2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组图形一定相似的是( )
A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个直角梯形D. 两个正方形
2.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=8，BC=6，那么∠B的余切值为( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
3.抛物线y=−3(x+1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
4.已知c为非零向量，a=3c，b=−2c，那么下列结论中错误的是( )
A. a//bB. |a|=32|b|C. a与b方向相同D. a与b方向相反
5.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x+m)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如图．根据上述数据，该运动员竖直高度的最大值为( )
第一次训练数据
A. 23.20cmB. 22.75cmC. 21.40cmD. 23cm
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE//BC，点M为BC边上一点(不与点B、C重合)，联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是( )
A. ADAN=ANAE
B. DNNE=BMCM
C. DNBM=AEEC
D. DNMC=NEBM
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知ab=34，则2aa+b的值为______.
8.已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，那么线段AC的长______cm.
9.若两个相似三角形的面积比为3：4，则它们的相似比为______.
10.小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了______米．
11.若点A(−3,y1)、B(0,y2)是二次函数y=2(x−1)2−1图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是______ (填y1>y2、y1=y2或y112.如果将抛物线y=x2+2x−1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为______.
13.如图，△ABC中，∠BAC=90∘，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为______ .
14.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC平分∠BCD，∠BAC=∠D，若AD=4，BC=10，则AC=______ .
15.如图，已知AD//EF//BC，AE=3BE，AD=2，EF=5，那么BC=______.
16.如图，在△ABC中，AD⊥BC，sinB=45，BC=13，AD=12，则tanC的值______ .
17.如图，已知tan∠O=43，点P在边OA上，OP=5，点M，N在边OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=__________.
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF，那么BF=______ .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.计算：sin60∘+3tan30∘⋅cs60∘(2cs45∘−1)⋅ct30∘.
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，对角线AC、BD相交于点O，设AD=a，AB=b，试用a、b的式子表示向量AO.
21.(本小题10分)
如图，已知△ABC是等边三角形，AB=6，点D在AC上，AD=2CD，CM是∠ACB的外角平分线，连接BD并延长与CM交于点E.
(1)求CE的长；
(2)求∠EBC的正切值．
22.(本小题10分)
如图，高压电线杆AB垂直地面，测得电线杆AB的底部A到斜坡C的水平距离AC长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD为5.2米，在D点处测得电线杆顶B的仰角为37∘.已知斜坡CD的坡比i=1：2.4，求该电线杆AB的高．(参考数据：sin37∘=0.6)
23.(本小题12分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE⋅CB.
(1)求证：AE⊥CD；
(2)连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB.
24.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)、B(3,0).C(2,3)三点，且与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
(2)分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；
(3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
25.(本小题14分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=13，CD//AB.点E为射线CD上一动点(不与点C重合)，联结AE，交边BC于点F，∠BAE的角平分线交BC于点G.
(1)当CE=3时，求S△CEF：S△CAF的值；
(2)设CE=x，AE=y，当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；
(3)当AC=5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意；
故选：D.
形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴ctB=BCAC=68=34，
故选：A.
根据余切函数的定义解答即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】解：∵y=−3(x+1)2+2，
∴顶点为(−1,2)，
故选：C.
由函数解析式直接可得顶点坐标．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】
解：∵a=3c，b=−2c，
∴a=−32b，
∴a//b，|a|=32|b|，a与b方向相反，
∴A，B，D正确，C错误．
5.【答案】A
【解析】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，
∴k=23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
故选：A.
根据表格中数据求出顶点坐标即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据表格中数据求出顶点坐标．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴DNBM=ANAM，NEMC=ANAM，
∴DNBM=NEMC，
即DNNE=BMCM，
故选：B.
根据相似三角形的判定和性质分析即可．
此题考查了相似三角形的判定和性质，牢记定理是解决此题的关键．
7.【答案】67
【解析】解：∵ab=34，
∴b=43a，
∴2aa+b=2aa+43a=67.
故答案为：67.
用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
8.【答案】4 5−4
【解析】解：∵AC2=BC⋅AB，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，
∴AC= 5−12AB= 5−12×8=(4 5−4)cm，
故答案为：4 5−4.
根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 5−12是解题的关键．
9.【答案】 3：2
【解析】【分析】
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
【解答】
解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，
∴它们的相似比为 3：2，
故答案为： 3：2.
10.【答案】50
【解析】解：设他沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：2.4，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x2+(2.4x)2=1302，
解得，x=50，即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50.
设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
11.【答案】y1>y2
【解析】解：∵点A(−3,y1)、B(0,y2)是二次函数y=2(x−1)2−1图象上的两点，
∴y1=2(x−1)2−1=2(−3−1)2−1=31；y2=2(x−1)2−1=2(0−1)2−1=1，
∴y1>y2.
故答案为y1>y2.
分别计算出自变量为−3和0所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12.【答案】(0,0)
【解析】解：∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，
∴抛物线y=x2+2x−1的顶点坐标为(−1,−2)，
∴把点(−1,−2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为(0,0)，
即新抛物线的顶点坐标为(0,0).
故答案为：(0,0).
先求出抛物线的顶点坐标，再根据平移的规律得出平移后抛物线顶点坐标即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
13.【答案】12
【解析】解：如图，延长AG交BC于点D.
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12.
故答案为12.
延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.同时考查了直角三角形的性质．
14.【答案】2 10
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠BAC=∠D，
∴△ADC∽△CAB，
∴ACBC=ADAC，
∴AC10=4AC，
解得：AC=2 10.
故答案为：2 10.
根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，根据相似三角形的判定得出△ADC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能求出△ADC∽△CAB是解此题的关键．
15.【答案】173
【解析】解：延长BA与CD，相交于点G，
∵AD//EF//BC，
∴△GAD∽△GEF，△GAD∽△GBC，
∴ADEF=GAGB=ADBC，
∵AD=2，EF=，AE=9，
∴25=GAGA+9，
解得：GA=6，
∴GB=GA+AE+BE=18，
∴618=2BC，
解得：BC=6.
故答案为：6.
首先延长BA与CD，相交于点G，由AD//EF//BC，可得△GAD∽△GEF，△GAD∽△GBC，又由AD=2，EF=5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16.【答案】3
【解析】解：∵AD⊥BC，AD=12，sinB=45，
∴ADAB=45，
解得AB=15，
∴BD= AB2−AD2= 152−122=9.
∵BC=13，
∴DC=BC−BD=4，
∴tanC=ADDC=124=3.
故答案为：3.
先在Rt△ABD中利用三角函数求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而可得出DC的值，即可求出tan∠C的值．
本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出BD的值．
17.【答案】 17
【解析】【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义及勾股定理是解本题的关键．
过P作PD⊥OB于点D，在直角△POD中，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出PD的长，再由PM=PN，PD⊥OB，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，然后由勾股定理可求PM的值．
【解答】
解：过P作PD⊥OB于点D，
∵在Rt△POD中，tan∠O=PDOD=43，
∴设PD=4x，则OD=3x，
∵OP=5，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=52，
∴x=1，
∴PD=4，
∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2，
∴MD=ND=12MN=1，
在Rt△PMD中，由勾股定理得：PM= MD2+PD2= 17.
故答案为： 17.
18.【答案】 3−1
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠ABC=45∘，
∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，
∴∠CAD=∠C′AD，
∵∠DAB=∠BAF，
∴∠BAD=12∠DAC=13∠BAC=15∘，
∵∠ABF=135∘，
∴∠F=30∘，
∴CF=ACtan30∘= 3，
∴BF=CF−BC= 3−1，
故答案为： 3−1.
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=1，得到∠CAB=∠ABC=45∘，由△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，求出∠CAD=∠C′AD，于是得到∠ABF=135∘，求得∠F=30∘，根据直角三角形的性质即可得到结果．
本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解题的关键．
19.【答案】解：原式= 32+3× 33×12(2× 22−1)× 3
= 3( 2−1)× 3
=1 2−1
= 2+1.
【解析】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
直接将特殊角的三角函数值代入求出答案
20.【答案】解：∵AD//BC，BC=2AD，
∴AOOC=ADBC=12.
∴OAAC=13，即OA=13AC.
∵AD=a，AB=b，BC与AD同向，
∴BC=2a.
∵AC=AB+BC=b+2a.
∴AO=13b+23a.
【解析】根据平面向量定理即可表示．
本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握三角形法则．
21.【答案】解：(1)在BC延长线上取一点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，AB=BC=6，∠ACF=120∘，
∵CM是∠ACB的外角平分线，
∴∠ECF=12∠ACF=60∘，
∴∠ECF=∠ABC，
∴CE//AB，
∴CEAB=CDAD，
又∵AD=2CD，AB=6，
∴CE6=12，
∴CE=3.
(2)过点E作EH⊥BC于点H.
∵∠ECF=60∘，∠EHC=90∘，CE=3，
∴CH=3，EH=3 32，
又∵BC=6，
∴BH=BC+CH=152，
∵∠EHB=90∘，
∴tan∠EBC=EHBH= 35.
【解析】(1)首先证明CE//AB，则△ABD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
(2)过点E作EH⊥BC于点H，在直角△CEH中，利用三角函数求得CH和EH的长度，即可求得BH的大小，即可求得三角函数值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数值的求法，求三角函数值的问题常用的方法是转化为求直角三角形的边的问题．
22.【答案】解：过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，
则四边形AEDF为矩形，AF=DE，AE=DF，
∵斜坡CD的坡比i=1：2.4，CD=5.2米，
∴设DE=x，CE=2.4x，
CD= CE2+DE2=2.6x=5.2米，
解得：x=2，
则DE=AF=2，CE=4.8，
∴AE=DF=AC+CE=15.2+4.8=20(米)，
在△BDF中，
∵∠BDF=37∘，DF=20米，sin37∘=0.6，
∴cs37∘= 1−(0.6)2=0.8，
∴BF=DFtan37∘=DFsin37∘cs37∘=20×(米)，
∴AB=AF+BF=2+15=17(米).
答：该电线杆AB的高为17米．
【解析】过点D作DE垂直AC的延长线于点E，DF垂直AB于点F，根据斜坡CD的坡比i=1：2.4，CD=5.2米，求出CE、DE的长度，然后求出AE和DF的长度，在△BDF中，求出BF的长度，即可求出AB的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
23.【答案】证明：(1)∵AC2=CE⋅CB，
∴ACCE=CBAC.
又∵∠ACB=∠ECA=90∘
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC.
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90∘，
∴∠ACD+∠EAC=90∘
∴∠AFC=90∘，
∴AE⊥CD；
(2)∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90∘，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴ECEA=EFEC
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴BEEA=EFBE，
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB.
【解析】(1)先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90∘可得出∠ACD+∠EAC=90∘，进而可得出∠AFC=90∘；
(2)根据AE⊥CD可得出∠EFC=90∘，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故BEEA=EFBE，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
24.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，C(2,3)三点，
∴a−b+c=09a+3b+c=04a+2b+c=3解得：a=−1b=2c=3，
∴所求抛物线的表达式为y=−x2+2x+3，其对称轴是直线x=1，
(2)由题意，得：D(0,3)，
∵DC//AB，AB=4，CD=3，
∵直线y=4x+m与线段DC交于点E，且将四边形ABCD的面积平分，
∴直线y=4x+m与边AB相交，设交点为点G，
∴点E的纵坐标是3，点G的纵坐标是0，
∴可求得E(3−m4,3)，G(−m4,0)，
由题意，得：S四边形ABCD=2S四边形AGED，
∴AB+CD=2(AG+DE)
∴4+2=2(−m4+1+3−m4)，
解得：m=−52.
(3)当CF//AB时，点F在线段CD上，
∴F(1,3)，
当AF//BC时，
直线BC的解析式为；y=−3x+9，
∴直线AF的解析式为y=−3x−3，
当x=1时，y=−6，
∴F(1,−6)，
当CA//BF时，
直线AC的解析式为；y=x+1，
∴直线BF的解析式为；y=x−3，
∴当x=1时，y=−2，
∴F(1,−2)；
综上所述；点F的坐标：(1,3)，(1,−2)，(1,−6).
【解析】(1)抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)、B(3,0).C(2,3)三点，列方程组可求得．
(2)由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．
(3)由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF//AB时，点F在线段CD上，求得F(1,3)，当AF//BC时，直线BC的解析式为；y=−3x+9，直线AF的解析式为y=−3x−3，求得F(1,−6)，当CA//BF时，直线AC的解析式为；y=x+1，直线BF的解析式为；y=x−3，求得F(1,−2).
此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点，(3)小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
25.【答案】解：(1)过点C作CH⊥AE于H，
∴S△CEFS△CAF=12EF⋅CH12AF⋅CH=EFAF，
∵CD//AB，
∴EFAF=CEAB，
∵CE=3，AB=13，
∴EFAF=313，
∴S△CEFS△CAF=313；
(2)延长AG交射线CD于点K，
∵CD//AB，
∴∠EKA=∠KAB，
∵AG平分∠BAE，
∴∠EAK=∠KAB，
∴∠EKA=∠EAK，
∴AE=EK，
∵CE=x，AE=y，
∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，
∵CD//AB，
∴CKAB=CGGB，
∵CG=2GB，
∴CKAB=2，
∴x+y13=2，
∴y=26−x；
(3)由勾股定理得得BC=12，
①当∠AGE=90∘时，则AG=GK，
∵CD//AB，
∴BGCG=AGKG，
∴BG=12BC=6，
②当∠AEG=90∘时，则△ACF∽△GEF，
∴CFAF=EFFG，∠CFE=∠AFG，
∴△ECF∽△GAF，
∴∠ECF=∠FAG，
又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，
∴∠B=∠GAB，
∴GA=GB，
过点G作GN⊥AB于N，
∴BN=12AB=132，
∴BG=1312BN=16924，
综上所述，BG的长为6或16924.
【解析】(1)过点C作CH⊥AE于H，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出EF：AF即可；
(2)延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；
(3)分∠AGE=90∘、∠AEG=90∘两种情况进行解答，求出BG的长．
本题考查相似三角形的综合应用，角平分线的性质，以及勾股定理．水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40