2023-2024学年广东省肇庆市四会中学、广信中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市四会中学、广信中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
2．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
3．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
4．如图，是的重心，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的线性运算的定义及重心的性质可得，利用表示可得结论.
【详解】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故选：D．
5．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以，
所以．
故选：A.
6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.
椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，
则，解得，，则双曲线C的方程为.
故选：B.
7．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．，2，B．，2，C．，0，D．，0，
【答案】C
【解析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案.
【详解】解：向量，0，，，2， ，
则，， ，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：C.
8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.
设平面的法向量为，
则，即
令，得.
又，
点到平面的距离，
故选：.
【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为
C．直线的倾斜角为D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后回到原来的位置，则该直线l的斜率
【答案】AC
【分析】代入点的坐标判断A，求出纵截距判断B，求出斜率得倾斜角，判断C，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得，判断D.
【详解】，所以点在直线上，A正确；
对，令，得，直线在y轴上截距为2，B错误；
直线的斜率为，倾斜角为，C正确；
设直线l方程为，沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后得，即它就是，
所以，所以，D不正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程，利用直线方程研究直线的性质是解析几何的基本方法，掌握直线的概念与特征是解题关键.
10．已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【答案】ABD
【分析】对于A，化为椭圆的标准方程，即可判断；对于B，直接判断C是双曲线，求出其渐近线方程；对于C，求出圆的半径为，不一定是，即可判断；对于D，直接判断C是两条直线.
【详解】对于A，方程可化为，，，所以椭圆焦点在轴上，故A正确；
对于B，由，所以方程表示双曲线，令，解得，
所以双曲线的渐近线为，故B正确；
对于C，若，曲线可化为，所以圆的半径为，而不一定等于，故C错误；
对于D，若，，方程可化为，即，表示两条直线，故D正确.
故选：ABD.
11．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（ ）

A．B．
C．D．二面角的余弦值为
【答案】BD
【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，，根据求出，可得，根据空间两点间的距离公式求出，，，利用法向量求出二面角的余弦值为.
【详解】依题意可知，，，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

设，，则，，，
，，，，，
所以，，
因为，所以，即，
解得或（舍），
所以，，故选项正确，
，故选项不正确，
因为，
所以，故不正确，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
由，即，
取，则，，所以，
显然二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，故选项正确.
故选：BD
【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.
12．如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线，对称
B．两个椭圆的离心率不相等
C．到，，，四点的距离之和为定值
D．曲线所围区域面积必小于36
【答案】AD
【分析】由椭圆的对称性可判断A，由椭圆的离心率公式可判断B，由椭圆的定义可判断C，由椭圆的顶点可判断D.
【详解】解：对于A，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，椭圆的离心率，所以，故B错误；
对于C，易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点，若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的左、右顶点分别为，所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36.
故选：AD
三、填空题
13．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为 ．
【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝25
【详解】因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
14．在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似的，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，将平面中的直线方程类比到空间中，即可得到结果.
【详解】因为在平面直角坐标系中，方程表示的图形是一条直线，
具有特定性质：在轴，轴上的截距分别为，
因此，类比到空间直角坐标系中，在轴上的截距分别为
的平面方程为.
故答案为：
15．是抛物线的焦点，定点，若点在抛物线上运动，那么的最小值为 .
【答案】3
【分析】利用抛物线的几何性质可求的最小值.
【详解】
抛物线的准线为，如图，过作准线的垂线，垂足为，
则，所以，其中为到准线的距离.
因，故，
故的最小值为，当且仅当三点共线时取最小值.
故答案为：3.
【点睛】一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为，该距离实际上是到准线的距离，我们常常利用这个性质实现到焦点的距离的转化.
16．已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是 .
【答案】
【解析】作出二面角的平面角，建立空间坐标系，设二面角的大小为，表示出、两点坐标，根据距离公式列方程解出.
【详解】在矩形中，作于点，交于点，作于点，
，，，
，，
，
在翻折后，以为原点，以、所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，
则为二面角的平面角，设，
则，，
，得，
，.
因此，二面角的大小是.
故答案为：.
【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
四、解答题
17．求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）联立直线方程，即可得交点坐标，再根据直线平行，则斜率相等，写出点斜式即可；
（2）根据直线垂直，即可求得目标直线的斜率，结合点的坐标，写出点斜式即可.
【详解】由解得 ，
所以交点为（-1，2）
（1）由已知得所求直线的斜率
∴所求直线方程为
即
（2）因为已知直线斜率为，故所求直线的斜率
∴所求直线方程为
即
【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及直线平行以及垂直时，斜率之间的关系，属基础题.
五、证明题
18．如图，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.已知.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）通过添加辅助线，证明直线与直线垂直，进而可得二面角是直二面角，即平面与平面垂直；
（2）利用等体积法求解，也可以根据垂直关系建立空间直角坐标系，求得相应直线的方向向量，再得到平面的法向量，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）取的中点，连接，
则，
是二面角的平面角．
在中，
易知，又，
．
平面平面．
（2）由（1）知两两垂直，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则．
设是平面的法向量，
则，得，取．
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象､数学运算．
六、解答题
19．已知两圆和.
（1） 判断两圆的位置关系；
（2） 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
【答案】（1）两圆相交；（2）公共弦所在的直线方程为,公共弦长为.
【解析】（1）先求出的大小，再比较它们的关系即得解；
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程，再求出公共弦长.
【详解】（1）由题意可知：圆心，半径；圆心，半径
两圆心距离
且满足.
所以，两圆相交.
（2）两圆作差得公共弦所在的直线方程为.
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为.
【点睛】本题主要考查两圆位置关系的判定，考查两圆公共弦所在直线方程的求法和公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
七、证明题
20．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
（2）设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A､B两点，且，求证：直线l过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数值得抛物线方程；
（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得值，得定点坐标．
【详解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，即，
抛物线的焦点为，所以，解得（因为），
所以抛物线方程为；
（2）由题意设直线方程为，设．
由得，，，
又，所以，
所以
，直线不过原点，，所以．
所以直线过定点．
22．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点
(1)求椭圆的方程：
(2)是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据短轴长和离心率可求得，由此可得椭圆方程；
（2）设与椭圆方程联立得韦达定理的形式，由，结合韦达定理可知，由此可知不存在满足题意的实数.
【详解】（1），；又，；
椭圆的方程为：；
（2）由（1）知：，；
设直线，，，
由得：，；
，，
；
，，即与永远不相等，
不存在实数，使直线平行于直线