浙江省湖州市南浔区南浔区锦绣实验学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省湖州市南浔区南浔区锦绣实验学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分）
1．两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率是( )
A．B．C．D．
2．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．当x=-1,时，y有最大值是2C．对称轴是x=-1D．顶点坐标是（1,2）
4．如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，点在上，是的直径，若，则的度数为（ ）
A．25°B．50°C．65°D．75°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cs∠BCD的值为( )
A．B．C．D．
7．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
A．608B．608C．64D．68
8．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步B．15步C．16步D．17步
9．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，点坐标为，点为线段的中点，点绕原点顺时针旋转，那么点的对应点坐标及旋转经过的路径长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
二、填空题（每题4分，共24分）
11．正六边形每个内角的度数为 °
12．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
13．二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④若点和在该图象上，则，其中正确的结论是 （填序号）．
14．创“平安余姚”是我们每个余姚人的愿望，某小区在摸彩球活动中，将质地大小完全相同，上面标有“平”“安”“余”“姚”的四个彩球放入同一个袋子，某居民在袋子中随机摸出一个彩球后不放回，再摸出一个，摸出的两个彩球能拼成“平安”的概率是 ．
15．如图，点在一直线上，，在直线同侧，，，，当时，外接圆的半径为 ．
16．如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．浙江省新高考有一项“6选3”选课制，高中学生张胜和李利已选了化学和生物，现在他们还需要从“物理、政治、历史、地理”四科中选一科参加考试，若这四科被选中的机会均等．
（1）直接写出张胜从四门学科中选中“地理”的概率是_______．
（2）请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中“地理”的概率．
19．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M与岸边雷达站N处在同一水平高度．当火箭到达点A处时，测得点A距离发射站点M的垂直高度为9千米，雷达站N测得A处的仰角为，火箭继续垂直上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角为，根据下面提供的参考数据计算下列问题∶
(1)求火箭海面发射站点M与岸边雷达站N的距离；
(2)求火箭所在点B处距发射站点M处的高度．
（参考数据∶，，，，，）
20．已知二次函数的图象与直线相交于轴上的点轴上的点．顶点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)现将抛物线向左平移个单位，当抛物线与有且只有一个公共点时，求的值．
21．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1）________；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
22．已知：如图，在中，点，分别在边，上，

(1)求证：；
(2)如果，求证：．
23．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形
(1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，的平分线交于点，连结并延长交于点，．求证：四边形是半对角四边形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求的直径．

24．如图1，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧上的一个动点．
(1)直接写出点P，A，B的坐标：P___________；A___________；B___________；
(2)求的值；
(3)将抛物线沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若经过点D时，求线段的长；
(4)若的中点为E，交翻折后的抛物线于点F，直接写出的最大值和此时点F的坐标．
答案与解析
1．C
【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和两题都答对的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：据题意画图如下：
∵共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种，
∴小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率．
故选：C．
【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
2．A
【分析】本题主要考查了比例的意义，先根据已知条件推出，再由进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
．
3．D
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断.
【详解】A、由二次函数的解析式y＝（x＋1）2＋2，可知系数＞1，故函数图像开口向上.故A项错误；B、将x＝﹣1代入解析式，得到y＝6，故B项错误；C、由二次函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知对称轴为x＝1，故C项错误；D、函数的顶点式y＝（x＋1）2＋2可知该函数的顶点坐标是（1,2），故D项正确.故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键.
4．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】解：∵，，
∴，故A选项正确；
，故B选项错误；
的值无法确定，故C选项错误；
的值无法确定，故D选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
5．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，利用直角三角形两锐角互余得到，根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，根据直径所对的圆周角是直角得到是解题的关键．
6．B
【分析】根据同角的余角相等得∠BCD=∠A,利用三角函数即可解题.
【详解】解：在中，
∵，,是斜边上的高，
∴∠BCD=∠A（同角的余角相等）,
∴=== ,
故选B.
【点睛】本题考查了三角函数的余弦值,属于简单题,利用同角的余角相等得∠BCD=∠A是解题关键.
7．D
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可．
【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故选择：D．
【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题．
8．D
【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径．
【详解】解：设三角形为，，，，
，
，
该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边，
外接圆的直径是17步，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了利用弧长公式求某点运动路径长，平面直角坐标系中线段中点坐标，用勾股定理解三角形，掌握利用弧长公式求某点运动路径长是解题关键．根据题意得出C点坐标为，用勾股定理计算得出距离为5，点C旋转经过的路径长为以点O为圆心OC为半径圆心角为的弧长，可得．
【详解】解：∵A点坐标为，B点坐标为，点C为线段的中点，
∴点C坐标为，即，
∴，
点C绕原点O顺时针旋转，如下图所示：
作轴于点E，轴于点F，
由旋转得：，
，
点C旋转经过的路径长为弧形，
∴点C旋转经过的路径长．
故选：C．
10．A
【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得，
∵a＞0，
∴；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得，
∴，
∴综合得a的值为或．
故答案选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
11．
【分析】先根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以6即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
12．1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
13．②③④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，抛物线经过原点推出，可得①错误，根据时，，可以判定②正确，根据对称轴公式，可得③正确，根据对称性，可知点和关于对称轴对称，推出，可得④正确．
【详解】解：观察图象可知，
，故①错误，
时， ，
，故②正确，
对称轴 ，
，故③正确,
点和关于对称轴对称，
，故④正确，
故答案为：②③④
14．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：列表如下：
由表可知共有12种等可能结果，其中摸出的两个彩球能拼成“平安”的有2种结果，
所以摸出的两个彩球能拼成“平安”的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．
【分析】过点作于，过点作交的延长线于，过点作于，证明点是的外心，求出即可．
【详解】解：如图，过点作于，过点作交的延长线于，过点作于，
，
垂直平分线段，
，
垂直平分线段，
点是的外心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
外接圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的外心，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用等腰三角形的三线合一的性质添加辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
16．##
【分析】作辅助线如图，证明，求出点，则，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：抛物线与轴交于，与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
当时，即，
解得：，
点坐标为，点的坐标为，
，
点的坐标为，函数对称轴为，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
直线的解析式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，

设点，点，
则，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
点，
则，
当时，取得最小值，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练的掌握二次函数的性质，等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，作出恰当的辅助线是解题的关键．
17．
【分析】先根据特殊角的三角函数运算，再运用实数运算法则计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解答的关键是熟记特殊角的三角函数值．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，可以直接写出张胜从四门学科中选中“地理”的概率；
（2）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到他们恰好都选中“地理”的概率．
【详解】解：（1）由题意可得，
张胜从四门学科中选中“地理”的概率是，
故答案为：；
（2）设物理、政治、历史、地理分别用、、、表示，
树状图如下图所示，
故一共有16种可能性，其中他们都选地理的可能性只有一种，
则他们恰好都选中“地理”的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，即可解得．
（2），，即可解得．
【详解】（1）∵，，
∴．
（2）∵，，
∴
【点睛】此题考查了三角函数值，解题的关键是构造直角三角形，计算要准确．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，明确当抛物线只经过点B时，抛物线与有且只有一个公共点是解题的关键．
（1）由直线解析式求得交点坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由图象可知，当抛物线经过点B时，抛物线与有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A、B的坐标，即可求得m的值．
【详解】（1）解：∵，令，则，
令，则，
∵与x轴交点，与y轴交点，
∴经过，
∴ ，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵
∴抛物线向左平移m个单位的新抛物线解析式为：，
∵新抛物线与有且只有一个公共点，
∴经过点，
∴
∴ (舍去)，，
即；
21．（1）；（2）；（3）当20天或40天，最小利润为10元千克
【分析】（1）把代入可得结论；
（2）当时，设，把，代入；当时，设，把，代入，分别求解即可；
（3）设利润为，分两种情形：当时、当时，利用二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得到，
故答案为：．
（2）当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
综上所述，．
（3）设利润为．
当时，，
当时，有最小值，最小值为10（元千克）．
当时，
，
当时，最小利润（元千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元千克．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键从函数图象中获取信息，利用待定系数法求得解析式．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由，得，结合，证，得，即可得证；
（2）先根据，证，得，再由，证，得，根据，可得，即可得证．
【详解】（1）证明：（ 1）∵，即
又∵
∴
∴
∴
（2）∵，即
又∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
23．(1)与的度数和为
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据题意得出，，代入，求出即可；
（2）求出 ,根据全等得出，,连接，设，则，求出，，即可得出答案;
（3）过点作，再由角与角之间关系得出边与边之间关系，进而得出解．
【详解】（1）在半对角四边形中，，，
，
，
，
即与的度数和为；
（2）在和中
，
，
，
，
连接，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形是半对角四边形；
（3）过点作于，

四边形是半对角四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的直径为．
【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，全等三角形判定等知识点，灵活运用这些知识点是解本题的关键．
24．(1)；；
(2)
(3)，
(4)，
【分析】(1)利用待定系数法求出A，B，Q的坐标即可解决问题．
(2)如图1中，连接，设圆M的半径为r，利用勾股定理求出r，再证明即可解决问题
(3)如图2中，连接，过点C作轴于 H，证明，推出可得结论
(4)如图3中，连接取 的中点J，连接，求出，即可解决问题，再求出直线的解析式，翻折后的抛物线的解析式，构建方程组确定点F的坐标即可．
【详解】（1）对于抛物线，令，得到，令，得，
，，，
故答案为：；；．
（2）如图1中，连接、，设圆M的半径为r．
在中，由勾股定理得，，解得，
．
（3）如图2 中，连接，过点C作轴于 H．
（4）如图3中，连接取 的中点J，连接．
，
，
∴的最大值是，
直线的解析式为，翻折后的抛物线的解析式为，
由解得或，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，圆周角定理，
直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
平
安
余
姚
平
安平
余平
姚平
安
平安
余安
姚安
余
平余
安余
姚余
姚
平姚
安姚
余姚