2023-2024学年湖南省张家界市民族中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省张家界市民族中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的斜率与y轴上的截距分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程求出斜率及截距即可.
【详解】直线的斜率为，
令，则，
所以直线在y轴上的截距为.
故选：B.
2．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标运算逐一判断．
【详解】对于A，，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选：B
3．圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.
【详解】因为，所以在圆上，
的圆心为，
故，
设圆在点处的切线方程斜率为，
故，解得，
所以圆在点处的切线方程为，
变形得到，即.
故选：A
4．圆和圆的公切线的条数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数量.
【详解】两个圆与，
圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
，
两圆相交，有条公切线.
故选：B.
5．已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
【答案】C
【分析】由椭圆的定义求解．
【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，
故选：C
6．已知双曲线的离心率为，若点与点都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出作答.
【详解】由点在双曲线上，得，
则，即，整理得，解得或，
当时，，此时方程无解，
当时，，而，解得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：B
7．已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6B．的面积为
C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为
【答案】D
【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.
【详解】由题意知，，，，
由椭圆的定义知，，，
∴的周长为，即A正确；
将代入椭圆方程得，解得，
∴的面积为，即B正确；
设的内切圆的半径为r，则，
即，∴，即C正确；
不妨取，则，，
∴的面积为，
即，∴，
由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，
故选:D.

8．是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，关于直线l的对称点为，且点在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C的离心率为
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据左焦点与渐近线方程，求得关于直线l的对称点为，写出以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆的方程，再将代入圆的方程，化简即可得离心率．
【详解】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线
因为是双曲线的左、右焦点
所以（-c，0），（c，0）
因为关于直线l的对称点为，设为（x，y）
则
解得
所以为（）
因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为
将以的（）代入圆的方程得
化简整理得 ，所以
所以选B
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．
二、多选题
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过点B．直线的斜率为
C．直线在上的截距为D．直线在上的截距为
【答案】BD
【分析】根据直线，对各个选项分析判断即可求出结果.
【详解】选项A，因为，即直线不过点，所以选项A不正确；
又由，得到，所以直线斜率为，在上的截距为，所以选项BD正确，
又由直线，令，得到，所以选项C错误，
故选：BD.
10．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为D．当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
11．已知曲线.有（ ）
A．若，则是焦点在轴上的椭圆
B．若，则是半径为的圆
C．若，则是双曲线，且渐近线的方程为
D．若，则是两条直线
【答案】AD
【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，曲线的方程可化为，
则，所以是焦点在轴上的椭圆，A选项正确.
B选项，若，曲线的方程可化为，
则是半径为的圆，所以B选项错误.
C选项，若，曲线的方程可化为，表示双曲线，
由得，所以C选项错误.
D选项，若，曲线的方程可化为，
表示两条直线，所以D选项正确.
故选：AD
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是3
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则，
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点
【答案】BC
【分析】A选项，当时，求出两圆圆心距等于两圆半径之和，故两圆外切，有3条公共切线，A错误；
B选项，求出圆心到直线的距离为1，圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线，B正确；
C选项，设椭圆：，双曲线：，，
由椭圆定义和双曲线定义得到，，求出，，由勾股定理得到，求出；
D选项，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
求出圆心和半径，得到该圆的方程，求出切点弦方程，结合得到定点坐标.
【详解】对A，圆变形为，故圆心为，半径为，
圆圆心为，半径为，
当时，故圆心距，
此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A错误；
对B，圆的圆心到直线的距离为，
而圆的半径为2，故有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对C，设椭圆：，双曲线：，，
因为，所以，，
解得：，，
由勾股定理：，即，
化简得：，
则椭圆的离心率，双曲线的离心率，
则，C正确；
对D，设，则，由题意得：四点共圆，且为直径，
则此圆圆心为，半径为，
故圆的方程为，
，与相减得：，
因为，所以过定点，
即直线经过定点，D错误.
故选：BC
【点睛】过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
三、填空题
13．双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 .
【答案】20
【分析】先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可.
【详解】由，得，得，
因为，，
所以或，
解得（舍去），或，
故答案为：20
14．直线：与圆相交、两点，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】由解得或，不妨令，
所以.
故答案为：
15．若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解.
【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐标为．
故答案为：
16．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】①可以通过设出圆的参数方程，进行求解；②设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；④当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△面积最大，求出最大值.
【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确；
设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确；
为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误；
当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确.
故答案为：①②④
【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.
四、解答题
17．在正四棱柱中，，是棱 上的中点．

(1)求证：；
(2)异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；
（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值．
【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，
，
，
所以；

（2），
设异面直线与所成角的大小为，
则，
故异面直线AM与BC所成角的余弦值为．
18．（1）已知点和，求；
（2）已知的顶点为，，，求的周长．
【答案】（1）5；（2）
【分析】利用两点间距离公式进行求解.
【详解】（1）；
（2），，，
故的周长为.
19．已知点.
(1)求圆心为点，且过点的圆的标准方程；
(2)求过点且与直线平行的直线方程（结果用一般式方程表示）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程；
（2）设直线方程为，代入点坐标求得参数值后可得．
【详解】（1）因为，
所以所求圆的标准方程为.
（2）设所求直线方程为，
将点的坐标代入得，解得，
所以所求直线方程为.
20．求过点且被圆所截的弦长为6的直线的方程.
【答案】或.
【分析】根据题意，求出圆的圆心和半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离为4，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，求出直线的方程即可.
【详解】由，得圆心，半径，
若直线被圆所截的弦长为6，则圆心到直线的距离为，
若所求的直线的斜率不存在，则直线的方程为，符合题意，
若所求的直线的斜率存在，则设直线方程为，即，
所以，解得，所以直线方程为，即，
综上，所求直线方程为或.
21．在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足.
(1)求动点的轨迹方程．
(2)直线：与动点的轨迹曲线相交于M，N两点，求弦长.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理进行角转边，得到，从而得出点在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，进而可求出结果.
（2）直接联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理与弦长公式计算即可求出结果.
【详解】（1）
设动点，由题知，，
又，由正弦定理可得，，
所以点在以为焦点，即，实轴长为2即的双曲线的右支上，
所以，
又构成三角形，故点与不共线，即点不能在轴上，
所以动点的轨迹方程为.
（2）
由题意直线：过双曲线的焦点，不妨设分别在第四、一象限.
联立，化简得，
所以，而直线：的斜率为，
所以弦长
.
22．已知椭圆C：=1(a>b>0)经过点P(2，1)，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作直线l∥y轴，第四象限内一点A在椭圆C上(点A不在直线l上)，点A和点B关于直线l对称，直线BP与椭圆的另一个交点为Q，试判断直线AQ和直线OP(O为原点)的位置的关系，并说明理由.
【答案】(1)=1
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义、标准方程和离心率即可求解；（2）只要证明直线AQ和直线OP的斜率相等即可.根据直线对称的性质，可设直线的方程，联立方程，利用韦达定理、斜率公式，结合题意，即可证明直线平行.
【详解】（1）由题可得，解得，
所以椭圆C的方程为C：=1.
（2）直线AQ和直线OP平行，证明如下：
由题易知直线PA和直线PQ斜率均存在，且kPA+kPQ=0，设直线PA斜率为k，
则可知lPA：y-1=k(x-2)，lPQ：y-1=-k(x-2)，设A(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立lPA与椭圆方程，得(4k2+1)x2+(8k-16k2)x+16k2-16k-4=0，
则2x1=，所以x1=，
同理可得x2=，
所以kAQ=
=.
又知kOP==kAQ，因为A在第四象限，所以点A不在直线OP上，
综上可知，直线AQ和直线OP平行.