2023-2024学年北京市第一六一中学高二上学期12月月考试题数学含答案

这是一份2023-2024学年北京市第一六一中学高二上学期12月月考试题数学含答案，共26页。试卷主要包含了12， 椭圆的焦点坐标是， 若曲线等内容，欢迎下载使用。

2023.12
班级__________姓名__________学号__________
本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.
一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，）
2. 在空间直角坐标系中，，，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 形状不确定
3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
4. 直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为（ ）
A. 或B. 或C. D. 2
6. 如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ）
A. 2.25mB. 2.15mC. 1.85mD. 1.75m
7. “”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
8. 将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（ ）
A. B. 等边三角形
C. 与平面所成的角为60°D. 与所成的角为60°
9. 若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A. 直线B. 圆
C. 双曲线D. 抛物线
二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
11. 点关于直线的对称点坐标为______________.
12. 已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则______________.
13. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.
14. 已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_________；若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则的方程可以为____________.（写出一个答案即可）
15. 曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与y轴有3个交点；
④若点M在曲线C上，则的最小值是；
其中，所有正确结论的序号是_________.
三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.
16. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值.
17. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
（1）求椭圆C方程；
（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
18. 已知圆：.
（1）求圆心的坐标及半径的大小；
（2）已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程；
（3）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
19. 已知椭圆：右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期12月阶段练习
高二数学
2023.12
班级__________姓名__________学号__________
本试卷共2页，共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.
一、选择题：本大题共10道小题，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 椭圆的焦点坐标是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，）
【答案】B
【解析】
【分析】先根据椭圆的标准方程判断焦点的位置；再根据，，关系求出即可写出焦点坐标.
【详解】由椭圆可得：椭圆的焦点在轴上，，.
则，即.
所以椭圆焦点坐标为：，.
故选：B
2. 在空间直角坐标系中，，，，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 形状不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中两点距离公式即可求解长度，进而可判断.
【详解】由，，，
可得,
,
故,
因此是等腰直角三角形，
故选：B
3. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，再结合抛物线的定义可求出|PF|
【详解】因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，
所以，
所以抛物线的焦点，准线方程为，
因为抛物线上一点P到y轴的距离是1，
所以点P到准线的距离为3，
所以由抛物线的定义可得，
故选：B
4. 直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长， 即可根据等边三角形求解.
【详解】过作，垂足为点，
由圆的方程，得到圆心的坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦，
，
，
故选：D．
5. 双曲线渐近线方程为，则双曲线离心率为（ ）
A. 或B. 或C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦点位置，分两种情况即可根据渐近线方程以及离心率公式求解.
【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为，故，
离心率为，
设双曲线方程为，则渐近线方程为，故，
离心率为，
故选：B
6. 如图，一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时，达到最大高度4m.若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ）
A. 2.25mB. 2.15mC. 1.85mD. 1.75m
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，根据题意可设抛物线方程为，其中，再根据点在抛物线上，代入抛物线方程，得到该抛物线方程，令，可得结论．
【详解】以该运动员脚所在的水平线为轴，该运动员所处位置的铅垂线为轴，建立坐标系如图．
铅球运行的水平距离是时，达到最大高度，
该抛物线的顶点坐标是，开口向下，
设抛物线方程为，其中，
运动员投掷铅球的成绩是，所以点在抛物线上，
，可得
因此，抛物线方程为，
令，则
故选：D．
7. “”是“直线与抛物线有唯一公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】联立与，分与两种情况，结合根的判别式得到或，从而求出答案.
【详解】联立与得，，
当时，，只有一个根，满足要求，
当时，令，解得，
故直线与抛物线有唯一公共点”时，或，
故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.
故选：A
8. 将正方形沿对角线折成直二面角，以下结论中错误的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 与平面所成的角为60°D. 与所成的角为60°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直二面角可得面面垂直，即可根据线面垂直求解A,根据长度关系即可求解B，根据线面垂直得线面角几何角，即可求解C，根据平行关系以及线线角的定义即可求解D.
【详解】如图，其中二面角的平面角为，
是的中点，则，，
直二面角的平面角，
对于A，，，，平面，平面，
平面，平面，，故A正确；
对于B，设正方形边长为2，在直角中，，
，是等边三角形，故B正确；
对于D，可取中点，的中点，
连接，，，设正方形的边长为2，由于，所以，而，
故是等边三角形，即为与所成的角,由于，所以与所成角为，故D正确．
对于C，由于平面平面，且交线为, 平面，所以平面,故与平面所成的线面角的平面角是，
故与平面成的角不正确，故C错误．
故选：C
9. 若曲线：上所有的点均在第二象限内，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据曲线方程可判断出曲线是圆心为，半径为的圆，根据圆的位置可得关于的不等式组，解不等式组求得结果.
【详解】由题意，曲线C的标准方程为：
因此曲线C为圆心为，半径为的圆
曲线上所有的点均在第二象限内 ，解得：
的取值范围是
故选：D
10. 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A. 直线B. 圆
C. 双曲线D. 抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】由于在平面内，而平面，因此有，这样结合抛物线的定义可得结论．
【详解】在正方体中，一定有，∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点，其轨迹为抛物线．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查立体几何中的垂直关系．属于跨章节综合题，难度不大．
二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
11. 点关于直线的对称点坐标为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点坐标为，
则，解得，
所以对称点为，
故答案为：
12. 已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则______________.
【答案】14
【解析】
【分析】根据焦点三角形的周长即可求解.
【详解】椭圆中，，
，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，
由椭圆定义知：，
，
．
故答案为：14
13. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为______________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解.
【详解】取中点为，连接,
由于是等边三角形，所以
因为平面平面，其交线为,平面,
所以平面，是直线与平面所成角．
不妨设，
在等边中，，，所以，
故
故直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
14. 已知双曲线：的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_________；若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则的方程可以为____________.（写出一个答案即可）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为双曲线：，所以其焦点坐标为，
渐近线方程为，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，
则，所以；
所以双曲线：，渐近线方程为，
若双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则该双曲线只需满足即可，
则的方程可以为.
故答案为：；
15. 曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，给出下列四个命题：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③曲线C与y轴有3个交点；
④若点M在曲线C上，则的最小值是；
其中，所有正确结论的序号是_________.
【答案】①②④．
【解析】
【分析】将所求点用直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，然后根据方程研究性质即可求解①②③，利用消元法，然后利用函数的单调性求最值即可判断④．
【详解】设动点的坐标为，
曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹，
，
当时，，曲线过坐标原点，故①正确；
将中的用代入该等式不变，
曲线关于轴对称，故②正确；
令时，，故曲线与轴只有1个交点，故③不正确；
，
，解得，
若点在曲线上，则，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题共4小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上.
16. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值.
【答案】（1）;
（2）;
（3）；
【解析】
【分析】（1）构建空间直角坐标系，然后根据向量的数量积求解直线夹角；
（2）求解面的法向量，然后根据距离公式求解；
（3）根据面与面的法向量，求解二面角的余弦值；
【小问1详解】
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，,,,，
,,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
设面的法向量为，,
则，解得：
令，可得，
因为,所以
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
面，所以面法向量为，
设面的法向量为，
又， ，
则，解得：，
令，可得，
所以二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案
【小问1详解】
由题意得：，，解得，
故，
故椭圆C的方程为；
【小问2详解】
联立与得，，
，解得，
设，则，
故
，
又，
所以，解得，满足，
故实数的值为
18. 已知圆：.
（1）求圆心的坐标及半径的大小；
（2）已知直线与圆相切，且在x，y轴上的截距相等且不为0，求直线的方程；
（3）从圆C外一点向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求点P的轨迹方程.
【答案】（1）圆心坐标，半径；
（2）或；
（3）
【解析】
【分析】（1）化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径；
（2）设出直线的截距式方程，由圆心到切线的距离等于半径列式求得的值，则切线方程可求；
（3）由切线垂直于过切点的半径及列式求点的轨迹方程．
【小问1详解】
由圆，得：，
圆心坐标，半径；
【小问2详解】
切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
设直线方程，
圆，
圆心到切线的距离等于圆半径，
即：
或，
所求切线方程为：或；
【小问3详解】
切线与半径垂直，设
,
由可得
所以点的轨迹方程为．
19. 已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出值即可得解；
（2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线的斜率，进而得解；
（3）若四边形为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用表示点的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于的方程，解之即可得解．
【小问1详解】
由题意可知，，，
，，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，，
则，
为线段的中点，，，
，
为定值．
【小问3详解】
若四边形为平行四边形，则，
，，
点在椭圆上，，解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．