勾股定理列出方程求得r值，则可求，结论可得；
（3）设，则，，，，利用点的坐标表示出线段，的长度，证明，利用三角形相似的性质求得的长度，从而得到点Q的运动轨迹，结论可求．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
当P为抛物线的顶点时，，
连接，设抛物线的对称轴交x轴于点F，如图，

∵，
，．
，
，
．
设的半径为r,则，
，
，
，
解得：，，
；
（3）解：如图，连接

∵点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），
∴设，则，，
，，
∵，，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，点Q在这个运动过程中到x轴的距离是定值2，
∴点Q的运动轨迹为平行于x轴且到x轴的距离为2的一条线段，如图中的线段，

此时，，
∴点Q在这个运动过程中的路径长为4．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点与对称轴，圆的有关性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，点的轨迹，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
题号
一
二
三
总分
得分