山东省烟台市牟平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题(含解析)

这是一份山东省烟台市牟平区2023-2024学年七年级上学期期中数学试题(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

初二数学试题
说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡．
一、选择题
1．如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形．这样做的数学依据是（ ）
A．三角形全等B．三点确定一线C．三角形具有稳定性D．三线合一
2．木匠李师傅想判断两块三角形木板的形状大小是否完全一样，他设想了如下四种方法：①测量三边对应相等；②测量两角及其夹边对应相等；③测量两边及除夹角外的另一角对应相等；④测量两边及其夹角对应相等；其中不一定能判定两个三角形全等的是（）
A．①B．②C．③D．④
3．下列轴对称图形中，对称轴的条数小于3条的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，、、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（ ）
A．B．，
C．D．
5．在中，，，高，则等于（ ）
A．14B．4或14C．4D．9或5
6．观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，是线段，的垂直平分线的交点，若，，则的大小是（ ）

A．B．C．D．
8．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（）
A．B．C．D．
9．如图，直线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，的面积等于12，边，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，点P在直线上，则线段的长不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．12
11．如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A．B．C．3.5D．4
12．如图所示，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③是等腰三角形；④点到直线的距离等于的长度．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
13．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为
14．如图，△ABC中，，，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你填加一个适当的条件 ，使≌．
15．如图，在中，是中线的中点．若的面积是3，则的面积是 ．

16．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为 ．
17．在中，为边上的高，，，则是 度．
18．如图，在锐角三角形中，，的面积为12，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题
19．已知：，，线段，如图所示．求作：，使，，．（不写作法，保留作图痕迹）
20．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上．
(1)在图中作出关于直线对称的；
(2)若是直线上一点，则的最小值是__________；
(3)图中若有格点满足，则这样的格点有__________个
21．如图所示，在中，，于D，的平分线交AD于E，交AB于F，于G，请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系，并说明理由．
22．如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
23．如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）

24．我国南海舰队深圳号驱逐舰在南海某岛海域巡航，如图所示，，，，该岛位于O点，深圳号驱逐舰在点B处发现有一艘外国军舰，自A点出发沿着方向匀速驶向该岛所在地点O，深圳号驱逐舰立即从B处出发以相同的速度沿直线方向前去拦截这艘军舰，结果在点C处截住了军舰．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求深圳号驱逐舰行驶的航程的长．
25．（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．
（2）如图②所示，已知平分，交边于点，过点作于点，，．
①_________；（用含x的式子表示）
②求的度数．
26．已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连接、．
(1)如图1，若，，，试判断与的位置关系；
(2)过点D作，交延长线于点，连接，如图2所示．若，，试说明：．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据是三角形的稳定性，即可求解．
【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形．这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”判断即可．
【详解】解：A、根据，两个三角形全等；
B、根据，两个三角形全等；
C、两个三角形不全等；
D、根据，两个三角形全等；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了对称轴的定义，根据轴对称的定义逐项判断即可，熟记“在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，轴对称图形这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”相关概念是解题关键．
【详解】A、图形中的对称轴有3条，不符合题意；
B、图形中的对称轴有5条，不符合题意；
C、图形中的对称轴有4条，不符合题意；
D、图形中的对称轴有2条，符合题意；
故选D．
4．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结果，熟练运用三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：A、设，则，，，
∵，
∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
B、∵，，，
∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
C、设，则，，
∵，
即，
解得，
则，
∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意；
D、∵，，
∴即，
此时不能确定或是否为，
∴不确定是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理，并根据题意分类讨论是解题关键．分高在外部和高在内部两种情况分类讨论，根据勾股定理求出，，即可求出．
【详解】解：如图1，当高在外部时，
在中，，
在中，，
∴；
如图2，当高在内部时，
在中，，
在中，，
∴；
∴的长为4或14．
故选：B
6．C
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．
7．A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是根据线段的垂直平分线得到相等的线段．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，，由三角形的内角和定理得到，，于是得到结论．
【详解】解：∵D是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】解：平分平分，
在中，
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得到，由此即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B到的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．过B作于N，于M，根据折叠得出，根据角平分线性质得出，根据三角形的面积求出，即可得出点B到的最短距离是6，得出选项即可．
【详解】解：如图：过B作于N，于M，
∵将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，
∴，
∴，
∵的面积等于12，边，
∴，即
∴，
∴，
即点B到的最短距离是6，
∴的长不小于6，
故选：A．
11．B
【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，设，则，根据折叠得到，由勾股定理列得，代入数据得到方程求出x的值即可．
【详解】解：设，则，
由折叠得，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，利用基本作图可判断平分，则可对①进行判断；根据角平分线性质得，再根据三角形内角和定理即可得出的度数对②进行判断；根据等腰三角形判定，由即可对③进行判断；根据角平分线的性质即可对④进行判断，掌握基本作图方法，熟记角平分线的性质“角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；角平分线上的点到角的两边的距离相等．”，三角形内角和定理“三角形三个内角和等于”，等腰三角形判定定理“在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”是解题关键．
【详解】解：①根据尺规作角平分线的方法可知是的角平分线，
故①正确；
②，，
，
是的角平分线，
，
，
故②正确；
③，
是等腰三角形，
故③正确；
④是的角平分线，，
点到直线的距离等于的长度，
故④正确；
综上所述，正确的说法是①②③④，
故选：D．
13．20或22
【分析】分类讨论，分别求出①腰长为6，②腰长为8时三角形的周长，并根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】①腰长为6时，三边为6、6、8，能构成三角形，
三角形的周长=6+6+8=20；
②腰长为8时，三边为8、8、6，能构成三角形，
三角形的周长=8+8+6=22．
故答案为：20或22．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于分类讨论思想以及三角形三边关系的应用．
14．或AE=CD或或正确即可
【分析】△AEC和△CDA中，已知了∠AEC=∠ADC=90°，AC=AC，因此只需添加一组对应角相等，或一组直角边对应相等即可判定两三角形全等．
【详解】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CDA=90°，
∴当CE=AD或AE=CD（HL）或∠DAC=∠ECA（AAS）或∠BAC=∠ACB（ASA）时，△AEC≌△CDA．
故答案为或AE=CD或或．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定；这是一道考查全等三角形判定方法的开放性试题，答案不唯一．熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题的关键．
15．12
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．
根据的面积等于的面积，的面积等于的面积计算出各部分三角形的面积，最后即可算出的面积．
【详解】解：是边上的中线，E为的中点，
根据等底同高可知，，，
∴，
故答案为：12．
16．130°或90°．
【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，
∴∠ADC=130°，
当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
故答案为130°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
17．40或80##80或40
【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
②高在三角形边上，如图所示：
可知，
，
故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示：
在中，为边上的高，，
，
，
；
综上所述：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
18．5
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键．
如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可．
【详解】解：如图，在截取，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，的值最小，
如图，作于，则的最小值为，
∵，即，解得，
∴的最小值为5，
故答案为：5．
19．图见解析
【分析】考查考查尺规作三角形．根据尺规作线段和作角的方法，作图即可．掌握尺规基本作图是解题的关键．
【详解】解：如图所示，即为所求．
20．(1)见解析
(2)
(3)3
【分析】本题考查了最短路线问题，作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键．
（1）利用网格特点和轴对称的性质画出A，B，C关于直线l的对称点，，即可；
（2）连接与直线交于点Q，根据两点之间线段最短可判断Q点满足条件；
（3）利用格点作图，作出的垂直平分线，然后观察图形即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，
∵C，关于直线对称，
∴，
∴，
当B、Q、三点共线时，取最小值为，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：；
（3）解：如图，、、即为所求，
∴满足，这样的格点有3个，
故答案为：3．
21．AE＝FG，理由见解析
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得FG＝FA；则只要在确定FA与AE的关系即可确定AE与FG之间的关系；在直角三角形AFC中∠AFC+∠ACF＝90°，在直角三角形CDE中∠DEC+∠ECD＝90°，根据角平分线的定义可知∠ACF＝∠DCE，则∠AFC＝∠DEC，又知∠AEF＝∠DEC，则∠AFC＝∠AEF，所以AE＝FA，则AE＝FG．
【详解】解：AE＝FG，理由如下：
∵CF平分∠ACB，，FG⊥BC，
∴FG＝FA，∠ACF＝∠ECD，
∵∠AFC+∠ACF＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AFC＝∠DEC，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴∠AFC＝∠AEF，
∴AE＝FA，
∴AE＝FG．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余以及等腰三角形的判定，解题时利用了AF这个中间量进行了等量代换是解答本题的关键．
22．（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO，
∴△BOC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．
23．
【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，如图所示：
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作垂线．
（1）根据两舰的速度相等，得到，得到点在的中垂线上，作的垂直平分线与交于点C，点即为所求；
（2）连接，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：点在的中垂线上，
如图所示，作的垂直平分线与交于点C．
（2）连接，如上图所示．
由作图可得为的中垂线，则．
由题意可得．
因为，
在中，，
所以，
解得
故深圳号驱逐舰行驶的航程的长为．
25．（1）；（2）①；②
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义和高线的定义分别求出，，即可求出；
（2）①根据三角形内角和定理即可求解；
②根据角平分线定义求出，根据三角形外角定理求出，根据直角三角形两锐角互余即可求出．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
∵是的角平分线，
∴．
∵是的高，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）①∵，，
∴．
故答案为：；
②∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴在中，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形两锐角互余，与三角形角平分线，高线有关的角的计算等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
26．(1)，证明见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了直角三角形30度角的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质及全等三角形的判定定理是解题的关键．
（1）由已知角度求出，由此推出，得到，证得是等边三角形，利用三线合一的性质得到；
（2）根据平行线的性质推出，证明，得到，，再得到是等边三角形，进而证明，得到，由此得到结论．
【详解】（1）解，，
，
，
，
，
是等边三角形，
是的中点，
；
（2）解：∵，
，
，，
．
，，
，
，
又∵，
，
是等边三角形，
，，
，
．
∵，
∴，
∴，
∴．