2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.彩民李大叔购买1张彩票中奖．这个事件是( )
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
3.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. 200(1+x)2=242B. 200(1−x)2=242
C. 200(1+2x)=242D. 200(1−2x)=242
4.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
5.关于反比例函数y=6x，下列说法中不正确的是( )
A. 点(−2,−3)在它的图象上B. 图象关于直线y=−x对称
C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 它的图象位于第一、三象限
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠AOB=128∘，则∠P的度数为( )
A. 32∘
B. 52∘
C. 64∘
D. 72∘
7.某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2 3m，则改建后门洞的圆弧长是( )
A. 5π3m
B. 8π3m
C. 10π3m
D. (5π3+2)m
8.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A. 5
B. 6
C. 163
D. 173
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知点A(−2,b)与点B(a,3)关于原点对称，则a−b=______.
10.若反比例函数y=m−2x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是______.
11.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD=2：3，则△ABC与△DEF的面积比是______.
12.如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知AC=6cm，CB=8cm，则⊙O的半径为______cm.
13.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖(每次飞镖均落在纸板上)，击中阴影区域的概率是______.
14.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−3,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为______.
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题9分)
已知关于x的方程x2−(k+2)x+2k−1=0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根．
16.(本小题9分)
密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V(单位：m3)变化时，气体的密度ρ(单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式．
(2)当V=10m3时，求该气体的密度ρ.
17.(本小题10分)
如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB=∠DBA，连结BC，CD.
(1)求证：CD//AB.
(2)若AB=4，∠ACD=30∘，求阴影部分的面积．
18.(本小题10分)
在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y=x；②函数表达式为y=x2；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是______；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
19.(本小题10分)
(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE//BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG=EG.
(2)如图2，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．
20.(本小题10分)
现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：彩民李大叔购买1张彩票中奖．这个事件是随机事件，
故选：D.
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200(1+x)2=242，
故选：A.
设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数=第一天揽件数×(1+揽件日平均增长率)2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
4.【答案】A
【解析】【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表如下：
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为14，
故选：A.
5.【答案】C
【解析】解：A、当x=−2时，则y=6−2=−3，所以点(−2,−3)在它的图象上，故不符合题意；
B、由反比例函数y=6x可知图象关于直线y=−x对称，故不符合题意；
C、当x>0时，y随x的增大而减小，故符合题意；
D、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；
故选：C.
根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90∘，然后利用四边形的内角和是360∘进行计算即可．
【解答】
解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90∘，
∵∠AOB=128∘，
∴∠P=360∘−∠OAP−∠OBP−∠AOB=52∘.
故选：B.
【点评】
本题考查了圆的切线的性质及四边形的内角和，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD=2m，AD=2 3m，∠ADC=90∘，
∴AC= CD2+AD2=4(m)，
∴OD=OC=CD=2m，
∴∠DOC=60∘，
∴∠AOB=60∘，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300∘，
∴改建后门洞的圆弧长是：300π×2180=10π3(m)，
故选：C.
先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：∵CD//AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴AECE=ABCD=42=2，
∴S阴影=23S△ABC=23×12×4×4=163，
故选：C.
9.【答案】5
【解析】解：∵点A(−2,b)与点B(a,3)关于原点对称，
∴a=2，b=−3，
∴a−b=2+3=5，
故答案为：5.
根据关于原点对称的点的坐标特点，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．
10.【答案】m<2
【解析】解：∵反比例函数y=m−2x的图象经过第二、四象限，
∴m−2<0，
得：m<2.
故答案为：m<2.
由反比例函数图象经过第二、四象限，所以m−2<0，求出m范围即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟记“k>0时，图象位于一、三象限；k<0时，图象位于二、四象限”是解题关键．
11.【答案】4：25
【解析】解：∵OA：AD=2：3，
∴OA：OD=2：5，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴ABDE=OAOD=25，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：25，
故答案为：4：25.
根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质求出ABDE，再根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12.【答案】253
【解析】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，
∵长边与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵AC⊥BC，AD⊥OB，
∴四边形ACBD为矩形，
∴BD=AC=6cm，AD=BC=8cm.
设⊙O的半径为r cm，
则OA=OB=rcm，
∴OD=OB−BD=(r−6)cm，
在Rt△OAD中，
∵AD2+OD2=OA2，
∴82+(r−6)2=r2，
解得：r=253.
故答案为：253.
连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，利用矩形的判定与性质得到BD=AC=6cm，AD=BC=8cm，设⊙O的半径为rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，勾股定理，矩形的判定与性质，依据题意添加适当的辅助线是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，
根据题意图中阴影部分的面积为3，
则P(击中阴影区域)=39=13.
故答案为：13.
设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】x1=−3，x2=1.
【解析】解：因为抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−3,4)，B(1,1)，
所以关于x的方程ax2=bx+c的解为x1=−3，x2=1，
即关于x的方程ax2−bx−c=0的解为x1=−3，x2=1.
故答案为−3、1.
根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．
本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．
15.【答案】(1)证明：由于x2−(k+2)x+2k−1=0是一元二次方程，
Δ=b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×(2k−1)=k2−4k+8=(k−2)2+4，
无论k取何实数，总有(k−2)2≥0，(k−2)2+4>0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：把x=3代入方程x2−(k+2)x+2k−1=0，
有32−3(k+2)+2k−1=0，
整理，得 2−k=0.
解得 k=2，
此时方程可化为 x2−4x+3=0.
解此方程，得 x1=1，x2=3.
所以方程的另一根为x=1.
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
(1)根据Δ=b2−4ac进行判断；
(2)把x=3代入方程x2−(k+2)x+2k−1=0即可求得k，然后解这个方程即可.
16.【答案】解：(1)设ρ=kV，
将(4,2.5)代入ρ=kV得2.5=k4，
解得k=10，
∴ρ=10V.
(2)将V=10代入ρ=10V得ρ=1.
∴该气体的密度为1kg/m3.
【解析】(1)通过待定系数法求解．
(2)将V=10代入函数解析式求解．
本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系．
17.【答案】(1)证明：∵AD=AD，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠CAB=∠DBA，
∴∠CAB=∠ACD，
∴CD//AB.
(2)解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
∵∠ACD=30∘，
∴∠AOD=60∘，∠EDO=30∘，
∴∠BOD=180∘−∠AOD=120∘，
∴S扇形BOD=nπr2360=120×π×22360=43π.
在Rt△ODE中，
∵∠EDO=30∘，
∵DE= 32⋅OD= 32×2= 3，
∴S△BOD=12OB⋅DE=12×2× 3= 3，
∴S阴影=S扇形BOD−S△BOD=43π− 3.
【解析】(1)根据圆周角定理可得，∠ACD=∠DBA，由已知条件可得∠CAB=∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
(2)连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.由∠ACD=30∘，再根据圆周角定理可得∠AOD=60∘，即可得出∠BOD=180∘−∠AOD=120∘，即可求出扇形BOD的面积，在Rt△ODE中，求出DE的长度，即可得出△BOD的面积，根据S阴影=S扇形BOD−S△BOD代入计算即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)12；
(2)列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的①③、①⑤、②④这3个，所以2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为36=12.
【解析】【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】
(1)解：∵①、②放在不透明的盒子A中搅匀，
∴共有2种结果，
∴抽到①的概率是12，
故答案为：12.
(2)见答案.
19.【答案】(1)证明：∵DE//BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴DGBF=AGAF,GEFC=AGAF，
∴DGBF=GEFC，
∵BF=CF，
∴DG=EG；
(2)解：∵DG=EG，CG⊥DE，
∴CE=CD=6，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC=33+6=13.
【解析】(1)证明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根据相似三角形的性质得到BF=CF，进而证明结论；
(2)根据线段垂直平分线的性质求出CE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意抛物线的顶点P(5,9)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x−5)2+9，
把(0,0)代入，可得a=−925，
∴抛物线的解析式为y=−925(x−5)2+9；
(2)令y=6，得−925(x−5)2+9=6，
解得x1=5 33+5，x2=−5 33+5，
∴A(5−5 33,6)，B(5+5 33,6).
【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x−5)2+9，把(0,0)代入，可得a=−925，即可解决问题；
(2)把y=6，代入抛物线的解析式，解方程可得结论．
本题考查二次函数的应用，待定系数法，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，属于中考常考题型．红
绿
红
(红，红)
(绿，红)
绿
(红，绿)
(绿，绿)
①
②
③
①③
②③
④
①④
②④
⑤
①⑤
②⑤