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    2023-2024学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学高二上学期第一次月考数学试题含答案
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    2023-2024学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学高二上学期第一次月考数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.直线的倾斜角是
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】直线方程化为点斜式,求出直线斜率,即可求出倾斜角.
    【详解】化为,
    斜率为,所以倾斜角为.
    故选:D.
    【点睛】本题考查直线的一般式方程,涉及直线的倾斜角和斜率的关系,属于基础题.
    2.已知,且∥,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】由题意可得,又因为∥,则有,列出方程组求解即可.
    【详解】解:,且∥,
    则,
    因为∥,

    即,
    解得.
    故选:B.
    3.若圆与圆外切,则( )
    A.2B.C.4D.
    【答案】D
    【分析】利用圆心距等于半径之和即得.
    【详解】由题意可知圆的圆心为,半径为,圆的半径为,半径为,
    则,
    解得.
    故选:D.
    4.已知,若三向量共面,则实数等于( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】A
    【分析】设,根据向量共面定理,解方程组即可求解.
    【详解】因为,且三向量共面,
    所以,所以,
    所以,解得.
    故选:A
    5.过直线和直线的交点且与垂直的直线方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】两直线联立可求得交点坐标,根据垂直关系可得直线斜率,由此可得直线方程.
    【详解】由得:,即与交点为;
    斜率为,则所求直线斜率为,
    所求直线方程为:,即.
    故选:C.
    6.已知直线:,:,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
    【详解】依题意,:,:,
    若两直线平行,则,
    解得或.
    当时,:,:,
    此时两直线重合,不符合.
    当时,:,:,符合题意.
    所以“”是“”的充要条件.
    故选:C
    7.如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )

    A.
    B.直线与所成角的正弦值为
    C.向量与的夹角是
    D.平面
    【答案】D
    【分析】利用基底向量,结合向量模长公式即可判断A,利用向量的夹角公式即可判断BC,由向量垂直即可得线线垂直,进而根据线面垂直的判断即可判断D.
    【详解】由题意可得,,
    又,则
    ,故A错误,
    由于,
    则,,
    又,
    则,故B错误,
    由于 ,所以向量与的夹角即为与的夹角,
    由于等边三角形,故为,
    进而与的夹角为的补角,故与的夹角为,故C错误,
    ,
    所以,进而可得 平面 ,
    故 平面,故D正确,
    故选:D
    8.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为( )

    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】转化为点与连线的斜率,数形结合后由直线与圆的位置关系求解,
    【详解】记,则为直线的斜率,
    故当直线与半圆相切时,得k最小,
    此时设,故,解得或(舍去),
    即.
    故选:C
    二、多选题
    9.已知空间中三点,,,则下列结论错误的是( )
    A.与是共线向量B.与同向的单位向量是
    C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是
    【答案】AC
    【分析】A:利用共线向量定义进行判断;B:与同向的单位向量;C:利用向量夹角余弦公式判断;D:设平面的法向量为,则,由此能求出结果.
    【详解】对于A:,
    与不是共线向量,故A错误;
    对于B:,则与同向的单位向量是,故B正确;
    对于C:,
    ∴,故C错误;
    对于D:,
    设平面的法向量为,
    则,取,得,故D正确.
    故选:AC.
    10.已知实数,满足方程,则下列说法不正确的是( )
    A.的最大值为B.的最大值为
    C.的最大值为D.的最大值为
    【答案】CD
    【分析】设,则只需直线与圆有公共点,利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围,可判断A;同理可判断D;设,利用几何意义求得t的范围判断B;设,则直线和圆有公共点,进而可得不等式求得k的范围判断C.
    【详解】由题意知方程即表示圆,圆心为,半径为,
    对于A,设,则只需直线与圆有公共点,
    则,解得,

    即的最大值为,A正确;
    对于B,设,其几何意义为圆上的点到原点的距离,
    而上的点到原点距离的最大值为,
    即t的最大值为,故的最大值为,B正确;
    对于C,设,则,则直线和圆有公共点,
    则,解得,即的最大值为,C错误;
    对于D,设,则直线与圆有公共点,
    则,解得,
    即的最大值为,D错误;
    故选:CD
    11.已知直线l在x轴上的截距为1.又有两点到l的距离相等,则l的方程为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AC
    【分析】讨论直线l的斜率,斜率存在时设直线方程,利用点线距离公式列方程求参数,即可得直线方程.
    【详解】显然轴时符合要求,此时l的方程为;
    当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为,即.
    ∵点到的距离相等,
    ∴,整理得,解得,
    ∴l的方程为,
    综上,l的方程为或.
    故选:AC
    12.已知,分别是正方体的棱和的中点,则( )
    A.与是异面直线
    B.与所成角的大小为
    C.与平面所成角的正弦值为
    D.二面角的余弦值为
    【答案】AD
    【分析】根据异面直线的判定定理可判断A;建立空间直角坐标系,用向量方法可计算B,C,D是否正确
    【详解】根据异面直线的判定定理,及正方体的结构特征,易知:A正确;
    以为原点,,,,的方向分别为,,轴的正方向建立空间直角坐标系,
    设正方体棱长2,则,,,,,
    ,
    所以 ,,
    设与所成角的大小为,

    所以 ,故B错误;
    由题意可知,平面的法向量为,,
    设与平面所成角为, 则
    ,故C错误;
    ,
    设平面的一个法向量为,
    则,令,得,
    设平面的一个法向量为,,
    则,令,得,
    设二面角为,由题图知为锐角,
    则,故D正确.
    故选:AD.
    三、填空题
    13.直线与平行,则它们的距离是
    【答案】
    【分析】根据两个平行线之间的距离计算公式,计算得答案.
    【详解】直线可化为直线,
    又,且,
    所以它们的距离.
    故答案为:.
    14.两个非零向量,,定义.若,,则 .
    【答案】
    【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可.
    【详解】因为,,
    所以,
    故,
    所以,
    故答案为:
    15.过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 .
    【答案】
    【分析】设出圆的一般方程,根据已知条件列方程组,求得,从而求得正确答案.
    【详解】设圆的一般方程为,则圆心为,
    依题意得,解得,
    所以圆的一般方程为.
    故答案为:
    16.已知点P(m,n)在圆上运动,则的最大值为 .
    【答案】64
    【分析】表示圆C上的点P到点的距离的平方,利用数形结合分析即得解.
    【详解】解:由题得圆心C(2,2),半径r=3.
    表示圆C上的点P到点的距离的平方,
    因为,所以,即的最大值为64.
    故答案为:64
    四、解答题
    17.在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点Q.
    (1)求交点Q的坐标;
    (2)若直线l经过点Q,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
    【答案】(1);
    (2)或.
    【分析】(1)联立直线方程,求出交点坐标;
    (2)分截距为0和截距不为0两种情况,设出方程,代入点Q坐标,求出直线方程.
    【详解】(1)联立直线与直线,
    得到,解得:,则;
    (2)①当截距为0时,直线l过原点,设,
    将代入,则,这时直线l为x-2y = 0;
    ②当直线l截距都不为0时,设,
    将代入,则m = 3,故直线为.
    综上,直线l的方程为:或.
    18.如图,在平行六面体中,,,,,,是的中点,设,,.
    (1)用,,表示;
    (2)求的长.
    【答案】(1)
    (2).
    【分析】(1)由向量的首尾相连原则及图形可得答案;
    (2)由(1)及计算模公式可得答案.
    【详解】(1)由图形及向量相加的首尾相连原则,;
    (2)由题可得,.

    ,则,即的长为.
    19.已知圆经过点,,且圆与轴相切.
    (1)求圆的一般方程;
    (2)设是圆上的动点,点的坐标为,求线段的中点的轨迹方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用待定系数法设圆的一般方程为,根据已知条件列式求出可得结果;
    (2)设,得,代入可得结果.
    【详解】(1)设圆的方程为,
    因为圆过点,,又跟轴相切,
    圆必在轴右侧,且跟轴的切点为,
    圆心的纵坐标为.
    ,解得,
    圆的方程为.
    (2)设,则,
    将代入得,
    整理得.
    即线段的中点的轨迹方程.
    20.如图,在三棱柱中,平面,,,为线段上一点.

    (1)求证:;
    (2)若直线与平面所成角为,求点到平面的距离.
    【答案】(1)证明过程见解析;
    (2).
    【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可;
    (2)利用空间向量夹角公式,结合空间点到面距离公式进行求解即可.
    【详解】(1)因为平面,平面,
    所以,而,因此建立如图所示的空间直角坐标系:

    ,因为,
    所以,即,
    (2)设平面的法向量为,

    所以有,
    因为直线与平面所成角为,
    所以,
    解得,即,因为,
    所以点到平面的距离为:
    .
    【点睛】21.在中,已知顶点,AB边上的中线所在直线方程为,内角的平分线所在直线方程为.
    (1)求点B的坐标;
    (2)求直线BC的方程.
    【答案】(1);(2).
    【分析】由点B在直线上,设,利用中点坐标公式可得:AB中点D的坐标,根据AB边上的中线所在直线方程为知,点D在直线上,解得m.
    设点与点关于直线对称,可得,解得a,由直线为内角的平分线所在直线,知点E在直线BC上.即可得出.
    【详解】解:由内角的平分线所在直线方程为知,
    点B在直线上,
    设,
    则AB中点D的坐标为.
    由AB边上的中线所在直线方程为知,
    点D在直线上,
    ,解得.
    点B的坐标为.
    设点与点关于直线对称,
    则,
    ,解得.
    点E的坐标为.
    由直线为内角的平分线所在直线,知点E在直线BC上.
    直线BC方程为,即.
    22.已知圆过点且与圆:相切于点,直线:与圆交于不同的两点、.
    (1)求圆的方程;
    (2)若圆与轴的正半轴交于点,直线、的斜率分别为,,求证:是定值.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)由圆与圆相切于点知,圆的圆心在直线上,由圆过点、知,圆的圆心在弦的垂直平分线上,求出垂直平分线与直线,联立可求得圆心,再求出半径即可求出圆的方程;
    (2)将直线的方程与圆的方程联立,在的条件下,设,,由韦达定理(根与系数的关系)得出与,求出点,由斜率公式计算,并将与代入化简即可证得为定值.
    【详解】(1)由已知,将圆的一般方程化为标准方程,
    ∴圆的圆心,半径,
    ∵圆与圆相切于点,
    ∴点、、三点共线,即圆的圆心在直线上,
    ∴直线的方程为,即,
    又∵点、均在圆上,
    ∴弦的垂直平分线过圆的圆心,

    设弦的垂直平分线的斜率为,则,
    ∴,
    ∵、中点为,
    ∴弦的垂直平分线的方程为,即,
    ∴,解得圆的圆心,
    圆的半径,
    ∴圆的方程为.
    (2)由已知,求得,
    直线:即
    ,消去,化简得:


    设, ,
    则,,
    ∴,



    ∴是定值.
    【点睛】本题中使用了设而不求的思路,设直线与圆的交点为,,利用韦达定理将与代入和,通过化简即可证得为定值.
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