2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程x2−2x−6=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为0D. 没有实数根
2.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的( )
A. 左视图会发生改变，其他视图不变
B. 俯视图会发生改变，其他视图不变
C. 主视图会发生改变，其他视图不变
D. 三种视图都会发生改变
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米1785石，验得米内夹谷，抽样(取米)一把，数得378粒内夹谷18粒，则该人送来的这批米内夹谷约为( )
A. 85石B. 95石C. 100石D. 105石
4.在下列说法中“
①凡正方形都相似；
②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；”中，
正确的个数有个.( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1，最大值是2B. 对称轴是直线x=1，最小值是2
C. 对称轴是直线x=−1，最大值是2D. 对称轴是直线x=−1，最小值是2
6.一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其4个白球，3个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为( )
A. 58B. 12C. 38D. 18
7.如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是( )
A. ∠O+∠P=90∘B. ∠O+∠P=∠OMP
C. OM2+PM2=OP2D. 点N是OP的中点
8.如图所示，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，DF=8，则DE的长为( )
A. 4
B. 4.5
C. 4.8
D. 5
9.如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，点B是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A. AB=OC
B. AC=2AB
C. 12∠ABC+∠BOC=90∘
D. ∠ABC+∠BOC=180∘
10.在阳光的照射下，一块三角尺的投影一定不会是( )
A. 线段B. 与原三角尺全等的三角形
C. 与原三角尺不全等的三角形D. 点
11.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，则k的值可能是( )
A. 1
B. 2.5
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.将二次函数y=x2的图象先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的函数图象的解析式为______ .
18.如图所示，在某点光源下有两根直杆MH，NI垂直于平整的地面，甲杆MH的影子为MJ，乙杆NI的影子一部分落在地面上的NG处，一部分落在斜坡GL上的GK处.
①点光源所在的位置是______ (从A，B，C，D中选择一个)；
②若点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，斜坡GL与地面的夹角为30∘，NG=1米，GK= 33米，则乙杆NI的高度为______ 米.
19.如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，相交于点P.若⊙O的半径为1，则AC=______ ，∠APD=______ 度，△ABC的面积为______ .
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
(1)计算：tan45∘−2sin30∘+ 3cs60∘.
(2)解方程：x2+2x−3=0.
21.(本小题10分)
已知反比例函数y=k−1x(k为常数，k≠1).
(1)若该反比例函数的图象与直线y=−x有一个交点为P(−3,y1)，求k的值；
(2)在(1)的条件下，设点Q(t,y2)为该反比例函数图象上的一点，且t>0，请比较与y2的大小关系.
22.(本小题9分)
如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH=CD=8，求⊙O的面积.
23.(本小题10分)
如图所示，是一个迷宫示意图，嘉嘉和淇淇分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择可能会随机进入A，B，C三个房间中的某一个.
(1)嘉嘉进入A房间的概率为______ ；
(2)请用画树状图或列表等方法，求出两人在走迷宫结束后，B房间至少有1个人的概率.
24.(本小题10分)
已知，如图所示，⊙O的半径是1，点A，B，C在⊙O上.
(1)尺规作图(要求：保留作图痕迹，不用写出作法和证明过程)：
①在劣弧BC上找一点D，使△OBD是等边三角形；
②在劣弧AC上找一点E，使AE= 2.
(2)在(1)的基础上，连接AD，BE，设它们交于点P，求∠APB的大小.
(3)过点B作⊙O的切线QB，设∠AOB=α，∠QBA=β，请直接写出α与β的数量关系.
25.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3 3,3)，点M(t,0)是横轴上的一点，点N在y轴上，且∠MPN=90∘，0≤t≤4 3.
(1)当t=0时，点N的纵坐标为______ ；当t=4 3时，点N的纵坐标为______ .
(2)①当00⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ0、c0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，
结合图象可得：当双曲线y=kx(x>0)恰好经过点(3,1)时，k取临界值3，当双曲线y=kx(x>0)恰好经过点(2,1)时，k取临界值2，
∴双曲线y=kx(x>0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，
∴k的范围为：2≤k0时，y2=−8−1x=−9t0，
∴y1>y2.
【解析】(1)先求出y1=−x=−(−3)=3，得到P(−3,3)，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案；
(2)当t>0时，y2=−8−1x=−9t0，即可得出答案．
本题考查反比例函数与一次函数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接OC，
设⊙O的半径为r，则OH=AH−OA=8−r，
∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CH=DH=12CD=12×8=4，
在Rt△OHC中，有OC2=OH2+CH2，
即r2=(8−r)2+42，
解之，得r=5，
所以，⊙O的面积为S⊙O=25π.
【解析】连接OC，设⊙O的半径为r，则OH=AH−OA=8−r，根据垂径定理得出CH=DH=12CD=12×8=4，再利用勾股定理得出r2=(8−r)2+42，求解即可得出答案．
本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】13
【解析】解：(1)嘉嘉进入A房间的概率为13.
故答案为：13.
(2)列表如下(其中，嘉嘉所在房间写在前面，淇淇所在房间写在后面)：
由表格可知，共有9种等可能性发生的结果，其中B房间至少有1个人的结果共有5种，
所以B房间至少有1个人的概率为：P=59.
(1)根据概率公式进行计算即可；
(2)先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了根据概率公式计算，列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．
24.【答案】解：(1)①如图所示，点D即为所求作：
②如图所示，点E即为所求作：
(2)∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
在等边三角形OBD中，∠ODB=60∘.
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴∠AOE=90∘，∠OAE=45∘.
∴∠APB=∠PAE+∠AEB
=(∠OAE+∠OAD)+∠AEB
=(∠OAE+∠ODA)+∠ADB
=∠OAE+(∠ODA+∠ADB)
=∠OAE+∠ODB
=45∘+60∘=105∘.
(3)α=2β，理由如下：
如图，连接BG，则∠ABG=90∘，即∠ABO+∠OBG=90∘，
∵OB=OG
∴∠OBG=∠OGB
∴∠AOB=∠OBG+∠OGB=2∠OBG，
又BQ是⊙O的切线，
∴OB⊥BQ，即∠OBQ=90∘，
∴∠ABO+∠ABO=90∘
∴∠OBG=∠ABQ，
∴∠AOB=2∠ABQ，
∵∠AOB=α，∠QBA=β，
∴α=2β.
【解析】(1)①以点B为圆心，OB为半径画弧交劣弧BC于点D，连接OD，BD，则△OBD是等边三角形；②过点O作OA的垂线交劣弧AC于点E，连接AE，则△AOE是等腰直角三角形，从而可得AE= 2；
(2)根据∠APB=∠PAE+∠AEB=∠OAE+∠ODB可得结论；
(3)连接BG，则∠AGB=90∘，∠OGB=∠OBG，由构型外角的性质可得∠AOB=2∠OBG，由切线的性质可得∠ABO+∠ABQ=90∘，可得∠ABQ=∠OBG，从而可得结论．
本题主要考查了基本作图，圆周角定理以及切线的性质，正确作图是解答本题的关键．
25.【答案】12 0
【解析】解：(1)如图，连接PO，过点P作PA⊥x轴于点A，截取AC= 3，连接PC，
∵点P的坐标为(3 3,3)，
∴OA=3 3,PA=3,OC=4 3,PC= 32+( 3)2=2 3，OP= 32+(3 3)2=6，
∴∠POA=30∘，∠PON=60∘，
∵OP2+PC2=62+(2 3)2=48=(4 3)2=OC2，
∴∠OPC=90∘，
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，
∴∠ONP=30∘，
∴ON=2PO=12；
故纵坐标为12；
当t=4 3时，点M与点C重合，点N与原点重合，
∴故纵坐标为0；
故答案为：12，0；
(2)①嘉嘉同学的说法正确，PMPN= 33.理由如下：
如上图，过点P作PB⊥y轴于点B，
则四边形APBO是矩形，
∴PB=AO=3 3,∠BPA=90∘,∠PBN=90∘，
∵∠MPN=90∘，
∴∠APM=90∘−∠BPM=∠BPN，
∴△APM∽△BPN，
∴PMPN=APBP=33 3= 33.
②淇淇同学的说法正确，理由如下：
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，
∴∠ONP=30∘，
∴ON=2PO=12,PN= 122−62=6 3，
∴PMPN=OPPN=66 3= 33.
当t=4 3时，点M与点C重合，点N与原点重合，
∴PMPN=PCPO=2 36= 33；
(3)如上图，连接OT，PT，
∵∠MPN=∠MON=90∘，MT=NT=12MN，
∴OT=PT=12MN，
∴点T在线段PO的垂直平分线上，
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到MN=ON=12，
此时点T与ON的中点E重合；
∴OE=12ON=6，
当t=4 3时，点N与原点重合，此时点T与OC的中点D重合，且OD=12OC=2 3；
∴点T的运动路径长就是线段DE的长，
∴DE= OE2+OD2= 62+(2 3)2=4 3.
(1)如图，连接PO，过点P作PA⊥x轴于点A，截取AC= 3，连接PC.根据点P的坐标为(3 3,3)，确定，OC=4 3,PC= 32+( 3)2=2 3；OP= 32+(3 3)2=6，∠POA=30∘，∠PON=60∘，证明△OPC是直角三角形，当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到ON=2PO；当t=4 3时，点N与原点重合，计算即可；
(2)①如图，连接PO，过点P作PB⊥y轴于点B，易证四边形APBO是矩形，得到PB=AO=3 3,∠BPA=90∘,∠PBN=90∘，结合∠MPN=90∘，得到∠APM=90∘−∠BPM=∠BPN，证明△APM∽△BPN即可．
②根据特殊位置的特殊直角三角形计算即可；
(3)连接OT，PT，根据直角三角形的性质得到OT=PT，故判定点T在线段PO的垂直平分线上，当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到MN=ON=12，此时点T与ON的中点E重合；当t=4 3时，点N与原点重合，此时点T与OC的中点D重合，且OD=12OC=2 3；点T的运动路径长就是线段DE的长，利用勾股定理计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由B(5,0)，得OB=5，
∵tan∠OBC=OCOB，即tan45∘=OC5=1，
∴OC=5，C(0,−5)，
∴把B(5,0)，C(0,−5)代入y=ax2−23x+c，
得25a−103+c=0c=−5，
解之，得a=13，c=−5，
∴抛物线的解析式为y=13x2−23x−5，
(2)解：令0=13x2−23x−5，得x1=5，x2=−3，
∴A(−3,0)，
∵y=13x2−23x−5=13(x−1)2−163，
∴抛物线的顶点为(1,−163)，在第四象限，
∴当△PAB面积的最大时，点P为抛物线的顶点，
∴此时，S△PAB=12⋅AB⋅|yP|=12×[5−(−3)]×163=643，
(3)解：过点P作PM//BC，交x轴于点M，
设直线PM的解析式为y=x+b，则M(−b,0)，
∴−b>5，
∵AQ=k⋅PQ，
∴k=AQPQ=ABBM=8−b−5，
∴由y=13x2−23x−5y=x+b，
∴得x2−5x−15−3b=0，
∴由Δ=(−5)2−4×1×(−15−3b)≥0，得−b≤8512，
∴则0