2023-2024学年辽宁省大连市名校联盟九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市名校联盟九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件为随机事件的是( )
A. 负数大于正数B. 三角形内角和等于180∘
C. 明天太阳从东方升起D. 购买一张彩票，中奖
3.如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30∘，则∠BOC的度数为( )
A. 30∘
B. 60∘
C. 75∘
D. 120∘
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=6，则sinB等于( )
A. 34
B. 45
C. 35
D. 43
5.判断方程2x2−6x−3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 只有一个实数根
6.已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是( )
A. 12B. 24C. 12πD. 24π
7.二次函数y=2(x+3)2+6，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 对称轴为直线x=3
C. 顶点坐标为(3,6)D. 当x<−3时，y随x的增大而减小
8.杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家.他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”.他所著《田亩比类乘除算法》(1275年)提出的这样一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步.”若设阔为x步，则可列方程( )
A. x(x+12)=864
B. x(x−12)=864
C. x(x+6)=864
D. x(x−6)=864
9.如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体AB=30，根据图中尺寸(AB//CD)，则CD的长应是( )
A. 10
B. 12
C. 15
D. 16
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=30∘，AB=4，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，A′B′与BC交于点D，则S△A′CD为( )
A. 3+1
B. 3 34
C. 32
D. 2 3−1
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m=______ .
12.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90∘得到线段A′B′，那么A(−1,4)的对应点A′的坐标是______ .
13.星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是______ .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴，x轴上，且AB⊥BC，AC//x轴，OA=2，OB=1，若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过线段AC的中点D，则k的值为______ .
15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC，BD相交于点O，点E在射线BC上运动，过点O作OF⊥OE交射线CD于点F，当CE=13AB时，△COF的面积为______ .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：x2−3x−2=0；
(2)抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(1,−3).求该抛物线的解析式.
17.(本小题8分)
如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF=30cm，DE=40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=12m，求树高AB.
18.(本小题9分)
某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)九年级1班共有学生______ 名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为______ ∘；
(2)九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？
(3)九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率.
19.(本小题8分)
某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
20.(本小题8分)
图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22∘，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39∘，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.(参考数据：sin39∘≈0.629，cs39∘≈0.777，tan39∘≈0.810，sin22∘≈0.375，cs22∘≈0.927，tan22∘≈0.404)
(1)求水平横管BC到水平线AD的距离(结果精确到0.1米)；
(2)求水平横管BC的长度(结果精确到0.1米).
21.(本小题8分)
如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，作∠DBE交AD延长线于点E，使得∠DBE=∠BAD.
(1)求证：BE为⊙O的切线；
(2)若BC=8，BD=5，求⊙O的半径.
22.(本小题12分)
【发现问题)】
大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线.爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系.
【提出问题】
怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？
【分析问题】
若喷出的水柱轨迹AB上某一点与水管OA的水平距离为x(单位：m)，与广场地面的垂直高度为y(单位：m).小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量记录了下面的表中y与x的五组数据：
【解决问题】
(1)求水柱轨迹AB所在抛物线的解析式；
(2)求水柱AB落地点B与水管OA的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹AB的形状不变，水柱轨迹AB的喷水半径(动态喷水时，点B到OA的距离)随着音乐的节奏控制在6m到12m之间(含6m和12m)，当喷水半径为6m时，水柱轨迹AB的最大高度为h1；当喷水半径为12m时，水柱轨迹AB的最大高度为h2，求h2−h1的值.
23.(本小题12分)
【问题初探】
(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，∠BAC=60∘，D为AC上的动点，当AD>AB时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60∘得到线段BE，且BE在边AB的右侧，连接AE，你能得到哪些结论呢？
①小明说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，∠BAE的度数是固定的，我能求出∠BAE的度数”；小强说：“在点D的运动过程中，只要保证BE在边AB的右侧，我能得到从点A发出的三条线段AB，AE，AD的数量关系”.
②小涛说：“我利用∠BAC=60∘，如图2，在AD上截取AF=AB，连接BF，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”.
请你根据小涛的思路，求∠BAE的度数，并探究线段AB，AE，AD的数量关系.
【类比分析】
(2)李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答.
如图3，在△ABC中，∠BAC=60∘，D为AC上的动点，当AD【学以致用】
(3)如图4，在△ABC中，∠BAC=60∘，D为AC上的动点，当AD>AB时，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60∘得到线段BE，且BE在边AB的右侧，连接AE，DE，过B作BM⊥AD于M，线段DE的中点为N，连接MN，若AB=4,MN= 3，求四边形ABDE的面积.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.负数大于正数是不可能事件，不符合题意；
B.三角形内角和等于180∘是必然事件，不符合题意；
C.明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意；
D.购买一张彩票，中奖是随机事件，符合题意．
故选：D.
根据已知条件，结合必然事件、随机事件、随机事件的定义即可求解．
本题主要考查必然事件、随机事件、随机事件的定义，属于基础题，理解相关概念是关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵弧BC对的圆心角是∠BOC，对的圆周角是∠A，
∴∠A=12∠BOC，
∴∠BOC=2∠A=2×30∘=60∘.
故选：B.
根据圆周角定理得出∠A=12∠BOC，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理的应用，用的知识点是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
4.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
∴sinB=ACAB=610=35，
故选：C.
根据锐角三角函数的意义直接得出答案．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是正确解答的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−6)2−4×2×(−3)=60>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B.
先计算出根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：它的侧面展开图的面积=12×2π×2×6=12π.
故选：C.
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
根据二次函数的顶点式，即可得出其开口方向，对称轴，顶点坐标以及增减性，再判断选项即可．
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
【解答】
解：∵y=2(x+3)2+6，
∴开口向上，对称轴为x=−3，顶点坐标为(−3,6)，故ABC选项错误；
当x<−3时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：D.
8.【答案】A
【解析】解：∵宽比长少一十二步，且阔(宽)为x步，
∴长为(x+12)步，
又∵直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，
∴根据题意可列出方程x(x+12)=864.
故选：A.
根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为(x+12)步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴△AOB∽△COD，
∴36：AB=12：CD，
即36：30=12：CD，
解得CD=10.
故选：A.
由于AB//CD，那么△AOB∽△COD，于是36：AB=12：CD，进而可求CD.
本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意相似三角形的相似比等于对应高的比．
10.【答案】C
【解析】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90∘，∠B=30∘，
∴∠A=60∘，
∴∠ACH=30∘，
∴AC=12AB=2，
∵△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60∘，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′=60∘，
∴∠BCA′=30∘，
∴∠A′DC=90∘，
在Rt△A′DC中，∵∠A′CD=30∘，
∴A′D=12CA′=1，CD= 3A′D= 3，
∴△A′CD的面积=12×1× 3= 32.
故选：C.
解直角三角形得到AC=2，根据旋转的性质得CA=CA′=2，∠CA′B′=∠A=60∘，则△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′=60∘，则可计算出∠BCA′=30∘，∠A′DC=90∘，然后在Rt△A′DC中利用含30度的直角三角形三边的关系得A′D=12CA′=1，CD= 3A′D= 3，再利用三角形面积公式求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
11.【答案】5
【解析】解：把x=1代入一元二次方程x2+mx−6=0得1+m−6=0，
解得m=5，
即m的值为5.
故答案为：5.
把x=1代入一元二次方程得1+m−6=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12.【答案】A′(4,1)
【解析】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90∘得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90∘，
∴AO=A′O.
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90∘.
∵∠COC′=90∘，
∴∠AOA′−∠COA′=∠COC′−∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′.
在△ACO和△A′C′O中，
∠ACO=∠A′C′O∠AOC=∠A′OC′AO=A′O，
∴△ACO≌△A′C′O(AAS)，
∴AC=A′C′，CO=C′O.
∵A(−1,4)，
∴AC=1，CO=4，
∴A′C′=1，OC′=4，
∴A′(4,1).
故答案为：A′(4,1).
由线段AB绕点O顺时针旋转90∘得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90∘，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．
本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．
13.【答案】13
【解析】解：设星海公园的东、西、北三个方向上的入口为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，
∴他们从同一个入口进入公园的概率为39=13，
故答案为：13.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中小张和小王从同一个入口进入公园的结果有3种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】5
【解析】解：作CE⊥x轴于E
∵AC//x轴，OA=2，OB=1，
∴OA=CE=2，
∵∠ABO+∠CBE=90∘=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴BEOA=CEOB，即BE2=21，
∴BE=4，
∴OE=5，
∵点D是AC的中点，
∴D(52,2).
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过线段AC的中点D，
∴k=52×2=5.
故答案为：5.
作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=kx，利用待定系数法求出k.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，线段中点坐标公式等知识，求出D点坐标是解题的关键．
15.【答案】20或1103
【解析】解：当点E在线段BC上时，过点O作OP⊥CD于点F，OH⊥BC于点H，如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，O为AC中点，
∵OP//AD，
∴P为CD中点，
∴OP=12AD=5，同理OH=12AB=3，
∵∠OHC=∠HCP=∠OPC=90∘，
∴∠POH=90∘，
∵∠EOF=90∘，
∴∠POF=∠HOE，
又∵∠OHE=∠FPO=90∘，
∴△OPF∽△OHE，
∴OPOH=PFHE，
∵HC=12BC=5，
CE=13AB=2，
∴HE=5−2=3，
∴53=PF3，
∴PF=5，
∵四边形POHC为矩形，
∴PC=OH=3，
∴CF=CP+PF=3+5=8，
∴△COF的面积为12×CF×OP=12×8×5=20；
当点E在线段BC的延长线上时，过点O作OP⊥CD于点F，OH⊥BC于点H，如图2，
此时HE=HC+CE=5+2=7，
同理∴△OPF∽△OHE，
∴OPOH=PFHE，
∴53=PF7，
∴PF=353，
∴CF=CP+PF=353+3=443，
∴△COF的面积为12×CF×OP=12×443×5=1103.
综上，△COF的面积为20或1103.
故答案为：20或1103.
分两种情况：当点E在线段BC上时，当点E在线段BC的延长线上时，分别求解即可．
本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，以免漏解．
16.【答案】解：(1)x2−3x−2=0，
∵a=1，b=−3，c=−2，∴b2−4ac=(−3)2−4×1×(−2)=17>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴x=−b± b2−4ac2a=3± 172，
即x1=3+ 172,x2=3− 172；
(2)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2)2，
把点(1,−3)代入y=a(x−2)2，得，
a×(1−2)2=−3，解得a=−3，
∴该抛物线的解析式为y=−3(x−2)2=−3x2+12x−12.
【解析】(1)用公式法求解即可；
(2)设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为(2,0)，点(1,−3)直接代入即可．
本题考查了解一元二次方程和待定系数法求函数表达式．熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
17.【答案】解：EF=30cm=0.3m，DE=40cm=0.4m，
∵∠DEF=∠DCB=90∘，∠EDF=∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴EFBC=DEDC，
即0.3BC=0.412，
解得BC=9(m)，
∴树高AB=BC+AC=9+1.5=10.5(m).
【解析】根据相似三角形的性质得到EFBC=DEDC，据此可得BC的长，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB.
18.【答案】40 108
【解析】解：(1)九年级1班共有学生为：4÷10%=40(名)，
扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360∘×1240=108∘；
故答案为：40，108；
(2)D类的人数有：40−4−40×45%−12=6(人)，
估计九年级学生选择D类大约有5600×640=840(人)，
答：估计九年级学生选择D类的大约有840人；
(3)画树状图如下：
所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8，
∴抽到的一男一女的概率为：812=23.
(1)根据A的人数和所占的百分比求出九年级1班的人数，再用360∘乘以C类所占的百分比即可求出C类所在扇形的圆心角度数；
(2)用该校的总人数乘以D类所占的百分比即可得出答案；
(3)画树状图，得出所有等可能的结果为12种，其中抽到的一男一女的结果为8种，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
19.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(40,300)、(55,150)代入，得：40k+b=30055k+b=150，
解得：k=−10b=700，
则y=−10x+700；
(2)设每天获取的利润为W，
则W=(x−30)(−10x+700)
=−10x2+1000x−21000
=−10(x−50)2+4000，
又∵−10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x<50时，W随x的增大而增大，
∴当x=46时，W取得最大值，最大值为−10×16+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=每件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
20.【答案】解：(1)过B作BF⊥AD于F，
∴∠AFB=90∘，
在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39∘，
∴BF=AB⋅sin39∘≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米．
答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米；
(2)∵∠FBC=∠BCD=∠D=90∘，
∴四边形BCDF为矩形，
∴BC=DF，CD=BF=1.6米，
∵CE=0.6米，
∴DE=CD−CE=1.6−0.6=1(米)，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD，
∵∠DAE=22∘，
∴AD=1tan22∘≈10.404≈2.48(米)，
又∵在Rt△ABF中，cs∠BAF=AFAB，
∵AB=2.5米，∠BAF=39∘，
∴AF=AB⋅cs39∘≈2.5×0.777=1.9425≈1.94(米).
∴DF=AD−AF=2.48−1.94=0.54≈0.5(米).
∴BC=DF=0.5米，
答：水平横管BC的长度约为0.5米．
【解析】(1)作BF⊥AD于F，在Rt△ABF中，sin∠BAF=BFAB即可得BF=AB⋅sin39∘≈1.6；
(2)根据矩形判定和性质求出DE=CD−CE=1，再在Rt△ADE中，根据在Rt△ADE中，求出AD=DEtan22∘≈10.404≈2.48，可求出AD的长度，在Rt△ABF中，根据AF=AB⋅cs∠BAF可求出AF的长度，从而可求出AD与AF的长度差．
本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握利用三角函数解题的方法．
21.【答案】(1)证明：连接OB、OD，则OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ODB+∠BOD=180∘，
∴2∠OBD+∠BOD=180∘，
∴∠OBD+12∠BOD=90∘，
∵∠DBE=∠BAD=12∠BOD，
∴∠OBE=∠OBD+∠DBE=90∘，
∵OB是⊙O的半径，且BE⊥OB，
∴BE为⊙O的切线．
(2)解：设OD交BC于点F，
∵∠BAC的角平分线交⊙O于点D，BC=8，BD=5，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DFB=∠OFB=90∘，BF=CF=12BD=4，
∴DF= BD2−BF2= 52−42=3，
∴OF=OD−3=OB−3，
∵BF2+OF2=OB2，
∴42+(OB−3)2=OB2，
解得OB=256，
∴⊙O的半径长为256.
【解析】(1)连接OB、OD，由2∠OBD+∠BOD=180∘，得∠OBD+12∠BOD=90∘，而∠DBE=∠BAD=12∠BOD，所以∠OBE=∠OBD+∠DBE=90∘，即可证明BE为⊙O的切线；
(2)设OD交BC于点F，由∠BAD=∠CAD，得BD=CD，由垂径定理得OD垂直平分BC，则BF=CF=4，所以DF= BD2−BF2=3，由勾股定理得42+(OB−3)2=OB2，求得OB=256，则⊙O的半径长为256.
此是重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵抛物线过点(0,2)，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，
把(2,297),(4,387)代入得：4a+2b+2=29716a+4b+2=387，
解得：a=−328b=97，
∴y=−328x2+97x+2；
(2)在y=−328x2+97x+2中，令y=0，则−328x2+97x+2=0，
∴x2−12x=563，
∴(x−6)2=1643
∴x1=6+2 1233，x2=6−2 1233(不符合题意，舍去)，
∴水柱AB落地点B与水管OA的水平距离为(6+2 1233)米．
(3)∵抛物线的形状不变，
∴a=−328，
∵喷水头的高度不变，
∴抛物线过A(0,2)，
∴设调整后抛物线的解析式为y=−328x2+bx+2，
把(6,0)代入解析式得−328×36+6b+2=0，
解得b=1342，
∴y=−328x2+1342x+2；
把(12,0)代入解析式得−328×144+12b+2=0，
解得b=4742，
∴y=−328x2+4742x+2，
∵抛物线的顶点纵坐标为4ac−b24a，
∵h1=4ac−(1342)24a，h2=4ac−(4742)24a，
∴h2−h1=4ac−(4742)24a−4ac−(1342)24a=(1342)2−(4742)24a=(1342+4742)(1342−4742)4×(−328)=17063.
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)令y=0，则−328x2+97x+2=0，求解即可；
(3)根据抛物线的形状不变，喷水头的高度不变，所以抛物线过A(0,2)，即可设调整后抛物线的解析式为y=−328x2+bx+2，把(6,0)和(12,0)分别 代入，求得抛物线解析式，然后根据抛物线的顶点纵坐标公式4ac−b24a，求出h1=4ac−(1342)24a，h2=4ac−(4742)24a，代入h2−h1即可求解．
本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴交点坐标，二次函数图象性质是解题的关键．
23.【答案】(1)解：在AD上截取AF=AB，连接BF.如图1，
∵∠BAC=60∘，AB=AF.
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=BF，∠ABF=∠AFB=60∘.
∵线段BD绕点B逆时针旋转60∘得到线段BE，
∴∠EBD=60∘，BE=BD，
∴∠ABF=∠EBD，
∴∠ABE+∠EBF=∠FBD+∠EBF，即∠ABE=∠FBD.
在△ABE和△FBD中，
AB=BF∠ABE=∠FBDBE=BD，
∴△ABE≌△FBD(SAS).
∴∠BAE=∠BFD，AE=FD，
∵∠AFB=60∘
∴∠BFD=120∘.
∴∠BAE=120∘.
∵AD=AF+FD，
∴AD=AB+AE.
(2)证明：在AC上截取AH=AB，连接BH.如图2，
∵∠BAC=60∘，AB=AH.
∴△ABH是等边三角形，
∴AB=BH，∠ABH=60∘.
∵线段BD绕点B逆时针旋转60∘得到线段BE，
∴BD=BE，∠DBE=60∘.
∴∠ABE+∠ABD=∠ABD+∠HBD，即∠ABE=∠HBD
在△ABE和△HBD中，
AB=HB,∠ABE=∠HBD,BE=BD,
∴△ABE≌△HBD(SAS)，
∴AE=HD.
又∵△ABH为等边三角形BG⊥AH，
∴AH=2AG.
∵AH=AD+DH=AD+AE，
∴2AG=AD+AE.
(3)解：连接BN，如图3.
∵线段BD绕点B逆时针旋转60∘得到线段BE.
∴BD=BE，∠DBE=60∘，
∴△BDE是等边三角形．
∴∠BEN=60∘，
∵N为DE中点，
∴BN⊥DE,∠EBN=12∠EBD=30∘.
在Rt△BNE中，sin∠BEN=BNBE=sin60∘= 32，
∵∠BAC=60∘，BM⊥AC于M.
∴sin∠BAM=BMAB=sin60∘= 32，
∴BNBE=BMAB.
又∵∠ABM=90∘−60∘=30∘，
∴∠ABM=∠EBN
∴∠ABE+∠EBM=∠EBM+∠MBN，即∠ABE=∠MBN，
∴△ABE∽△MBN，
∴MNAE=BMAB= 32，
∵MN= 3，
∴AE=2.
在AD上截取AH=AB，由(1)得△ABH是等边三角形，△ABE≌△HBD.
∴AH=AB=4，AE=DH=2，∠BAE=∠BHD=120∘，
∴AD=AH+DH=6.
过E作EQ⊥AD于Q，
∵∠BAE=120∘，∠BAC=60∘
∴∠EAQ=60∘.
∴EQ=AE⋅sin60∘=2× 32= 3，
∵BMAB= 32，AB=4，
∴BM=2 3.
∴四边形ABDE的面积=S△ADE+S△ADB=12AD⋅EQ+12AD⋅BM12×6× 3+12×6×2 3=9 3.
【解析】(1)在AD上截取AF=AB，连接BF.先证明△ABF是等边三角形，得到AB=BF，∠ABF=∠AFB=60∘，再证明△ABE≌△FBD(SAS)，得到∠BAE=∠BFD，AE=FD，即可得出结论；
(2)在AC上截取AH=AB，连接BH.先证明△ABH是等边三角形，得到AB=BH，∠ABH=60∘，再证明△ABE≌△HBD(SAS)，得到AE=HD，从而可得出结论．
(3)连接BN，在AD上截取AH=AB，过E作EQ⊥AD于Q，先证明△ABE∽△MBN，得MNAE=BMAB= 32，从而求得AE=2.由(1)得△ABH是等边三角形，△ABE≌△HBD，则AH=AB=4，AE=DH=2，∠BAE=∠BHD=120∘，所以AD=AH+DH=6.然后解直角三角形即可求解．
本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．本题综合性较强，正确作出辅助线，构造全等三角形、相似三角形与直角三角形是解题的关键．x/m
0
2
4
10
y/m
2
297
387
297