2023-2024学年河北省邢台市一中五岳联盟高二上学期第三次月考（12月）数学word版含答案

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数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
【答案】BD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】BCD
12.
【答案】AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
【答案】（答案不唯一）
14.
【答案】32
15.【答案】13
16.
【答案】8
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且．
（1）求抛物线的方程
（2）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助抛物线焦点弦的性质即可得；
（2）设出点的坐标，借助点差法，结合中点公式即可得.
【小问1详解】
因为，
所以，
故抛物线C的方程为；
【小问2详解】
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则，两式相减得，
整理得，
因为的中点为，故，
所以，
所以直线的方程为，即.
18. 已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：为等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用可得，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）知，则，结合分组求和法计算即可求解.
【小问1详解】
证明：当时，，所以．
当时，，
所以，
即．
因为，，
所以是首项为1，公比为2的等比数列．
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以，
所以.
19. 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若，，点M在圆C上，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意待定系数法设出圆的标准方程，根据题意列出方程组求出参数即可得解.
（2）由题意设点在圆上，则，，由两点之间的距离公式化简可得，由此即可得解.
【小问1详解】
设圆C：（），
由题意得，解得，
所以圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，由，得，
则．
当时，取得最小值，最小值为10；
当时，取得最大值，最大值为34．
故的取值范围为.
20. 已知为等差数列，其前n项和为，，，且也为等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】1.
2.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用裂项求和法即可求解.
【小问1详解】
设的公差为d．
因为，，为等差数列，
所以，，成等差数列，
则，解得，
故．
【小问2详解】
因为，，
所以．
设的前n项和为，
则
21. 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
（1）若直线AB的斜率为，求．
（2）试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在点或，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值
【解析】
【分析】（1）设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式计算可得答案；
（2）设，，求出，若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，可得答案.
【小问1详解】
设直线AB的方程为，
由，得或，
所以；
【小问2详解】
因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在，
所以直线AP与直线BP的斜率均不为0，
设，，则，，
所以，
由，得，则
，
若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，
化简得，得或，
此时，
故在直线上存在点或，
使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值.
22. 设A，B为抛物线C：（）上两点，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，直线l交抛物线C于M，N两点（异于点O），以为直径的圆经过点O，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）48
【解析】
【分析】（1）由题意设出点的坐标，结合点的坐标满足抛物线方程，直线的斜率为4，且A与B的纵坐标之和为2可列出方程，进而求得的值，从而即可得解.
（2）由题意可得，进一步，设出直线方程将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可得直线过定点，再结合韦达定理将的面积表示出来，进一步即可得其最小值.
【小问1详解】
设，则，，．
直线的斜率，
解得，所以抛物线C的方程为．
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
联立，消去x得，且，
由韦达定理得，．
以MN为直径的圆经过点O，即，
因为M，N两点异于点O，所以解得，
即，则，直线l恒过定点．
易知，，当且仅当，即直线l的方程为时取等号；
故面积的最小值为48.
【点睛】关键点睛：第一问的关键是设点不设线，从而减少计算量，第二问的关键是数形结合，首先联立方程与抛物线方程，结合已知得到直线过定点，从而即可顺利求解.